Zeitgleichung

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Sonnenuhr mit Zeitgleichungs-Tabelle zur Korrektur der angezeigten wahren Sonnenzeit (wahre Ortszeit WOZ) auf mittlere Sonnenzeit (mittlere Ortszeit MOZ)[1]

Die Zeitgleichung (Formelzeichen ZG oder ZGL) ist der Zeitunterschied zwischen der wahren Sonnenzeit (wahre Ortszeit WOZ) und der mittleren Sonnenzeit (mittlere Ortszeit MOZ).

ZG = WOZ - MOZ

Die Ursachen der Zeitgleichung sind die leicht schwankende Geschwindigkeit der Bewegung der Erde auf ihrer elliptischen Bahn um die Sonne und die Tatsache, dass ihre Achse bei dieser jährlichen Bewegung in guter Näherung parallel zu sich selbst bleibt und dass sie nicht senkrecht zur Bahnebene steht.

Im Einzelnen verursachen

  1. die elliptische Form der Erdbahn einen periodischen Unterschied (Periode 1 Jahr) von etwa ± 7,5 Minuten,
  2. die parallele Verlagerung der geneigten Erdachse einen periodischen Unterschied (Periode ½ Jahr) von etwa ± 10 Minuten.

Weil die beiden periodischen Anteile gegeneinander phasenverschoben sind, sind die jährlichen Extremwerte etwa +16 und -14 Minuten und nicht ± 17,5 Minuten (± (7,5 + 10 Minuten)).

Die Zeitgleichung ändert sich stetig um bis zu etwa 30 Sekunden in 24 Stunden. In üblichen Tabellenwerken wird der Wert der Zeitgleichung für jeden Tag eines bestimmten Jahres für den Zeitpunkt 12:00 UT angegeben. Für viele Anwendungen ist es ausreichend, diesen Wert überall auf der Erde und für den gesamten örtlichen lichten Tag zu benutzen.

Die meisten Sonnenuhren zeigen die wahre Sonnenzeit an und gehen folglich gegenüber der mittleren Sonnenzeit zeitweise bis etwa 16 Minuten vor beziehungsweise bis etwa 14 Minuten nach.[2] Eine manchmal neben dem Zifferblatt angegebene Zeitgleichungstabelle oder ein -diagramm hilft dem Benutzer, die mittlere Zeit auszurechnen (oberes Bild). Oftmals wird als Ersatz für die Mitteleuropäische Zeit MEZ die wahre Sonnenzeit des 15. östlichen Längengrades angezeigt. Man erhält von einer solchen Sonnenuhr die MEZ durch Korrektur mit dem Wert der Zeitgleichung und erspart sich die sonst noch nötige Korrektur von der mittleren örtlichen Sonnenzeit eines beliebigen Längengrads zur MEZ.

Das folgende Diagramm (unteres Bild) ist ein etwas mehr als ein Jahr langer Ausschnitt aus der prinzipiell stetig aus der Vergangenheit in die Zukunft fortlaufenden Zeitgleichung (rote Linie). Die jeweils vier Jahre auseinander liegenden Werte (zum Beispiel die für 2011 im Diagramm und die künftigen für 2015) unterscheiden sich lediglich um Sekunden. Innerhalb der vierjährigen Schaltperiode decken sich die Jahresausschnitte infolge der kleinen Verschiebungen der kalendarischen Tagesskala (< ±1Tag) gegen das Sonnenjahr mit Abweichungen, die kleiner als |± 1| Minute sind.

In astronomischen Jahrbüchern werde dennoch jährlich neu berechnete, nur für das betreffende Jahr vorgesehene und in Auflösung auf Sekunde berechnete Zeitgleichungswerte angegeben. In ihnen können jüngste Erkenntnisse zum Einfluss der astronomischen Ursachen berücksichtigt sein.

Zeitgleichung in Minuten, Ausschnitt für 2011 (erstes Jahr der Berechnung).
Zusätzlich sind noch die (fiktiven) Teil-Zeitgleichungen zu sehen, wenn sich die Erde auf einer Kreisbahn bewegte (Halbjahresperiode), beziehungsweise wenn die Erdachse senkrecht auf der Erdbahn wäre (Jahresperiode).

Historisches[Bearbeiten]

Die Zeitgleichung war schon den antiken Astronomen bekannt. Geminos von Rhodos erwähnt sie.[3] Im Almagest des Ptolemäus wurde sie recht genau und bündig angesprochen.[4] Bald nach Bekanntwerden der Keplerschen Gesetze hat John Flamsteed 1672 die quantitative Beschreibung eingeführt.[5][6]

In der älteren Literatur sind Minuend und Subtrahend vertauscht. Dieses Resultat mit umgekehrtem Vorzeichen wurde der früher im Alltag benutzten, auf einer Sonnenuhr angezeigten wahren Sonnenzeit hinzugefügt, um die mit der neu erfundenen Räderuhr dargestellte mittlere Sonnenzeit zu erhalten. Dieser Vorgang entspricht der alten Bedeutung von „Gleichung“ als „zuzufügende Korrektur“.[7] In französischen Jahrbüchern ist diese Konvention heute noch üblich.[8]

Heutzutage hat die mittlere Zeit, die man von (prinzipiell) stets gleichmäßig laufenden Uhren abliest, Priorität, und man folgert aus ihr die wahre Sonnenzeit. Die heutige Vorzeichenregelung wurde getroffen, um auch bei dieser Gewohnheit „zufügend korrigieren“ zu können.[9]

Stern- und Sonnentag und mittlere Sonne[Bearbeiten]

Stern- und Sonnentag[Bearbeiten]

Die sich drehende und in der Ekliptikebene um die Sonne bewegende Erde:
von 1 nach 2 = Bahnfahrt pro Sterntag
von 1 nach 3 = Bahnfahrt pro Sonnentag

Der Zeitraum zwischen zwei Meridiandurchgängen der Sonne ist ein Sonnentag; er beträgt im Mittel 24 Stunden. Im Unterschied dazu wird der Zeitraum zwischen zwei Meridiandurchgängen eines Fixsternes als Sterntag bezeichnet. Dies ist die Zeit für eine Drehung der Erde um sich selbst und beträgt 23 Stunden 56 Minuten und 4 Sekunden (365,25 Sonnentage ≈ 366,25 Sterntage). Der Unterschied zwischen der Länge des Sterntages und der Länge des Sonnentages resultiert aus der jährlichen Bewegung der Erde um die Sonne. Von Tag zu Tag kommt die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne fast einen Bogengrad voran (360 Grad in 365 Tagen). Da beide Bewegungen gleichen Drehsinn haben, muss sich die Erde um ebenfalls knapp ein Grad über die volle Umdrehung hinaus weiterdrehen, bis die Sonne wieder durch den Meridian geht. Dies benötigt im Mittel 3 Minuten und 56 Sekunden.

Die Erdrotation ist sehr gleichmäßig, weshalb die Dauer des Sterntags als konstant angenommen werden kann. Unterschiedlich groß sind allein die kleine Zusatz-Drehung und die damit verbundene kleine zusätzliche Zeit, die aus der ungleich schnellen Bahnfahrt der Erde resultieren. Diese Zusatzzeit kann bis etwa 30 Sekunden länger oder bis etwa 20 Sekunden kürzer sein als ihr mittlerer Wert von knapp 4 Minuten, was sich über Monate hinweg auf bis zu rund einer Viertelstunde aufsummieren kann, bevor sich der Effekt wieder umkehrt. Die am Sonnenstand abgelesene wahre Sonnenzeit WOZ vergeht somit ungleichmäßig. Ihre Abweichung von der gleichmäßig vergehenden, zum Beispiel von einer Räderuhr ablesbaren Zeit MOZ ist die sogenannte Zeitgleichung.

Mittlere Sonne[Bearbeiten]

Als der von der (scheinbaren) Bewegung der (wahren) Sonne „gemachte“ Sonnentag als ungleichmäßig lang erkannt wurde, der Sonnentag aber grundlegendes Zeitmaß bleiben sollte, wurde auf den formalen Gebrauch einer fiktiven sogenannten mittleren Sonne ausgewichen und mit der sogenannten mittleren Sonnenzeit ein gleichmäßiges Zeitmaß geschaffen. Die künstliche mittlere Sonne läuft gleichmäßig und nicht auf der Ekliptik, sondern auf dem Himmels-Äquator um und „macht“ dabei den mittleren Sonnentag.

Zwei Zeitgleichungsursachen, überlagert[Bearbeiten]

Die Ursachen für die Zeitgleichung erkennt man leichter aus heliozentrischer Sicht, denn sie folgen aus den Bewegungen der Erde relativ zur ruhenden Sonne. Der Einfachheit halber wird gelegentlich weiterhin von „Sonnenzeit“ gesprochen, auch wenn es sich um Bewegungen der Erde, nicht um die der Sonne, in Abhängigkeit von der Zeit handelt.

Erste Ursache: Elliptizität der Erdbahn[Bearbeiten]

Die Bahn der Erde um die Sonne ist eine Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Das zweite Keplersche Gesetz beschreibt die Veränderung der Bahngeschwindigkeit der Erde während eines Umlaufs. In der Umgebung des Perihels – des sonnennächsten Punkts – bewegt sich die Erde schneller als im Mittel und legt während eines Tages eine größere Strecke zurück, so dass sie eine etwas größere Zusatzdrehung machen muss, bis die Sonne wieder durch den Meridian geht. Das dauert länger als im Durchschnitt. In der Umgebung des Aphels – des sonnenfernsten Punkts – ist es umgekehrt.

In Perihel-Umgebung (Winterhalbjahr auf der Nordhalbkugel) vergeht die wahre Sonnenzeit wegen der größeren Erdgeschwindigkeit (und der dadurch nötigen größeren Zusatzdrehung) langsamer, in Aphel-Umgebung (Sommerhalbjahr auf der Nordhalbkugel) vergeht sie schneller als die gleichmäßige mittlere Sonnenzeit. Die Schwankung der wahren Tageslänge beträgt etwa ± 8 Sekunden[10]. Die Summierung ergibt etwa ± 7½ Minuten jährliche Schwankung der wahren Sonnenzeit infolge Elliptizität der Erdbahn (sinus-förmige blaue Linie in obenstehendem Diagramm, Nulldurchgänge im Perihel und im Aphel [11]).

Zweite Ursache: parallele Verlagerung der geneigten Erdachse[Bearbeiten]

Die Richtung der Erdachse, die die Ebene der Erdbahn schräg (im oben dargestellten Schema nicht beachtet) mit etwa 23,44° Abweichung von der Normale schneidet, ist relativ zu den Fixsternen nahezu unveränderlich. Von der Sonne aus betrachtet ändert die Erdachse täglich ihre Richtung, sie macht eine volle Taumelbewegung pro Jahr. Die tägliche Bahnfahrt der Erde ist eine Drehung (etwa 1°) um die Bahnachse (bzw. um die Sonne). Die dadurch erforderliche Zusatzdrehung der Erde erfolgt um ihre eigene Achse. Da beide Achsen nicht parallel sind, sind beide Drehungen nicht gleich groß.

An den Tag-und-Nacht-Gleichen schneiden sich die beiden Achsen von der Sonne aus gesehen unter dem Winkel  ε ≈ 23,44°. Der Schnittwinkel ist jetzt am größten. Die Drehung der Erde um ihre Achse wirkt sich mit maximaler Verstärkung als Drehung um die zu ihrer Bahnebene (Ekliptik) rechtwinklige Achse aus. Folge ist, dass die Zusatzdrehung und die dafür erforderliche Zeit kleiner als im Mittel sind. Die wahre Sonnenzeit vergeht schneller als die mittlere Sonnenzeit.

An den Sonnenwenden decken sich beide Achsen scheinbar. Einer der beiden Erdpole ist aber der Sonne näher als der andere. Die tägliche 1°-Drehung der Erde um die Bahnachse bildet sich als Bogen auf einem ihrer beiden Wendekreise ab. Der zugehörende Bogen auf dem Erdäquator ist größer. Die erforderliche Zusatzdrehung der Erde um ihre Achse und die dafür erforderliche Zeit sind größer als im Mittel. Die wahre Sonnenzeit vergeht langsamer als die mittlere Sonnenzeit.

Diese zweite Ursache der Zeitgleichung alleine bewirkt eine Schwankung des wahren Sonnentages von etwa ± 20 Sekunden[10]. Die Summierung ergibt knapp ± 10 Minuten halbjährliche Schwankung der wahren Sonnenzeit infolge der besonderen Richtung der Erdachse (sinus-förmige Magenta-farbene Linie in obenstehendem Diagramm, Nulldurchgänge an den Tagen der Sonnenwenden und der Tag-und-Nacht-Gleichen, Start zur Wintersonnenwende).

Zeitgleichung, Überlagerung zweier Ursachen[Bearbeiten]

Die Wirkungen der Elliptizität der Erdbahn und der parallelen Verlagerung der geneigten Erdachse überlagern sich und ergeben die Zeitgleichung (rote Linie in obigem Diagramm). Da beide sinusförmige Kurven[12] zeitlich leicht gegeneinander verschoben sind, sind die Extremwerte im Ergebnis kleiner als die Summe beider Einzelextremwerte. Die Zeitgleichung hat gegenwärtig (2011) folgende Kennwerte:

  • Nullpunkte: 13. April, 13. Juni, 1. September und 25. Dezember,
  • Hauptextremwerte: 11. Februar (−14 min 14 s) und 3. November (+16 min 26 s),
  • Nebenextremwerte: am 14. Mai (+3 min 40 s) und am 26. Juli (−6 min 32 s).

Negative Zahlenwerte bedeuten: Die wahre Sonnenzeit läuft der mittleren Sonnenzeit beziehungsweise die wahre Sonne der mittleren Sonne nach.
Positive Zahlenwerte bedeuten: Die wahre Sonnenzeit läuft der mittleren Sonnenzeit beziehungsweise die wahre Sonne der mittleren Sonne voraus.

Berechnung[Bearbeiten]

Zur Ermittlung der Zeitgleichung als Funktion der gleichmäßig vergehenden Zeit sind

1. die Bewegungsgleichung der ungleichmäßig auf ihrer Bahnellipse laufenden Erde aufzustellen (Stichwort: erste Ursache) und
2. der auf diese Weise gefundene Bahnort der Erde als Ort der Sonne im geozentrischen äquatorialen Koordinatensystem anzugeben
    (Stichwort: zweite Ursache).

Beide Orte entsprechen sich, denn von der Erde aus gesehen spiegelt sich die Bewegung der Erde um die Sonne wider in der scheinbaren Bewegung der Sonne in der Ekliptik.[13] Schließlich wird aus der ekliptikalen Länge der Sonne deren äquatoriale Länge.[14] Letztere ist erforderlich, weil die bei der Erddrehung um ihre eigene Achse beobachtete Änderung des äquatorialen Winkels der Sonne unser "Zeitmacher"[15] ist.

Die Ermittlungs-Arbeit wird teilweise durch graphische Darstellungen unterstützt. In diesen veranschaulichen eine auf der Erdbahn mitlaufende fiktive mittlere Erde und eine auf dem geozentrischen Äquator mitlaufende fiktive mittlere Sonne die gleichmäßig vergehende Zeit.

Zur Zeitgleichung in heliozentrischer Darstellung:
a Mitte Februar: Winkel massstäblich gezeichnet.
b Detail aus a: Bereich mit Punkten E gespreizt.
Blaue Ellipse: Ertdbahn ("Ekliptik").
S: Sonne.
↓♈: Richtung zum Tierkreiszeichen Widder.
F, Sr, H, W, P, A – Bahnpunkte:
    Frühlings-, ..., Winteranfang, Perihel, Aphel.
E: Erde; E1: fiktive mittlere Erden
\scriptstyle \Lambda: "ekliptikale" Länge der Erde.
\scriptstyle L: "ekliptikale" Länge der fiktiven mittleren Erde.
\varpi: "ekliptikale" Länge des Perihels.
\scriptstyle M: mittlere Anomalie.
\scriptstyle C: Mittel­punkts­gleichung.
Zur Zeitgleichung in geozentrischer Darstellung:
Mitte Februar: Winkel ZG* gespreizt
F, S, H und W – Äquatorpunkte:
     Frühlings-, Sommer-, Herbst- und Winteranfang
Bahnelemente der Erde[16]
 e = \scriptstyle 0,016709-\frac{0,000042}{36525}\cdot t
numerische Exzentrizität der Bahnelipse
 \varpi = \scriptstyle  102,9400 + \frac{1,7192}{36525}\cdot t
Länge des Perihels in Grad ab Herbstpunkt
 \varepsilon = \scriptstyle  23 + 26/60 + 21/3600 -\frac{46,82/3600}{36525}\cdot t
Winkel zwischen Bahn- und Äquatorebene in Grad
 t = Zeit ab 1. Jan. 2000 12:00 UT in Tagen

Aufstellen der Berechnungsformel[Bearbeiten]

Die Zeitgleichung lässt sich zunächst als Winkeldifferenz der äquatorialen Längen, die die fiktive mittleren Sonne und die reale Sonne zu einem bestimmten Zeitpunkt haben, angeben (Abbildung rechts):

ZG^* = L- \lambda .

Der hochgestellte Stern weist darauf hin, dass ZG als Winkel- statt als Zeitdifferenz angegeben ist.

Die äquatoriale Länge der realen Sonne \lambda ergibt sich durch Koordinatentransformation aus ihrer ekliptikalen Länge \Lambda wie folgt:

 \lambda = \arctan_\Lambda (\tan\Lambda\cdot\cos\varepsilon)       ( \varepsilon = Winkel zwischen Erdbahn- und Äquator-Ebene).

Der Index \scriptstyle \Lambda bei \scriptstyle  \arctan ruft denjenigen Wert der Arkustangensrelation auf, der \scriptstyle \Lambda am nächsten liegt.

Die geozentrische ekliptikale Länge \Lambda der Sonne (Abbildung rechts) ist gleich der heliozentrischen Länge \Lambda der Erde auf ihrer Ellipsenbahn (Abbildung links).

Berechnungsformel[Bearbeiten]

ZG^* = L - \arctan_\Lambda \left(\tan\Lambda\cdot\cos\varepsilon\right). [17]

oder

\tan(ZG^*)= \frac{\tan(L)- \tan(\Lambda)\cos(\varepsilon)}{1+\tan(L)\tan(\Lambda)\cos(\varepsilon)}

Der hochgestellte Stern weist darauf hin, dass ZG als Winkel- statt als Zeitdifferenz angegeben ist.

Auswertung[Bearbeiten]

Zur Auswertung werden einige Bahnelement-Werte der Erde benötigt (Tabelle rechts).

Die gleichmäßig vergehende Zeit   t   wird von der Länge  L   repräsentiert:

 L = 100,4656 + \frac{36000,7690}{36525}\cdot t .[16][18]
Diese Gleichung beschreibt sowohl die Bewegung der fiktiven mittleren Erde E1 (Abbildung links) als auch der fiktiven mittleren Sonne S2[19] (Abbildung rechts). ‾Beide fiktiven Körper treffen sich in der Äquinoktiallinie F-H .

Der vorgegebene Termin, für den die Zeitgleichung ausgerechnet werden soll, legt die Zeit  t fest.

Die Bahnelemente e ,  \varpi und \varepsilon sind nur langfristig veränderliche Größen.

Die Länge  \Lambda wird mit Hiilfe der Mittelpunktsgleichung  C bestimmt (Abbildung links):

\Lambda=L+C ,
C=\frac{180}{\pi}\left[ \left( 2 e - \frac{e^{3}}{4}  \right) \sin M +  \frac{5}{4}  e^{2}  \sin (2 M)  +  \frac{13}{12}   e^3 \sin (3 M)+\textstyle ...\right] .[20]

Die in   C  außer dem Bahnelement   e   enthaltene mittlere Anomalie  M  ist die auf das Perihel P der Erdbahn umgerechnete Länge   L  der fiktiven mittleren Erde (Abbildung links):
 M = L-\varpi .[21]

Die beiden Größen  L und  \Lambda zur Berechnung von  ZG^* liegen damit vor.

Im Tageslauf durchläuft die Sonne 360° in 24 Stunden oder 1° in 4 min. Damit gilt für die Zeitgleichung in Minuten

ZG = 4\cdot ZG^* = 4 \cdot (L - \arctan_\Lambda \left(\tan\Lambda\cdot\cos\varepsilon\right)) .

Geltungsdauer und Genauigkeit[Bearbeiten]

Mit den oben angegebenen Bahnelementen lassen sich ausreichend genaue Zeitgleichungswerte für mehrere Jahrhunderte vor und nach dem Jahr 2000 bestimmen. Sie weichen um weniger als 5 s von denen eines genaueren Referenzmodells (z. B. VSOP) ab, das – anders als das hier gelöste Zweikörperproblem – die Störkräfte der anderen Planeten und vor allem des Mondes berücksichtigt.

Zahlenbeispiel[Bearbeiten]

Die Tabelle enthält die Werte in einer möglichen Reihenfolge der Rechenschritte ohne Zwischenergebnisrundung.

Rechnung für 12. Februar 2015 13:00 UT
\scriptstyle t \scriptstyle e \scriptstyle \varpi \scriptstyle L \scriptstyle \varepsilon \scriptstyle M \scriptstyle C \scriptstyle \Lambda \scriptstyle ZG^* \scriptstyle ZG
Wert 5521,042 d 0,016703 103,2° 5902,3° 23,4° 5799,1° 1,2° 5903,5° -3,55° -14,21 min
Hauptwert 142,3° 39,1° 143,5°

Ein genauer berechneter Vergleichswert[22] beträgt -14,19 min.

Zeitgleichungswerte für die Passage ausgezeichneter Bahnpunkte[Bearbeiten]

Die Berechnung von Zeitgleichungswerten für die Passage ausgezeichneter Bahnpunkte ist kürzer und einfacher. Es entfällt die aufwändige und nicht geschlossen durchführbare Bestimmung eines zu einer vorgegebenen Zeit gehörenden Bahnortes. Für diese Berechnung empfiehlt sich Anwendung der Kepler-Gleichung.

Sonnenauf- und -untergang zur Zeit der Sonnenwenden[Bearbeiten]

Sonnenauf- und -untergangszeiten im Dezember und am Anfang des Januars, schematisch

Dass der Sonnenuntergang schon mehrere Tage vor der Wintersonnenwende wieder später am Abend und der Sonnenaufgang erst mehrere Tage danach wieder früher am Morgen stattfindet ist eine Folge der Zeitgleichung. In WOZ angegeben sind die Grenzen zwischen Nacht und Tag und zwischen Tag und Nacht zwar zueinander über die Datumsachse symmetrisch, nicht aber in MOZ. Nach der Korrektur der WOZ mittels Zeitgleichung zur MOZ ist der Tageskoridor (siehe nebenstehende Abbildung) verzerrt. Die Wendepunkte seiner Grenzlinien haben sich auf ein früheres Datum (Sonnenuntergang) beziehungsweise auf ein späteres Datum (Sonnenaufgang) verschoben.

Auf das Datum für den kürzesten lichten Tag im Jahr (Wintersonnenwende) hat das keinen merklichen Einfluss. Es bleibt etwa beim 22. Dezember (1-Tages-Variation infolge Schaltjahrzyklus).

Bei der Sommersonnenwende besteht der gleiche Effekt. Er ist weniger ausgeprägt als im Winter, weil die Steigung der Zeitgleichung als Funktion des Datums nur etwa ein Drittel so groß ist.

Analemma[Bearbeiten]

Stellt man die Abhängigkeit der Zeitgleichung von der Deklination der Sonne als Diagramm dar, entsteht eine Schleifenfigur, die als Analemma bezeichnet wird. Diese Schleife zeigt den wahren Stand der Sonne um 12 Uhr mittags mittlerer Ortszeit für die verschiedenen Jahreszeiten als Höhe über dem Himmelsäquator und als seitlichen Abstand vom Meridian. Dabei entsprechen in seitlicher Richtung vier Zeitminuten einem Grad im Winkelmaß. Die links gezeigten Figuren gelten nördlich des nördlichen Wendekreises mit der Blickrichtung nach Süden. Sie sind gegenüber der Himmelsfigur in horizontaler Richtung ungefähr um den Faktor fünf bis sechs gedehnt. Rechts sieht man in einem historischen Mittagsweiser die zugehörige Schattenkurve auf einer vertikalen Wand markiert.

Die leichte Asymmetrie zwischen rechts und links rührt davon her, dass Perihel und Wintersonnenwende nicht auf denselben Tag fallen. Letzteres war zuletzt im Jahre 1246 der Fall (Tag der Wintersonnenwende etwa wie heute). Die innere Schnittstelle galt etwa für den 16. April und den 29. August (Gregorianischer Kalender rückwärts angewendet).

Im Jahre 6433 wird das Perihel den Tag des Frühlings-Äquinoktiums erreicht haben. Die Zeitgleichung wird an den Tagen der Äquinoktien null und das Analemma eine zu diesem Punkt symmetrische Figur sein.[23]

Am häufigsten ist das Analemma als Stundenschleife auf Sonnenuhren zu sehen, die zur Anzeige der mittleren Sonnenzeit ausgelegt sind. Oftmals wird es allerdings in zwei Teile (ein Teil ähnlich einem S, der andere ähnlich einem Fragezeichen) aufgeteilt, um Verwechslungen beim Ablesen zu verhindern (für einen Deklinationswert gibt es zwei Punkte auf der ganzen Figur). Jedes der beiden Teile gilt etwa ein halbes Jahr lang. Solche Uhren haben zwei auswechselbare Zifferblätter.[2] Die Zifferblätter lassen sich leicht auf die am Aufstellort gültige Zonenzeit auslegen, zeigen also die „Normalzeit“ an.

Auch die jeden Tag zur gleichen mittleren Zeit fotografierte Sonne ergibt in der Summe ein am Himmel stehendes Analemma.[24]

Literatur[Bearbeiten]

  • Hughes, D. W., Yallop, B. D., Hohenkerk, C. Y.: The Equation of Time, Mon. Not. R. astr. Soc. (1989), 238, 1529–1535 (PDF)
  • Bernd Loibl: Wann ist Mittag?. In: Sterne und Weltraum Sterne und Weltraum, Spektrum der Wissenschaft, 8–9/1996. S. 643–645
  • Robert Weber. Zeitsysteme. In: Hermann Mucke (Hrsg.): Moderne astronomische Phänomenologie. 20. Sternfreunde-Seminar, 1992/93. Planetarium der Stadt Wien – Zeiss Planetarium der Stadt Wien – Zeiss Planetarium und Österreichischer Astronomischer Verein 1992, S. 55–102

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Zeitgleichung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Zeitgleichung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Die Skala ist für MEZ ausgelegt, somit wird die für 15° Ost angezeigte wahre Sonnenzeit (wahre Ortszeit WOZ) auf mittlere Sonnenzeit (mittlere Ortszeit MOZ) für 15° Ost (gleich MEZ) korrigiert. Standort: 12° 22' Ost, Skalenverschiebung: etwa 10½ Minuten (entspricht dem Winkel zwischen Vertikaler und XII-Uhr-Linie).
  2. a b Es existieren auch moderne Sonnenuhren, die für den Zeitausgleich konstruiert sind. Vgl. Siegfried Wetzel: Die Physik der Sonnenuhr. In: Schriften des Historisch-wissenschaftlichen Fachkreises Freunde alter Uhren in der Deutschen Gesellschaft für Chronometrie. Deutsche Gesellschaft für Chronometrie (Hrsg.), 1998, ISBN 3-923422-16-4, Abb.n 16 bis 18 (online, PDF).
  3. O. Neugebauer: A History of Ancient Mathematical Astronomy, Berlin 1975
  4. R. Wolf: Handbuch der Astronomie, Amsterdam 1973
  5. Flamsteed eröffnete seine Laufbahn mit einer wichtigen Abhandlung über die Bestimmung der Zeitgleichung. [1]
  6. Flamsteed J.: De inaequilitate dierum solarium dissertatio astronomica. London 1672. (online)
  7.  N. Dershowitz, E.M. Reingold: Calendrical Calculations. Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-70238-6, S. 182.
  8. J. Meeus: Astronomical Algorithms, Richmond 2000, S. 184
  9. In den meisten Fällen befindet sich der Beobachtungsort nicht auf dem Bezugslängengrad der gebrauchten Zonenzeit, die sich deshalb von seiner mittleren Ortszeit unterscheidet. Man muss letztere vorgängig ermitteln: Potsdam liegt z.B. 2° westlicher als 15° Ost, dem Bezugslängengrad der MEZ. Die mittlere Ortszeit ist hier 8 Minuten (4 Minuten / Längengraddifferenz) kleiner als die von der (Armband-)Uhr angezeigte MEZ.
  10. a b Siegfried Wetzel Die Zeitgleichung, elementar behandelt - DGC-Mitteilungen Nr.109, 2007
  11. Bei der Berechnung der Zeitgleichung wird in den ersten Näherungen die vom Mond periodisch verursachte Beschleunigung der Erde vernachlässigt. Man rechnet zum Beispiel für den Periheldurchgang gegenwärtig mit dem 3. oder 4. Januar (Unterschied innerhalb einer Vierjahres-Schaltperiode), was genau genommen nur für den gemeinsamen Schwerpunkt von Erde und Mond gilt. Erst bei angestrebter Genauigkeit im Sekundenbereich wird beachtet, dass der Schwerpunkt der Erde um den gemeinsamen Schwerpunkt auf einem Radius von etwa 4700 km rotiert, die Erde also in Bahnrichtung während einer Mondperiode zeitweise bis 4 700 km voraus oder zurück ist.
  12. Die Kurven sind nur in guter Näherung Sinus-Linien. Die Erdbahn und die Richtung der Erdachse ändern sich langfristig, weshalb sich die Zeitgleichungskurven auch von Jahr zu Jahr geringfügig ändern.
  13. Vgl. Manfred Schneider: Himmelsmechanik, Band II: Systemmodelle, BI-Wissenschaftsverlag, 1993, ISBN 3-411-15981-2, S. 507
  14. Bei Bezug auf den Frühlingspunkt F heißt die äquatoriale Länge Rektaszension.
  15. Ernst Matthäus Fürböck: "Gedanken über das Wesen der Räderuhr", Schriften der Freunde alter Uhren, 1977, S. 14 bis 21
  16. a b O. Montenbruck: Grundlagen der Ephemeridenrechnung, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, 7. Auflage 2005
  17. Mit Rektaszensionen lautet die Gleichung \scriptstyle ZG^* = (L -180)  - \arctan_{(\Lambda-180)} \left(\tan(\Lambda-180)\cdot\cos\varepsilon\right),
  18. Den Bahnelementen wird formal auch die Zeit t zugerechnet, wobei häufig anstatt t eine mittlere Anomalie (hier L) als lineare Funktion F(t) angegeben wird.
  19. Wahl der Indices: wie bei Manfred Schneider: Himmelsmechanik, Band II: Systemmodelle, BI-Wissenschaftsverlag, 1993, ISBN 3-411-15981-2. S1 ist dort eine hier nicht benötigte fiktive Sonne, die auf der Ekliptik umläuft.
  20. Astronomische Berechnungen für Amateure/ Himmelsmechanik/ Sonne
  21. Die mittlere Anomalie M wird bei Anwendung der Kepler-Gleichung, mit der die Zeitgleichung klassisch ausgewertet wird, gebraucht. Der Rechenweg mit Hilfe der Mittelpunktsgleichung C (drei Reihenglieder sind für die angestrebte Genauigkeit ausreichend) ist schneller als der mit der Kepler-Gleichung, die zudem keine geschlossenen Lösung hat.
  22. nach Multiyear Interactive Computer Almanac 1800 - 2050, U.S. Naval Observatory, Willmann-Bell 2005
  23. Heinz Schilt: Zur Berechnung der mittleren Zeit für Sonnenuhren, Schriften der Freunde alter Uhren, 1990
  24. Am Himmel in Griechenland fotografierte Analemmata [2]