Zeitgleichung

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Sonnenuhr mit Zeitgleichungs-Tabelle zur Korrektur der angezeigten wahren Sonnenzeit (wahre Ortszeit WOZ) auf mittlere Sonnenzeit (mittlere Ortszeit MOZ)[1]

Die Zeitgleichung (Formelzeichen ZG oder ZGL) ist der Zeitunterschied zwischen der wahren Sonnenzeit (wahre Ortszeit WOZ) und der mittleren Sonnenzeit (mittlere Ortszeit MOZ).

ZG = WOZ - MOZ

Die Ursachen der Zeitgleichung sind die leicht schwankende Geschwindigkeit der Bewegung der Erde auf ihrer elliptischen Bahn um die Sonne und die Tatsache, dass die Erdachse nicht senkrecht zur Bahnebene der Erde steht. Die Erdachse zeigt stets in dieselbe Richtung des Fixstern­himmels. Gegenüber der Sonne scheint sie zu schwanken: Im Dezember ist die nördliche Halbachse beziehungsweise der Nordpol von der Sonne weg geneigt, im Juni der Sonne zugeneigt.

Im Einzelnen verursachen

  1. die elliptische Form der Erdbahn einen periodischen Unterschied (Periode 1 Jahr) von etwa ± 7,5 Minuten,
  2. die Neigung der Erdachse einen periodischen Unterschied (Periode ½ Jahr) von etwa ± 10 Minuten.

Weil die beiden periodischen Anteile gegeneinander phasenverschoben sind, sind die jährlichen Extremwerte etwa +16 und -14 Minuten und nicht ± 17,5 Minuten (± (7,5 + 10 Minuten)).

Die Zeitgleichung ändert sich stetig um bis zu etwa 30 Sekunden in 24 Stunden. In üblichen Tabellenwerken wird der Wert der Zeitgleichung für jeden Tag eines bestimmten Jahres für den Zeitpunkt 12:00 UT angegeben. Für viele Anwendungen ist es ausreichend, diesen Wert überall auf der Erde und für den gesamten örtlichen lichten Tag zu benutzen.

Die meisten Sonnenuhren zeigen die wahre Sonnenzeit an und gehen folglich gegenüber der mittleren Sonnenzeit zeitweise bis etwa 16 Minuten vor beziehungsweise bis etwa 14 Minuten nach.[2] Eine manchmal neben dem Zifferblatt angegebene Zeitgleichungstabelle oder ein -diagramm hilft dem Benutzer, die mittlere Zeit auszurechnen (oberes Bild). Oftmals wird als Ersatz für die Mitteleuropäische Zeit MEZ die wahre Sonnenzeit des 15. östlichen Längengrades angezeigt. Man erhält von einer solchen Sonnenuhr die MEZ durch Korrektur mit dem Wert der Zeitgleichung und erspart sich die sonst noch nötige Korrektur von der mittleren örtlichen Sonnenzeit eines beliebigen Längengrads zur MEZ.

Das folgende Diagramm (unteres Bild) ist ein etwas mehr als ein Jahr langer Ausschnitt aus der prinzipiell stetig aus der Vergangenheit in die Zukunft fortlaufenden Zeitgleichung (rote Linie). Die jeweils vier Jahre auseinander liegenden Werte (zum Beispiel die für 2011 im Diagramm und die künftigen für 2015) unterscheiden sich lediglich um Sekunden. Innerhalb der vierjährigen Schaltperiode decken sich die Jahresausschnitte infolge der kleinen Verschiebungen der kalendarischen Tagesskala (< ±1Tag) gegen das Sonnenjahr mit Abweichungen, die kleiner als |± 1| Minute sind.

In astronomischen Jahrbüchern werden jährlich auf Sekunden genaue, mit den aktuellen kleinen Veränderungen der astronomischen Ursachen neu berechnete Zeitgleichungen veröffentlicht.

Zeitgleichung in Minuten, Ausschnitt für 2011 (erstes Jahr der Berechnung).
Zusätzlich sind noch die (fiktiven) Teil-Zeitgleichungen zu sehen, wenn sich die Erde auf einer Kreisbahn bewegte (Halbjahresperiode), beziehungsweise wenn die Erdachse senkrecht auf der Erdbahn wäre (Jahresperiode).

Historisches[Bearbeiten]

Die Zeitgleichung war schon den antiken Astronomen bekannt. Geminos von Rhodos erwähnt sie.[3] Im Almagest des Ptolemäus wurde sie recht genau und bündig angesprochen.[4] Bald nach Bekanntwerden der Keplerschen Gesetze hat John Flamsteed 1672 die heute verwendete quantitative Beschreibung vorgenommen.[5][6]

In der älteren Literatur sind Minuend und Subtrahend vertauscht. Dieses Resultat mit umgekehrtem Vorzeichen wurde der früher im Alltag benutzten, auf einer Sonnenuhr angezeigten wahren Sonnenzeit hinzugefügt, um die mit der neu erfundenen Räderuhr ausschließlich darstellbare mittlere Sonnenzeit zu erhalten. Dieser Vorgang entspricht der alten Bedeutung von „Gleichung“ als „zuzufügende Korrektur“.[7] In französischen Jahrbüchern ist diese Konvention heute noch üblich.[8]

Heutzutage hat die mittlere Zeit, die man von (prinzipiell) stets gleichmäßig laufenden Uhren abliest, Priorität, und man folgert aus ihr die wahre Sonnenzeit. Um weiterhin „zufügend korrigieren“ zu können, wurde die heutige Vorzeichenregelung getroffen.[9]

Stern- und Sonnentag und mittlere Sonne[Bearbeiten]

Stern- und Sonnentag[Bearbeiten]

Die sich drehende und in der Ekliptikebene um die Sonne bewegende Erde :
von 1 nach 2 = Bahnfahrt pro Sterntag
von 1 nach 3 = Bahnfahrt pro Sonnentag

Der Zeitraum zwischen zwei Meridiandurchgängen der Sonne ist ein Sonnentag; er beträgt im Mittel 24 Stunden. Im Unterschied dazu wird der Zeitraum zwischen zwei Meridiandurchgängen eines Fixsternes als Sterntag bezeichnet. Dies ist die Zeit für eine Drehung der Erde um sich selbst und beträgt 23 Stunden 56 Minuten und 4 Sekunden (365,25 Sonnentage ≈ 366,25 Sterntage). Der Unterschied zwischen der Länge des Sterntages und der Länge des Sonnentages resultiert aus der jährlichen Bewegung der Erde um die Sonne. Von Tag zu Tag kommt die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne fast einen Bogengrad voran (360 Grad in 365 Tagen). Da beide Bewegungen gleichen Drehsinn haben, muss sich die Erde um ebenfalls knapp ein Grad über die volle Umdrehung hinaus weiterdrehen, bis die Sonne wieder durch den Meridian geht. Dies benötigt im Mittel 3 Minuten und 56 Sekunden.

Die Erdrotation ist sehr gleichmäßig, weshalb die Dauer des Sterntags als konstant angenommen werden kann. Unterschiedlich groß sind allein die kleine Zusatz-Drehung und die damit verbundene kleine zusätzliche Zeit, die aus der täglichen Bahnfahrt der Erde resultieren. Diese Zusatzeit kann bis etwa 30 Sekunden länger oder bis etwa 20 Sekunden kürzer sein als ihr mittlerer Wert von knapp 4 Minuten, was sich über Monate hinweg auf bis zu rund einer Viertelstunde aufsummieren kann, bevor sich der Effekt wieder umkehrt. Die am Sonnenstand abgelesene wahre Sonnenzeit WOZ vergeht somit ungleichmäßig. Ihre Abweichung von der gleichmäßig vergehenden, zum Beispiel von einer Räderuhr ablesbaren Zeit MOZ ist die sogenannte Zeitgleichung.

Mittlere Sonne[Bearbeiten]

Als der von der (scheinbaren) Bewegung der (wahren) Sonne „gemachte“ Sonnentag als ungleichmäßig lang erkannt wurde, der Sonnentag aber grundlegendes Zeitmaß bleiben sollte, wurde auf den formalen Gebrauch einer fiktiven sogenannten mittleren Sonne ausgewichen und mit der sogenannten mittleren Sonnenzeit ein gleichmäßiges Zeitmaß geschaffen. Die künstliche mittlere Sonne läuft gleichmäßig und nicht auf der Ekliptik, sondern auf dem Himmels-Äquator um und „macht“ dabei den mittleren Sonnentag.

Zwei Zeitgleichungsursachen, überlagert[Bearbeiten]

Die Ursachen für die Zeitgleichung erkennt man leichter aus heliozentrischer Sicht, denn sie folgen aus den Bewegungen der Erde relativ zur ruhenden Sonne. Der Einfachheit halber wird gelegentlich weiterhin von „Sonnenzeit“ gesprochen, auch wenn es sich um Bewegungen der Erde, nicht um die der Sonne, in Abhängigkeit von der Zeit handelt.

Erste Ursache: Elliptizität der Erdbahn[Bearbeiten]

Die Bahn der Erde um die Sonne ist eine Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Das zweite Keplersche Gesetz beschreibt die Veränderung der Bahngeschwindigkeit der Erde während eines Umlaufs. In der Umgebung des Perihels – des sonnennächsten Punkts – bewegt sich die Erde schneller als im Mittel und legt während eines Tages eine größere Strecke zurück, so dass sie eine etwas größere Zusatzdrehung machen muss, bis die Sonne wieder durch den Meridian geht. Das dauert länger als im Durchschnitt. In der Umgebung des Aphels – des sonnenfernsten Punkts – ist es umgekehrt.

In Perihel-Umgebung (Winterhalbjahr) vergeht die wahre Sonnenzeit wegen der größeren Erdgeschwindigkeit (und der dadurch nötigen größeren Zusatzdrehung) langsamer, in Aphel-Umgebung (Sommerhalbjahr) vergeht sie schneller als die gleichmäßige mittlere Sonnenzeit. Die Schwankung der wahren Tageslänge beträgt etwa ± 8 Sekunden[10]. Die Summierung ergibt etwa ± 7½ Minuten jährliche Schwankung der wahren Sonnenzeit infolge Elliptizität der Erdbahn (sinus-förmige blaue Linie in obenstehendem Diagramm, Nulldurchgänge im Perihel und im Aphel [11]).

Zweite Ursache: Neigung der Erdachse[Bearbeiten]

Die Erdachse schneidet ihre Bahnebene nicht rechtwinklig (im oben dargestellten Schema die Bildebene nicht rechtwinklig). Die Abweichung vom rechten Winkel beträgt etwa ε = 23,44° zum 1. Januar 2000. Diese Abweichung ist die zweite Ursache der Zeitgleichung, wobei entscheidend ist, dass die von der Sonne aus betrachtete Erdachse ihre Richtung täglich ändert, eine volle Taumelbewegung pro Jahr macht. Die tägliche Bahnfahrt der Erde ist eine Drehung (etwa 1°) um die Bahnachse (bzw. um die Sonne). Die dadurch erforderliche Zusatzdrehung der Erde erfolgt um ihre eigene Achse. Da beide Achsen nicht parallel sind, sind beide Drehungen nicht gleich groß.

An den Tag-und-Nacht-Gleichen schneiden sich die beiden Achsen von der Sonne aus gesehen unter dem Ekliptikwinkel ε. Der Schnittwinkel ist jetzt am größten (etwa 23,44° zum 1. Januar 2000). Die Drehung der Erde um ihre Achse wirkt sich mit maximaler Verstärkung als Drehung um die zu ihrer Bahnebene (Ekliptik) rechtwinklige Achse aus. Folge ist, dass die Zusatzdrehung und die dafür erforderliche Zeit kleiner als im Mittel sind. Die wahre Sonnenzeit vergeht schneller als die mittlere Sonnenzeit.

An den Sonnenwenden decken sich beide Achsen scheinbar. Einer der beiden Erdpole ist aber der Sonne näher als der andere. Die tägliche 1°-Drehung der Erde um die Bahnachse bildet sich als Bogen auf einem ihrer beiden Wendekreise ab. Der zugehörende Bogen auf dem Erdäquator ist größer. Die erforderliche Zusatzdrehung der Erde um ihre Achse und die dafür erforderliche Zeit sind größer als im Mittel. Die wahre Sonnenzeit vergeht langsamer als die mittlere Sonnenzeit.

Diese zweite Ursache der Zeitgleichung alleine bewirkt eine Schwankung des wahren Sonnentages von etwa ± 20 Sekunden[10]. Die Summierung ergibt knapp ± 10 Minuten halbjährliche Schwankung der wahren Sonnenzeit infolge der besonderen Richtung der Erdachse (sinus-förmige Magenta-farbene Linie in obenstehendem Diagramm, Nulldurchgänge an den Tagen der Sonnenwenden und der Tag-und-Nacht-Gleichen, Start zur Wintersonnenwende).

Zeitgleichung, Überlagerung zweier Ursachen[Bearbeiten]

Die Wirkungen der Elliptizität der Erdbahn und der besonderen Richtung der Erdachse überlagern sich und ergeben die Zeitgleichung (rote Linie in obigem Diagramm). Da beide sinusförmige Kurven[12] zeitlich leicht gegeneinander verschoben sind, sind die Extremwerte im Ergebnis kleiner als die Summe beider Einzelextremwerte. Die Zeitgleichung hat gegenwärtig (2011) folgende Kennwerte:

  • 4 Nullpunkte: 13. April, 13. Juni, 1. September und 25. Dezember,
  • 2 Hauptextremwerte: 11. Februar (−14 min 14 s) und 3. November (+16 min 26 s),
  • 2 Nebenextremwerte: am 14. Mai (+3 min 40 s) und am 26. Juli (−6 min 32 s).

Negative Zahlenwerte bedeuten: Die wahre Sonnenzeit läuft der mittleren Sonnenzeit beziehungsweise die wahre Sonne der mittleren Sonne nach.
Positive Zahlenwerte bedeuten: Die wahre Sonnenzeit läuft der mittleren Sonnenzeit beziehungsweise die wahre Sonne der mittleren Sonne voraus.

Berechnung[Bearbeiten]

Zur Ermittlung eines Zeitgleichungswerts für einen gegebenen Zeitpunkt \scriptstyle t ist die Differenz \scriptstyle WOZ - MOZ auf die üblichen Koordinaten der Sonne zurückzuführen. Die gleichmäßige tägliche Rotation der Erde um ihre Polachse, die in \scriptstyle WOZ und \scriptstyle MOZ augenfällig ist, beeinflusst die Zeitgleichung nicht. Die Erdrotation dominiert zwar die zeitliche Rate beider Zeitarten, aber mit genau gleichem konstanten Wert bei Minuend und Subtrahend. Die Erde könnte mit jeder anderen als der realen Drehzahl gleichbleibend rotieren - einschleißlich des Werts null: Die Zeitgleichung bliebe dieselbe.

Geozentrische Definition als Rektaszensionsdifferenz[Bearbeiten]

Der Jahresumlauf der Sonne zeigt sich in ihrer langsamen jährlichen Ostwärts-Bewegung gegenüber den Sternen. Die hier interessierende Sonnenposition, die Rektaszension  \alpha, ist als nach Osten gezählter Winkel zwischen Sonne und Frühlingspunkt in der geozentrischen Äquatorebene (kurz: Äquator) am Himmel messbar. Die Rektaszension wächst leicht ungleichmäßig um ca. 360° pro Jahr an. Dabei entfernt sie sich nicht mehr als ca. 4° von ihrer Näherung durch eine Gerade. Diese Näherung heißt mittlere Rektaszension  \alpha_m. Die Differenz der Winkelverläufe, \alpha und \alpha_m, bildet die Zeitgleichung.

Die mittlere Rektaszension  \alpha_m kann man sich als die Rektaszension einer fiktiven, gleichmäßig umlaufenden mittleren Sonne vorstellen. Da sie modellgemäß nicht in der Ekliptikebene (kurz: Ekliptik), sondern im Äquator umläuft, macht sie den jahreszeitlichen Auf- und Abstieg der Sonne nicht mit.

Mit den definierten Rektaszensionen lässt sich für die Zeitgleichung

ZG{}^* = \alpha_m - \alpha

schreiben. Der hochgestellte Stern weist darauf hin, dass sie als Winkel statt als Zeit angegeben ist. Wenn die wahre Sonne westlich der mittleren steht, ist \scriptstyle WOZ > MOZ, aber  \alpha < \alpha_m. Daher ist die Reihenfolge von Minuend und Subtrahend gegenüber der anfänglichen Definition per Zeitunterschied umgedreht.

Im Tageslauf durchläuft die Sonne 360° in 24 Stunden oder 1° in 4 min. Damit gilt für die Zeitgleichung in Minuten

ZG = 4\cdot ZG^*.

\scriptstyle ZG^* ist in Grad einzusetzen.

Heliozentrische Erfassung als Längendifferenz im Keplermodell[Bearbeiten]

Äquatoriale Länge der Erde statt Rektaszension der Sonne[Bearbeiten]

Der Vektor \scriptstyle \vec R von der Sonne zur Erde ist dem Vektor \scriptstyle \vec r von der Erde zur Sonne gemäß \scriptstyle \vec R = -\vec r negativ gleich. Das zieht nach sich, dass sich die Rektaszension der Sonne (ihre geozentrische Länge im Äquator) von der heliozentrisch äquatorialen Länge der Erde nicht unterscheidet - außer in einer Verschiebung um 180°. Man kann also ohne Weiteres die Differenz von mittlerer und wahrer Rektaszension der Sonne durch die Differenz von mittlerer äquatorialer Länge \scriptstyle \lambda_m und wahrer äquatorialer Länge \scriptstyle \lambda der Erde ersetzen, womit sich

ZG^* = \lambda_m - \lambda.

ergibt. Die weiteren Herleitungen können damit heliozentrisch ablaufen.

Dieser Weg wird beschritten, weil das sich zuvorderst anbietende geozentrische Modell (Sonne umrundet scheinbar die Erde auf einer elliptischen Bahn) weniger vertraut und weniger anschaulich ist als die heliozentrische Vorstellung (Erde umrundet die Sonne). Ferner können die in der Tabelle Bahnelemente der Erde angegebenen Längen direkt, d. h. ohne Umrechnung (auf die Sonne als scheinbaren Umlaufkörper) verwendet werden.

Mittlere Bahnelemente der Erde[Bearbeiten]

Mittlere Bahnelemente der Erde
 e = \scriptstyle 0.016709-\frac{0.000042}{36525}\cdot t
numerische Exzentrizität (Bahnelement)
 \varpi = \scriptstyle  102.9400 + \frac{1.7192}{36525}\cdot t
Länge des Perihels in Grad (Bahnelement)
 L = \scriptstyle  100.4656 + \frac{36000.7690}{36525}\cdot t
mittlere Länge der Erde in Grad (Bahnelement)
 \varepsilon = \scriptstyle  23 + 26/60 + 21/3600 -\frac{46.82/3600}{36525}\cdot t
Schiefe des Äquators in Grad
 t = Zeit ab 1.1.2000 12:00 UT in Tagen

Im Folgenden werden zur Detaillierung der Zusammenhänge einige Bahnelemente der Erde benötigt. Die tabellierten Werte sind Montenbruck[13] entnommen.

Zeitgleichung in heliozentrischer Darstellung
Ekliptik (blau) und Äquator (rot) sind in derselben Ebene dargestellt, um die Winkel vergleichen zu können. Nur die Äquinoktialline FH ist beiden Ebenen gemeinsam.
a Die Graphik bildet die Mitte Februar geltenden Winkel realistisch ab.
b Ausschnitt mit gespreizten Winkeln
Bezeichnungen: \scriptstyle ZG^*: Zeitgleichung als Winkel. F, Sr, H, W: Bahnpunkte bei Frühlings-, Sommer, Herbst- bzw. Winteranfang. P, A: Perihel bzw. Aphel. E, S: Erde bzw. Sonne. \scriptstyle \text{E}_1: erste mittlere Erde in der Ekliptik. \scriptstyle \text{E}_2: zweite mittlere Erde im Äquator. \scriptstyle M: mittlere Anomalie (Bahn­element). \scriptstyle L: mittlere Länge der Erde (Bahn­element).  \varpi: Länge des Perihels (Bahn­element). \scriptstyle V: wahre Anomalie. \scriptstyle C: Mittel­punkts­gleichung. \scriptstyle \Lambda: helio­zentrische ekliptische Länge der Erde. ♈: Richtung zum Frühlingspunkt.

Herleitung der Berechnungsformel[Bearbeiten]

Schneider[14] konstruiert zur Erläuterung der Zeitgleichung in geozentrischer Sicht zwei fiktive mittlere Sonnen. Die erste mittlere Sonne \scriptstyle \text{S}_1 läuft wie die wahre Sonne in der Ekliptik um und geht zusammen mit ihr durch das Perihel. Die zweite mittlere Sonne \scriptstyle \text{S}_2 läuft mit derselben Periode im Äquator um und passiert gleichzeitig mit \scriptstyle \text{S}_1 den Frühlingspunkt. \scriptstyle \text{S}_2 ist die mittlere oder Vergleichssonne mit der Rektaszension \scriptstyle \alpha_m.

In der hier eingeschlagenen heliozentrischen Analyse entsprechen den beiden mittleren Sonnen die mittleren Erden \scriptstyle \text{E}_1 und \scriptstyle \text{E}_2 (vgl. Graphik). \scriptstyle \text{E}_1 ist die aus der Kepler'schen Theorie (Zweimassenmodell) geläufige mittlere Erde in der Ekliptik, die vom Perihel und Frühlingspunkt den Abstand \scriptstyle M (mittlere Anomalie) bzw. \scriptstyle L (mittlere Länge) hat. \scriptstyle \text{E}_2 ist die eigentliche, im Äquator umlaufende und \scriptstyle \text{S}_2 entsprechende Vergleichserde. Ihrer heliozentrisch äquatorialen Länge \scriptstyle \lambda_m wird der Zeitverlauf des Bahnelements \scriptstyle L (s. Tabelle) zugewiesen.

Wegen der getroffenen Festlegung \scriptstyle \lambda_m = L folgt

ZG{}^* = L - \lambda.

Die heliozentrisch äquatoriale Länge der Erde \scriptstyle \lambda hängt mit ihrer heliozentrisch ekliptikalen Länge \scriptstyle \Lambda über die Transformationsformel

 \lambda = \arctan_\Lambda (\tan\Lambda\cdot\cos\varepsilon)

von ekliptikalen in äquatoriale Koordinaten zusammen (Schiefe  \varepsilon s. Tabelle). Der Index \scriptstyle \Lambda bei \scriptstyle  \arctan ruft den (Neben-)Wert der Arkustangensrelation auf, der \scriptstyle \Lambda am nächsten liegt (s. Arcustangens mit Lageparameter).

Resultat[Bearbeiten]

Die endgültige Berechnungsvorschrift für die Zeitgleichung (im Winkelformat) lautet damit

ZG^* = L - \arctan_\Lambda \left(\tan\Lambda\cdot\cos\varepsilon\right). [15]

\scriptstyle ZG^* lässt sich gemäß

ZG^* = (L - \Lambda) + (\Lambda - \lambda)

in zwei Komponenten zerlegen. Die linke Klammer enthält den Anteil, der auf die Exzentrizität  e der Erdbahn zurückgeht, die rechte Klammer den Anteil, der bei gegebener Exzentrizität durch die Schiefe  \varepsilon des Äquators (s. Tabelle) hinzukommt. Der linke Anteil verläuft jahres-, der rechte halbjahresperiodisch (s. Graph der Zeitgleichung am Artikelanfang). Die Zerlegung quantifiziert die im Abschnitt Zwei Zeitgleichungsursachen, überlagert analysierten Zeitgleichungskomponenten.

Auswertung[Bearbeiten]

Das Kepler-Modell für elliptische Planetenbahnen wird als bekannt vorausgesetzt.

Der vorgegebene Termin, für den die Zeitgleichung ausgerechnet werden soll, legt die Zeit \scriptstyle t fest, wie in der letzten Zeile der Tabelle angegeben. Damit kann die mittlere Anomalie

M = L-\varpi

aus zwei Bahnelemten lt. Tabelle bestimmt werden[16]. Die Länge der wahren Erde

\Lambda=L+C

ergibt sich mit Hilfe einer Näherung der Mittelpunktsgleichung[17] \scriptstyle C=\frac{180}{\pi}\left[ \left( 2 e - \frac{e^{3}}{4}  \right) \sin M +  \frac{5}{4}  e^{2}  \sin (2 M)  +  \frac{13}{12}   e^3 \sin (3 M)\right]..., die genauer als nötig ist. Die Mittelpunktsgleichung \scriptstyle C=V-M=\Lambda-L beschreibt die Erdbewegung mit gleichem Ergebnis wie die aus der Keplergleichung ermittelte Lösung. Die Zeitgleichung wird im Fall \scriptstyle \varepsilon =0 mit der (negativen) Mittelpunktsgleichung identisch (s. linken Klammerterm der Zerlegung oben).

Alle Größen zur Berechnung von \scriptstyle ZG^* und \scriptstyle ZG liegen damit vor.

Geltungsdauer und Genauigkeit[Bearbeiten]

Die eingerahmte Zeitgleichungsformel ist mit den tabellierten Konstanten mehrere Jahrhunderte vor und nach dem Jahr 2000 anwendbar. Die Werte weichen um weniger als 5 s von denen eines genauen Referenzmodells (z. B. VSOP) ab, das - anders als das Kepler-Modell - die Störkräfte der anderen Planeten und vor allem des Mondes berücksichtigt.

Zahlenbeispiel[Bearbeiten]

Die Tabelle enthält die Werte in einer möglichen Reihenfolge der Rechenschritte ohne Zwischenergebnisrundung.

Rechnung für 12. Februar 2015 13:00 UT
\scriptstyle t \scriptstyle e \scriptstyle \varpi \scriptstyle L \scriptstyle \varepsilon \scriptstyle M \scriptstyle C \scriptstyle \Lambda \scriptstyle ZG^* \scriptstyle ZG
Wert 5521,042 d 0,016703 103,2° 5902,3° 23,4° 5799,1° 1,2° 5903,5° -3,55° -14,21 min
Hauptwert 142,3° 39,1° 143,5°

Ein präziser Vergleichswert[18] beträgt -14,19 min.

Zeitgleichungswerte für die Passage ausgezeichneter Bahnpunkte[Bearbeiten]

Zeitgleichungswerte für vorgegebene Längen \scriptstyle \Lambda oder wahre Anomalien \scriptstyle V, wie das für ausgezeichnete Bahnpunkte (s. Tabelle) zutrifft, sind einfacher zu berechnen. Mit Hilfe der bisher angegebenen Gleichungen geht man in der Reihenfolge \scriptstyle \Lambda \rightarrow  V\rightarrow E\rightarrow M\rightarrow L\rightarrow ZG vor. Die bisher[19] nicht benötigte exzentrische Anomalie \scriptstyle E ist mit der Kepler'schen Theorie zu bestimmen. Die Gleichungen \scriptstyle   \tan\frac{V}{2}=\sqrt\frac{1+e}{1-e}\cdot\tan\frac{E}{2}, aufgelöst nach \scriptstyle E und die Kepler-Gleichung \scriptstyle M=E-\frac{180}{\pi}e\sin E bilden die Brücke von \scriptstyle V nach \scriptstyle M.

Zeitgleichungswerte ausgezeichneter Bahnpunkte
F-Anfang S-Anfang H-Anfang W-Anfang Perihel  Aphel 
\scriptstyle \Lambda/{}^\circ 180 270 0 90 \scriptstyle \varpi \scriptstyle \varpi+180
\scriptstyle ZG/\text{min} -7,44 -1,74 +7,48 +1,70    -4,50    -4,50

Die Werte gelten für das Jahr 2004. Die Änderungen von Jahr zu Jahr sind sehr klein, da die Zeit nur in die langsam veränderlichen Parameter \scriptstyle \varpi und \scriptstyle e eingeht.

Sonnenauf- und -untergang zur Wintersonnenwende[Bearbeiten]

Verschiebung der Sonnenauf- und -untergangszeiten zur Winter-Sonnenwende, schematisch

Der Tag der Wintersonnenwende, meist der 21. Dezember, ist der kürzeste lichte Tag. Dagegen findet der früheste Sonnenuntergang (SU) schon um den 10. Dezember statt, der späteste Sonnenaufgang (SA) aber erst um den 5. Januar. SA und SU liegen symmetrisch zum mittäglichen Sonnenhöchststand (12 Uhr WOZ). Gibt man SA und SU in Normalzeit (MEZ) an, kommt es zu einer Asymmetrie. Da sich WOZ und MEZ im Laufe des Jahres wegen der Zeitgleichung gegeneinander verschieben, wirkt sich die Zeitgleichung auch auf SA und SU aus. Dies ist besonders im Januar auffällig. Die bereits zunehmende Tageslänge führt zu einem früheren SA und späteren SU. Gleichzeitig verschieben sich WOZ und MEZ so gegeneinander, dass sich sowohl SA als auch SU zu späteren Zeiten (angegeben in MEZ) verlagern. Beide Effekte überlagern sich und führen dazu, dass sich im Januar morgens wenig ändert, während der Tag abends bereits merklich wächst.

Analemma[Bearbeiten]

Stundenschleife (Analemma) eines Mittagsweisers für MOZ,
darüber eine einfache Sonnenuhr (mit Stundengeraden für WOZ)
Analemma, gegenwärtig
Analemma, schematisch
Schwarz im Jahr 1246, Rot ca. 11.620
Analemma, schematisch
Rot im Jahr 6433, Schwarz ca. 16.810

Stellt man die Abhängigkeit der Zeitgleichung von der Deklination der Sonne als Diagramm dar, entsteht eine Schleifenfigur, die als Analemma bezeichnet wird. Diese Schleife zeigt den wahren Stand der Sonne um 12 Uhr mittags mittlerer Ortszeit für die verschiedenen Jahreszeiten als Höhe über dem Himmelsäquator und als seitlichen Abstand vom Meridian. Dabei entsprechen in seitlicher Richtung vier Zeitminuten einem Grad im Winkelmaß. Die links gezeigten Figuren gelten nördlich des nördlichen Wendekreises mit der Blickrichtung nach Süden. Sie sind gegenüber der Himmelsfigur in horizontaler Richtung ungefähr um den Faktor fünf bis sechs gedehnt. Rechts sieht man in einem historischen Mittagsweiser die zugehörige Schattenkurve auf einer vertikalen Wand markiert.

Die leichte Asymmetrie zwischen rechts und links rührt davon her, dass Perihel und Wintersonnenwende nicht auf denselben Tag fallen. Letzteres war zuletzt im Jahre 1246 der Fall (Tag der Wintersonnenwende etwa wie heute). Die innere Schnittstelle galt etwa für den 16. April und den 29. August (Gregorianischer Kalender rückwärts angewendet).

Im Jahre 6433 wird das Perihel den Tag des Frühlings-Äquinoktiums erreicht haben. Die Zeitgleichung wird an den Tagen der Äquinoktien null und das Analemma eine zu diesem Punkt symmetrische Figur sein.[20]

Am häufigsten ist das Analemma als Stundenschleife auf Sonnenuhren zu sehen, die zur Anzeige der mittleren Sonnenzeit ausgelegt sind. Oftmals wird es allerdings in zwei Teile (ein Teil ähnlich einem S, der andere ähnlich einem Fragezeichen) aufgeteilt, um Verwechslungen beim Ablesen zu verhindern (für einen Deklinationswert gibt es zwei Punkte auf der ganzen Figur). Jedes der beiden Teile gilt etwa ein halbes Jahr lang. Solche Uhren haben zwei auswechselbare Zifferblätter.[2] Die Zifferblätter lassen sich leicht auf die am Aufstellort gültige Zonenzeit auslegen, zeigen also die „Normalzeit“ an.

Auch die jeden Tag zur gleichen mittleren Zeit fotografierte Sonne ergibt in der Summe ein am Himmel stehendes Analemma.[21]

Literatur[Bearbeiten]

  • Hughes, D. W., Yallop, B. D., Hohenkerk, C. Y.: The Equation of Time, Mon. Not. R. astr. Soc. (1989), 238, 1529–1535 (PDF)
  • Bernd Loibl: Wann ist Mittag?. In: Sterne und Weltraum Sterne und Weltraum, Spektrum der Wissenschaft, 8–9/1996. S. 643–645
  • Robert Weber. Zeitsysteme. In: Hermann Mucke (Hrsg.): Moderne astronomische Phänomenologie. 20. Sternfreunde-Seminar, 1992/93. Planetarium der Stadt Wien – Zeiss Planetarium der Stadt Wien – Zeiss Planetarium und Österreichischer Astronomischer Verein 1992, S. 55–102

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Equation of time (sundials) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Zeitgleichung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Anmerkungen und Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Die Skala ist für MEZ ausgelegt, somit wird die für 15° Ost angezeigte wahre Sonnenzeit (wahre Ortszeit WOZ) auf mittlere Sonnenzeit (mittlere Ortszeit MOZ) für 15° Ost (gleich MEZ) korrigiert. Standort: 12° 22' Ost, Skalenverschiebung: etwa 10½ Minuten (entspricht dem Winkel zwischen Vertikaler und XII-Uhr-Linie)
  2. a b Es existieren auch moderne Sonnenuhren, die für den Zeitausgleich konstruiert sind. Vgl. Siegfried Wetzel: Die Physik der Sonnenuhr. In: Schriften des Historisch-wissenschaftlichen Fachkreises Freunde alter Uhren in der Deutschen Gesellschaft für Chronometrie. Deutsche Gesellschaft für Chronometrie (Hrsg.), 1998, ISBN 3-923422-16-4, Abb.n 16 bis 18 (online, PDF).
  3. O. Neugebauer: A History of Ancient Mathematical Astronomy, Berlin 1975
  4. R. Wolf: Handbuch der Astronomie, Amsterdam 1973
  5. Flamsteed eröffnete seine Laufbahn mit einer wichtigen Abhandlung über die Bestimmung der Zeitgleichung. [1]
  6. Flamsteed J.: De inaequilitate dierum solarium dissertatio astronomica. London 1672. (online)
  7.  N. Dershowitz, E.M. Reingold: Calendrical Calculations. Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-70238-6, S. 182.
  8. J. Meeus: Astronomical Algorithms, Richmond 2000, S. 184
  9. In den meisten Fällen befindet sich der Beobachtungsort nicht auf dem Bezugslängengrad der gebrauchten Zonenzeit, die sich deshalb von seiner mittleren Ortszeit unterscheidet. Man muss letztere vorgängig ermitteln: Potsdam liegt z.B. 2° westlicher als 15° Ost, dem Bezugslängengrad der MEZ. Die mittlere Ortszeit ist hier 8 Minuten (4 Minuten / Längengraddifferenz) kleiner als die von der (Armband-)Uhr angezeigte MEZ.
  10. a b Siegfried Wetzel Die Zeitgleichung, elementar behandelt - DGC-Mitteilungen Nr.109, 2007
  11. Bei der Berechnung der Zeitgleichung wird in den ersten Näherungen die vom Mond periodisch verursachte Beschleunigung der Erde vernachlässigt. Man rechnet zum Beispiel für den Periheldurchgang gegenwärtig mit dem 3. oder 4. Januar (Unterschied innerhalb einer Vierjahres-Schaltperiode), was genau genommen nur für den gemeinsamen Schwerpunkt von Erde und Mond gilt. Erst bei angestrebter Genauigkeit im Sekundenbereich wird beachtet, dass der Schwerpunkt der Erde um den gemeinsamen Schwerpunkt auf einem Radius von etwa 4700 km rotiert, die Erde also in Bahnrichtung während einer Mondperiode zeitweise bis 4 700 km voraus oder zurück ist.
  12. Die Kurven sind nur in guter Näherung Sinus-Linien. Die Erdbahn und die Richtung der Erdachse ändern sich langfristig, weshalb sich die Zeitgleichungskurven auch von Jahr zu Jahr geringfügig ändern.
  13. O. Montenbruck: Grundlagen der Ephemeridenrechnung, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg, 7. Auflage 2005
  14. Manfred Schneider: Himmelsmechanik, Band II: Systemmodelle, BI-Wissenschaftsverlag, 1993, S. 507, ISBN 3-411-15981-2
  15. Mit Rektaszensionen lautet die Gleichung \scriptstyle ZG^* = (L -180)  - \arctan_{(\Lambda-180)} \left(\tan(\Lambda-180)\cdot\cos\varepsilon\right).
  16. \scriptstyle M ist ebenfalls ein Bahnelement
  17. s. auch dortige Anmerkungen zur Herkunft der Reihenentwicklung
  18. nach Multiyear Interactive Computer Almanac 1800 - 2050, U.S. Naval Observatory, Willmann-Bell 2005
  19. wegen Verwendung der Mittelpunktsgleichung
  20. Heinz Schilt: Zur Berechnung der mittleren Zeit für Sonnenuhren, Schriften der Freunde alter Uhren, 1990
  21. Am Himmel in Griechenland fotografierte Analemmata [2]