Zariski-Topologie

Die Zariski-Topologie ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie. Sie ist die natürliche Topologie auf den Studienobjekten der algebraischen Geometrie, den algebraischen Varietäten oder allgemeiner den Schemata.

Die Zariski-Topologie in der klassischen algebraischen Geometrie

In der klassischen algebraischen Geometrie ist die Zariski-Topologie (nach Oscar Zariski) diejenige Topologie auf dem affinen Raum kⁿ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k, die von den offenen Mengen der Form

$\mathrm D(f)=\{x\in k^n\mid f(x)\not=0\}$ für $f\in k[X_1,\ldots,X_n]$

erzeugt wird. Affine Varietäten tragen die induzierte Topologie, und die Zariski-Topologie auf allgemeineren Varietäten wird über affine Karten definiert.

Beispielsweise ist die Zariski-Topologie auf der affinen Geraden die Topologie der koendlichen Mengen.

Auf einer affinen Varietät ist die Zariski-Topologie die gröbste Topologie, für die die regulären Funktionen als Abbildungen in die affine Gerade k (mit ihrer Zariski-Topologie) stetig sind.

Die Zariski-Topologie auf dem Spektrum eines Ringes

Ist A ein kommutativer Ring mit Einselement, so ist das Spektrum $\mathrm{Spec}\,A$ die Menge der Primideale von A mit der Topologie, bei der die abgeschlossenen Mengen die Mengen

$\{\mathfrak p\in\mathrm{Spec}\,A\mid\mathfrak p\supseteq I\}$

für Ideale $I\subseteq A$ sind.

Ist $A=k[X_1,\ldots,X_n]$ für einen algebraisch abgeschlossenen Körper k so entsprechen die maximalen Ideale von A nach dem hilbertschen Nullstellensatz eineindeutig den Elementen von kⁿ, und die Topologien auf diesen beiden Mengen stimmen überein.

Eigenschaften

Die Zariski-Topologie unterscheidet sich stark von den gewohnten, auf den reellen Zahlen basierenden topologischen Räumen.

• Die Topologie ist i.a. nicht hausdorffsch; in der Tat ist der Raum kⁿ irreduzibel, d.h. je zwei nichtleere offene Teilmengen schneiden sich. Irreduzibilität ist also ein stärkerer Begriff als Zusammenhang.
• Quasi-kompakte Teilmengen müssen nicht notwendigerweise abgeschlossen sein.

Verallgemeinerungen

• Die Zariski-Topologie eines Schemas ist Teil seiner Struktur; allerdings verwendet man den Ausdruck „Zariski-Topologie“ im Kontext von Schemata meist nur zur Unterscheidung von anderen Grothendieck-Topologien.