Zahmheits-Satz

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In der Mathematik ist die Zahmheits-Vermutung eine auf Albert Marden zurückgehende Vermutung aus der Theorie der Kleinschen Gruppen in der 3-dimensionalen Topologie, die 2004 von Ian Agol, Danny Calegari und David Gabai bewiesen wurde.

Aussage[Bearbeiten]

Jede vollständige 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe ist topologisch zahm, das heißt ist homöomorph zum Inneren einer kompakten Mannigfaltigkeit.

Enden hyperbolischer 3-Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten]

Aus der topologischen Zahmheit folgt unmittelbar, dass sich jede orientierbare vollständige 3-dimensionale hyperbolische Mannigfaltigkeit M mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe zerlegen lässt in einen kompakten Kern K (welcher homöomorph zu M ist) und endlich viele zusammenhängende „Enden“, welche von der Form S_i\times (0,\infty) sind. Dabei sind die Flächen S_1,\ldots,S_k homöomorph zu den Zusammenhangskomponenten von \partial K.

Rolle der Hyperbolizität[Bearbeiten]

Die Annahme, dass M hyperbolisch ist, spielt eine wesentliche Rolle im Beweis der Zahmheits-Vermutung. Es gibt Gegenbeispiele von (nicht-hyperbolischen) 3-Mannigfaltigkeiten mit endlich erzeugter Fundamentalgruppe, deren Enden nicht zahm sind.

Literatur[Bearbeiten]

  • Calegari, Danny; Gabai, David: Shrinkwrapping and the taming of hyperbolic 3-manifolds. Journal of the American Mathematical Society 19 (2), 385–446 (2006).
  • Agol, Ian: Tameness of hyperbolic 3-manifolds. arXiv:math.GT/0405568
  • Marden, Albert: The geometry of finitely generated kleinian groups. Annals of Mathematics (2) 99, 383–462 (1974).
  • Canary, Richard: Marden's tameness conjecture: history and applications online
  • Mackenzie, Dana: Taming the hyperbolic jungle by pruning its unruly edges. Science 306 (5705): 2182–2183 (2004). online