Zehneck

regelmäßiges Zehneck

In der Geometrie ist das Zehneck (auch Dekagon) ein beliebiges Polygon mit zehn Seiten und zehn Ecken. Üblicherweise ist ein regelmäßiges Zehneck mit gleich langen Seiten und gleichen Winkeln von 144° gemeint. Sein Schläfli-Symbol ist {10}.

Formeln

Größen eines regelmäßigen Zehnecks mit Kantenlänge a
Flächeninhalt	$A \, = \, \frac{5}{2} a^2 \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}$
Inkreisradius	$r \, = \frac{a}{2} \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}$
Umkreisradius	$R \, = \, \frac{a}{2} (1 + \sqrt{5})$
Große Diagonale	$d \, = \, a \, (1 + \sqrt{5}) \, = \, 2R$
Kantenwinkel = 144°	$\cos \, \alpha = -\frac{1}{4}\left(1+\sqrt{5}\right)$

Berechnung der Fläche A

Der Flächeninhalt A eines regelmäßigen Zehnecks mit der Seitenlänge a berechnet sich wie folgt:

$A = \frac{5}{2}a^2 \cot \frac{\pi}{10} = \frac{5a^2}{2} \sqrt{5+2\sqrt{5}} \approx 7{,}69421 a^2.$

Konstruktion eines Zehnecks

Ein regelmäßiges Zehneck ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

1. Konstruiere ein regelmäßiges Fünfeck, entsprechend der Konstruktion eines regelmäßigen Fünfecks mit Zirkel und Lineal.
2. Ziehe eine Linie von jeder Ecke des Fünfecks durch den Mittelpunkt des Kreises, der in Schritt 1 gemacht wurde, zur anderen Seite des gleichen Kreises.
3. Die fünf Ecken des Fünfecks legen jede zweite Ecke des Zehnecks fest. Die verbliebenen fünf Ecken sind die Punkte, die durch Schritt 2 auf der anderen Seite des Kreises konstruiert wurden.

Weblinks

• Regelmäßiges Zehneck
• Definition und Eigenschaften eines Zehnecks (Englisch) Mit interaktiver Animation