Zehneck

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regelmäßiges Zehneck

In der Geometrie ist das Zehneck (auch Dekagon) ein beliebiges Polygon mit zehn Seiten und zehn Ecken. Üblicherweise ist ein regelmäßiges Zehneck mit gleich langen Seiten und gleichen Winkeln von 144° gemeint. Sein Schläfli-Symbol ist {10}.

Formeln[Bearbeiten]

Größen eines regelmäßigen Zehnecks mit Kantenlänge a
Inkreisradius  r_i = \frac{a}{2} \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \approx a \cdot 1{,}538842
Umkreisradius  r_u = \frac{a}{2} (1 + \sqrt{5}) \approx a \cdot 1{,}618034
Diagonale über 2 (bzw. 8) Seiten  d_2 = \frac{a}{2}  \sqrt{10 +  2 \sqrt{5}} \approx a \cdot 1{,}902113
Diagonale über 3 (bzw. 7) Seiten  d_3 = \frac{a}{2}  \sqrt{14 +  6 \sqrt{5}} \approx a \cdot 2{,}618034
Diagonale über 4 (bzw. 6) Seiten  d_4 = a \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} = 2 r_i \approx a \cdot 3{,}077684
Diagonale über 5 Seiten  d = a (1 + \sqrt{5}) = 2 r_u  \approx a \cdot 3{,}236068
Zentriwinkel  \alpha = \frac{360^\circ}{10} = 36^\circ
Innenwinkel  \delta = 180^\circ - \alpha = 144^\circ

 \cos \delta = -\frac{1}{4}\left(1+\sqrt{5}\right)  \approx -0{,}8090170

Flächeninhalt  A = \frac{5}{2} a^2 \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \approx a^2 \cdot 7{,}694209  

Berechnung der Fläche A[Bearbeiten]

Der Flächeninhalt A eines regelmäßigen Zehnecks mit der Seitenlänge a berechnet sich wie folgt:

A = \frac{5}{2}a^2 \cot \frac{\pi}{10} = \frac{5a^2}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} \approx 7{,}69421 a^2.

Konstruktion eines Zehnecks[Bearbeiten]

Ein regelmäßiges Zehneck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

  1. Konstruiere ein regelmäßiges Fünfeck, entsprechend der Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal.
  2. Ziehe eine Linie von jeder Ecke des Fünfecks durch den Mittelpunkt des Kreises, der in Schritt 1 gemacht wurde, zur anderen Seite des gleichen Kreises.
  3. Die fünf Ecken des Fünfecks legen jede zweite Ecke des Zehnecks fest. Die verbliebenen fünf Ecken sind die Punkte, die durch Schritt 2 auf der anderen Seite des Kreises konstruiert wurden.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Zehneck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Zehneck – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen