XOR-Gatter

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Gatter-Typen
  NOT
AND NAND
OR NOR
XOR XNOR

Ein XOR-Gatter (von engl. eXclusive OR, exklusives Oder, „entweder oder“) ist ein Gatter mit mehreren Eingängen und einem Ausgang, bei dem der Ausgang genau dann logisch „1“ ist, wenn an einer ungeraden Anzahl von Eingängen „1“ anliegt und an den restlichen „0“. Die XOR-Verknüpfung wird auch als Anti- oder Kontravalenz bezeichnet.

Für den einfachen Fall eines XOR-Gatters mit zwei Eingängen bedeutet das, dass die Eingänge verschieden beschaltet sein müssen, um am Ausgang eine „1“ zu erhalten. Entweder an dem einen oder am anderen Eingang muss „1“ anliegen. Im Unterschied zu einer einfachen OR-Verknüpfung gilt die Bedingung als nicht erfüllt, wenn an beiden Eingängen eine „1“ anliegt. Bei XOR ist das Ergebnis in diesem Fall eine „0“.

Symbolik[Bearbeiten]

In der Literatur wird das Exklusiv-Oder mit verschiedenen Symbolen gekennzeichnet. Üblich ist es, den Operator als „XOR“ auszuschreiben, z. B. mit dem Ausdruck „A XOR B“. Bei Verwendung des Symbols „+“ für das logische Oder wird das Symbol „\oplus“ für das Exklusiv-Oder verwendet. Bei der Verwendung von „∨“ für das logische Oder wird hingegen „⊻“ für das Exklusiv-Oder verwendet. Als Bitweiser Operator findet in C (und von ihr abgeleiteten Programmiersprachen) das Zeichen ^ Verwendung.

Übersicht
Funktion Schaltsymbol Wahrheitstabelle Relais-Logik
IEC 60617-12 US ANSI 91-1984 DIN 40700 (vor 1976)
Y = A \,\underline{\lor}\, B

Y = A \oplus B
IEC XOR label.svg
Xor-gate-en.svg
Logic-gate-xor-de.svg

oder
Logic-gate-xor-de-2.svg
A B Y = A ⊻ B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
Relay xor.svg

Das Gleich-Zeichen = verdeutlicht beim gegenwärtig in Deutschland gültigen Schaltsymbol, dass nur bei einer Eins an den Eingängen (High, logisch 1) der Ausgang 1 ist.

Synthese[Bearbeiten]

XOR
XOR Aufbau NAND.svg
XOR Aufbau Und-Oder.svg
Aufbau eines XOR-Gatters
aus vier NAND-Gattern
Aufbau eines XOR-Gatters
aus Und- und Oder-Gattern

Die linke Abbildung zeigt den Aufbau eines XOR-Gatters aus vier NAND-Bausteinen gemäß der logischen Antivalenz

x \,\underline{\lor}\, y \Leftrightarrow \Big( x \,\overline{\land}\, ( x \,\overline{\land}\, y ) \Big) \,\overline{\land}\, \Big( y \,\overline{\land}\, ( x \,\overline{\land}\, y ) \Big)

Die rechte Abbildung zeigt den Aufbau eines XOR-Gatters aus NOT-, AND- und OR-Bausteinen. Aufgrund der Vielzahl an unterschiedlichen Komponenten besteht allerdings keine Relevanz für die Umsetzung in Hardware:

x \,\underline{\lor}\, y \Leftrightarrow \Big( \, ( \neg{x} \land  y ) \lor ( x \land \neg{y} ) \, \Big)

Mehrere Eingänge[Bearbeiten]

Die Funktion eines XOR-Gatters mit mehr als zwei Eingängen ergibt sich, indem man zunächst zwei der Eingänge XOR-verknüpft, dann deren Ergebnis mit dem nächsten Eingang XOR-verknüpft, solange bis alle Eingänge berücksichtigt sind.

\left( w \,\underline{\lor}\, x \,\underline{\lor}\, y \,\underline{\lor}\, z \right) \Leftrightarrow 
\left( \left( \left( w \,\underline{\lor}\, x \right) \,\underline{\lor}\, y \right) \,\underline{\lor}\, z \right)

Die Reihenfolge der Eingänge ist dabei egal. Die XOR-Verknüpfung erfüllt das Assoziativgesetz.

Programmierung[Bearbeiten]

Die XOR-Verknüpfung lässt sich auch durch die Addition zweier Bits modulo 2 berechnen. Dazu berechnet man die einfache Summe der Eingangssignale, dividiert die Summe durch 2 und betrachtet danach den Rest der Division. Ist die Summe eine gerade Zahl, so ist der Rest gleich Null, ist sie ungerade, so ist der Rest gleich eins. Weiterhin kann man die einfache XOR-Verknüpfung zweier Eingangssignale auch als Anzeige der Ungleichheit der Eingangsbits ansehen. Dieses gilt auch für eine beliebige gerade Anzahl an Eingangssignalen.

Anwendung[Bearbeiten]

Addition von binären Zahlen[Bearbeiten]

Ein XOR-Gatter kann zur Addition von binären Zahlen eingesetzt werden. Hier wird zusätzlich, zum Beispiel mit Hilfe eines AND-Gatters, beim Zustand x=1 und y=1 ein sogenannter Übertrag =1 gebildet. Dieser Übertrag ist bei der Addition des nächsthöheren Bits als „1“ zu berücksichtigen. Der Addierer des Von-Neumann-Addierwerks benutzt diese Logik.

Kryptografie[Bearbeiten]

Das nachweislich sichere Verschlüsselungsverfahren One-Time-Pad wird meist unter Zuhilfenahme einer XOR-Verknüpfung implementiert. Die zu verschlüsselnde Nachricht (Klartext) wird dazu zuerst als Bitfolge kodiert. Eine zweite zufällige Bitfolge, die genauso lang wie die Nachricht ist, wird als Schlüssel verwendet. Der Geheimtext entsteht, indem das erste Bit der Nachricht mit dem ersten Bit des Schlüssels XOR-verknüpft wird, das zweite Bit mit dem Zweiten und so weiter. Führt man anschließend die gleiche XOR-Verknüpfung mit dem Geheimtext und dem Schlüssel aus, so erhält man wieder die ursprüngliche Nachricht.

Prüfsummenbildung[Bearbeiten]

0101 XOR 1011 = 1110
1011 XOR 1110 = 0101
0101 XOR 1110 = 1011
Aus zwei Bitfolgen, angenommen 0101 und 1011, wird mittels der XOR-Verknüpfung die Parität gebildet: 1110 (erste Zeile im Beispiel rechts). Diese Parität muss zusammen mit den beiden Bitfolgen übertragen bzw. gespeichert werden. Geht nun die erste Bitfolge (0101) verloren, so kann sie wiederhergestellt werden, indem die zweite Bitfolge (1011) mit der Parität XOR-verknüpft wird (zweite Zeile). Analog könnte die zweite Bitfolge wiederhergestellt werden (dritte Zeile).

Frequenzverdopplung[Bearbeiten]

Frequenzverdopplung eines Rechtecksignals

Eine sehr einfache Frequenzverdopplung von Rechteckschwingungen im Frequenzbereich bis zu einigen 100 MHz kann man mit einem XOR-Gatter erzielen, wenn man einen Eingang unmittelbar und den anderen mit einem geringfügig verzögerten Signal (RC-Glied) speist. Die entstehenden Nadelimpulse sind phasengebunden und etwa so kurz wie die Zeitkonstante des RC-Gliedes. Da dieses Verfahren keine Resonanzfilter verwendet, kann das Eingangssignal beliebige Tastverhältnisse besitzen bzw. stark frequenzmoduliert sein.

Schaltbarer Inverter[Bearbeiten]

An einem Eingang liegt ein Signal an, der andere dient als Steuereingang. Liegt der Steuereingang auf logisch „0“, wird das Signal ohne Änderung durchgelassen. Liegt der Steuereingang auf logisch „1“, verhält sich das Gatter wie ein Inverter.

CMOS-Realisierung[Bearbeiten]

Schaltbild in CMOS-Technologie

Die zuvor gezeigte Realisierung aus Und- und Oder-Gattern benötigt in CMOS-Technologie 16 Transistoren. Eine direkte Umsetzung (rechts) benötigt nur 12 Transistoren und mit Tricks, unter Einbußen bei der Geschwindigkeit, sogar nur 6 Transistoren. Zum Verständnis: T1+T2 und T3+T4 invertieren die Eingangssignale. Bei High-Potential an beiden Eingängen (A+B) leiten T7+T8 und ziehen den Ausgang Y auf Low-Potential. Sind beide Eingänge auf Low-Potential leiten T11+T12, da vor beiden ein Inverter liegt und das Eingangssignal umkehrt.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Ulrich Tietze, Christoph Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik. 12. Auflage. Springer, 2002, ISBN 3-540-42849-6.
  •  Klaus Beuth: Digitaltechnik. 10. Auflage. Vogel, 1998, ISBN 3-8023-1755-6.
  •  Manfred Seifart, Helmut Beikirch: Digitale Schaltungen. 5. Auflage. Technik, 1998, ISBN 3-341-01198-6.