Z-Transformation

Die Z-Transformation wandelt ein zeitdiskretes Signal im Zeitbereich, also eine zeitliche Abfolge von im Allgemeinen komplexen Zahlen, in ein komplexes diskretes Signal im Frequenzbereich um. Die zeitdiskrete Z-Transformation ist das Analogon zur Laplace-Transformation zeitkontinuierlicher Signale. Der Zusammenhang der beiden Transformationen kann über die bilineare Transformation hergestellt werden, womit zeitkontinuierliche Systeme in zeitdiskrete Systeme bzw. umgekehrt übergeführt werden können.

Ursprünglich wurde sie als „Laplace-Transformation von Abtastfunktionen“ (siehe Dobesch) eingeführt. Dabei steht die Z-Transformation in einer ähnlichen Beziehung zur zeitdiskreten Fourier-Transformation (nicht zu verwechseln mit der ähnlichen diskreten Fourier-Transformation), wie die Laplace-Transformation zur Fourier-Transformation.

Vergleich der z-Transformation und der Laplace-Transformation

Geschichtliche Entwicklung

Die grundsätzlichen Ideen zur Z-Transformation gehen auf Pierre-Simon Laplace zurück und wurde 1947 durch Witold Hurewicz zur Lösung von linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten verwendet. Im Jahr 1952 erfolgte die heute übliche Begriffsfestlegung Z-Transformation durch John R. Ragazzini und Lotfi A. Zadeh bei Arbeiten mit zeitdiskreten Daten im Rahmen der Regelungstechnik an der Columbia University. Die Modifizierte Z-Transformation geht auf Arbeiten von Eliahu Ibrahim Jury aus dem Jahr 1958 zurück.

Definition

Bilaterale Z-Transformation

Die bilaterale Z-Transformation eines Signals x[n] ist die formale Laurent-Reihe X(z):

$X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} \$

wobei n alle ganzen Zahlen durchläuft und z, im Allgemeinen, eine komplexe Zahl der Form:

$z= A e^{j\varphi} = \sigma + j\omega$

ist. A ist der Betrag von z und φ der Winkel der komplexen Zahl in Polarkoordinaten. Alternativ kann z auch in kartesischer Form als Realteil σ und Imaginärteil ω beschrieben werden.

Unter gewissen Konvergenzbedingungen ist die Z-Transformierte eine holomorphe Funktion auf einem Kreisring in der komplexen Zahlenebene, unter schwächeren Bedingungen immerhin noch eine quadratintegrierbare Funktion auf dem Einheitskreis.

Unilaterale Z-Transformation

Wenn x[n] nur nichtnegative n Werte hat, kann die unilaterale Z-Transformation definiert werden:

$X(z) = Z\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n} \$

In der Signalverarbeitung wird die unilaterale Z-Transformation für kausale Signale verwendet.

Eigenschaften

• Linearität. Die Z-Transformierte von zwei linear verknüpften Signalen ist die lineare Verknüpfung der beiden z-transformierten Signale.

$Z({a_{1}x_{1}[n]+a_{2}x_{2}[n]}) = a_{1}Z({x_{1}[n]}) + a_{2}Z({x_{2}[n]})\!$

• Verschiebung. Wird das Signal im Zeitbereich um k nach rechts verschoben, so muss die Z-Transformierte mit z^−k multipliziert werden. Bei der Verschiebung nach links kommen noch weitere Terme hinzu.

$Z({x[n-k]}) = z^{-k} Z({x[n]})\!$

$Z({x[n+k]}) = z^{k} \left(F(z) - \sum_{i=0}^{k-1} f_i z^{-i}\right)$

• Faltung. Die Faltung von zwei Signalen im Zeitbereich entspricht dem Produkt im Frequenzbereich.

$Z({x[n]}*{y[n]}) = Z({x[n]})Z({y[n]})\!$

• Differentiation .

$Z({n x[n]}) = -z\frac{\partial Z({x[n]})}{\partial z}$

Zusätzliche Eigenschaften der unilateralen Z-Transformation

Es sei $f_n = f(n)$ und $F(z)$ deren Z-Transformierte. Weiter sei folgende Schreibweise für die Transformation der diskreten Zeitfunktion in die Bildebene definiert.

$f_{n} \circ\!\!-\!\!\bullet F(z)$

Dann gelten folgende Regeln:

$\begin{array}{llcl} \text{Verschiebungssatz} & f_{n-k} & \circ\!\!-\!\!\bullet & z^{-k} F(z) \\ & f_{n+k} & \circ\!\!-\!\!\bullet & z^{k} (F(z) - \sum_{i=0}^{k-1} f_i z^{-i})\\ & f_{n+1} & \circ\!\!-\!\!\bullet & z^{1} (F(z) - f_0) \\ & f_{n+2} & \circ\!\!-\!\!\bullet & z^{2} (F(z) - f_0 - f_1 z^{-1}) \\ \mathrm{D\ddot{a}mpfungssatz} & a^{-n} \cdot f_n & \circ\!\!-\!\!\bullet & F(a \cdot z) \\ \text{Ableitung der Bildfunktion} & n \cdot f_n & \circ\!\!-\!\!\bullet & -z \frac{dF(z)}{dz} \\ \text{Spektraler} & W(z) &=& U(z) \cdot V(z) \\ \text{Multiplikationssatz} & w_n &=& \sum_{k=0}^n u_{n-k} \cdot v_k = \sum_{k=0}^n u_{k} \cdot v_{n-k} \\ \text{Differenzensatz} & \Delta f_n &=& f_{n+1} - f_n \\ & \Delta^2 f_n &=& \Delta f_{n+1} - \Delta f_n = f_{n+2} - 2 f_{n+1} + f_n \\ & \Delta^2 f_n & \circ\!\!-\!\!\bullet & (z-1)^2 F(z) - z ((z-1) f_0 + \Delta f_0) \\ & \Delta^k f_n & \circ\!\!-\!\!\bullet & (z-1)^k F(z) - z \sum_{i=0}^{k-1} (z-1)^{k-i-1} \Delta ^i f_0 \\ \text{Summensatz} & \sum_{k=0}^n f_k & \circ\!\!-\!\!\bullet & z \frac{F(z)}{z-1} \\ \text{1. Grenzwertsatz} & f_k &=& \lim_{z \to \infty} z^k \cdot (F(z) - \sum_{n=0}^{k-1} z^{-n} f_n) \\ & f_0 &=& \lim_{z \to \infty} F(z) \\ \text{2. Grenzwertsatz} & \lim_{n \to \infty} f_n &=& \lim_{z \to 1} (z-1) F(z) \\ \mathrm{Stabilit\ddot{a}t} & |z_{PK}| < 1 && \rightarrow \text{asymptotische Stabilit} \mathrm{\ddot{a} t} \end{array}$

Inverse Z-Transformation

Die inverse Z-Transformation kann mit der Formel

$x[n] = Z^{-1} \{X(z) \} \,=\, \frac{1}{2 \pi \mathrm{i}} \oint_{C} X(z) z^{n-1} dz \$

berechnet werden, wobei C eine beliebige geschlossene Kurve um den Ursprung ist, die im Konvergenzbereich von X(z) liegt.

Die (unilaterale) Z-Transformation ist zeitdiskret und entspricht der Laplace-Transformation für zeitkontinuierliche Signale.

Inverse unilaterale Z-Transformation

Voraussetzungen: F(z) ist holomorph in einem Gebiet $|z| > R$ und $\lim_{z \to \infty} F(z) < \infty$.

Mit Residuum

$f(0) = \lim_{z \to \infty} F(z)$,

$f(nT) = \sum_{i=1}^{m} \operatorname{Res}_{z=z_i} (F(z) z^{n-1})$ für $n\geq 1$

Mit Laurent-Reihe

Der Integrand $F(z) \cdot z^{n-1}$ wird in eine Laurent-Reihe entwickelt. Die Zeitfunktion ist dann der Koeffizient -1 der Laurent Reihe, also $f(n\tau) = A_{-1}$.

Bei der Entwicklung in eine Reihe sind der binomische Lehrsatz und grundlegende Eigenschaften der Binomialkoeffizienten nützlich.

Beispiel 1

$\frac{z^n}{z-1} \,=\, \frac{(1+ (z-1))^n}{z-1} \,=\, \sum_{k=0}^n {n \choose k} 1^{n-k} (z-1)^{k-1} \,=\, \sum_{k=-1}^{n-1} {n-1 \choose k+1} 1^{n-k} (z-1)^{k}$,

$A_{-1} \,=\, {n-1 \choose 0} \cdot 1^{n-1} (z-1)^0 \,=\, 1$.

Beispiel 2

$\frac{e^{zt}}{z-a} \,=\, \frac{e^{at}}{z-a} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{((z-a)t)^k}{k!} \,=\, e^{at} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(z-a)^{k-1} \cdot t^k }{k!}$,

$A_{-1} \,=\, e^{at} \frac{ t^0 }{0!} \,=\, e^{at}$.

Bei wesentlicher Singularität

$f(n\tau) \,=\, \frac{1}{n!} \cdot \left( \frac{d^n}{dz^n} f(1/z) \right)_{z=0}$.

Berechnungsverfahren

Z-Transformationen mit einem begrenzten Bereich von n und einer begrenzten Anzahl von z-Werten können effizient mit dem Bluestein-FFT-Algorithmus berechnet werden. Die Diskrete Fourier-Transformation (kurz: DFT) ist ein Spezialfall der Z-Transformation bei der z auf dem Einheitskreis liegt.

Anwendung

In der Digitalen Regelungstechnik wird die Z-Transformation zur exakten Auslegung von Reglern verwendet. Dabei wird im zeitdiskreten Bereich die Abtastzeit und die Rechentotzeit berücksichtigt, die man im kontinuierlichen Bereich nicht genau modellieren kann. Die gewöhnlichen P-, I- und D-Regler haben dabei ihre digitale Entsprechung in Form einer Differenzengleichung. Darüber hinaus kann der digitale Regler aber auch ein beliebiges, der Regelstrecke angepasstes Verhalten haben, ohne dabei auf die kontinuierlichen Regler beschränkt zu sein.

Korrespondenzen

Zeitbereich	Spektralbereich
$x_n = \begin{cases} 0 & \mathrm{f\ddot ur}\, n < 0 \\ 1 & \mathrm{f\ddot ur}\, n \geq 0 \end{cases}$	$\frac{z}{z - 1}$
$a^n$	$\frac{z}{z - a}$
$a^{n-1}$	$\frac{1}{z-a}$
$\delta_n$	$1$
$e^{\alpha n}$	$\frac{z}{z - e^{\alpha}}$
$\cos(\omega n)$	$\frac{z(z - \cos(\omega))}{z^2 - 2z\cos(\omega)+1}$
$\sin(\omega n)$	$\frac{z\sin(\omega)}{z^2 - 2z\cos(\omega)+1}$
$x_n = \begin{cases} 0 & \mathrm{f\ddot ur}\, n < 0 \\ n & \mathrm{f\ddot ur}\, n \geq 0 \end{cases}$	$\frac{z}{(z - 1)^2}$
$x_n = \begin{cases} 0 & \mathrm{f\ddot ur}\, n < 1 \\ a^{n - 1} & \mathrm{f\ddot ur}\, n \geq 1 \end{cases}$	$\frac{1}{z - a}$

Literatur

•  Alan V. Oppenheim, R. W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. Pearson Education, Upper Saddle River, N. J. 2004, ISBN 3-82-737077-9.
•  Norbert Bischof: Struktur und Bedeutung: Eine Einführung in die Systemtheorie für Psychologen, mit einer Einführung in die Methoden der mathematischen Systemanalyse einschließlich Z-Transformation. 2., korrigierte Auflage. Verlag Hans Huber, Bern 1998, ISBN 3-456-83080-7.
•  Heinz Dobesch: Laplace-Transformation von Abtastfunktionen: Einführung und Lösung von Differenzengleichungen. VEB Verlag Technik, Berlin 1970.
•  H. Clausert, G. Wiesemann: Grundgebiete der Elektrotechnik, Band 2: Wechselströme, Drehstrom, Leitungen, Anwendungen der Fourier-, der Laplace- und der Z-Transformation. 9. Auflage. Verlag R.Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-27582-8.
•  N. Fliege: Systemtheorie. Teubner, Stuttgart 1991, ISBN 3-519-06140-6.