Zeitgleichung

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Sonnenuhr mit Zeitgleichungs-Tabelle zur Korrektur der angezeigten wahren Sonnenzeit (wahre Ortszeit WOZ) auf mittlere Sonnenzeit (mittlere Ortszeit MOZ)[1]

Die Zeitgleichung (Formelzeichen ZG oder ZGL) ist der Zeitunterschied zwischen der wahren Sonnenzeit (wahre Ortszeit WOZ) und der mittleren Sonnenzeit (mittlere Ortszeit MOZ).

ZG = WOZ - MOZ

In der älteren Literatur wird die Zeitgleichung mit umgekehrtem Vorzeichen angegeben. Daran ist noch die mittelalterliche Bedeutung von „Gleichung“ als „eine Korrektur zufügen“ zu erkennen:[2] Die Zeitgleichung wurde der wahren Sonnenzeit hinzugefügt, um die mittlere Sonnenzeit zu erhalten: WOZ + ZGhistorische Angabe = MOZ

Die beiden Ursachen der Zeitgleichung sind die leicht schwankende Geschwindigkeit der jährlichen Bewegung der Erde auf ihrer elliptischen Bahn um die Sonne und die Tatsache, dass die Erdachse nicht senkrecht zur Bahnebene der Erde steht. Die Erdachse zeigt stets in dieselbe Richtung des Fixstern­himmels. Gegenüber der Sonne scheint sie dabei zu schwanken: Im Dezember ist die nördliche Halbachse von der Sonne weg geneigt, im Juni zeigt sie zur Sonne hin.

Im Einzelnen verursachen

  1. die elliptische Form der Erdbahn einen Anteil mit einer Periodendauer von 1 Jahr und einer Abweichung von etwa ± 7,5 Minuten,
  2. die Neigung der Erdachse einen Anteil mit einer Periodendauer von ½ Jahr und einer Abweichung von etwa ± 10 Minuten.

Die Zeitgleichung ist zu jedem Zeitpunkt für alle Orte auf der Erde gleich. Sie ändert sich von Tag zu Tag um bis zu etwa 30 Sekunden und innerhalb eines Jahres etwa um ±15 Minuten. In üblichen Tabellenwerken wird der Wert der Zeitgleichung für jeden Tag eines bestimmten Jahres für den Zeitpunkt 12:00 UT angegeben. Für viele Anwendungen ist es ausreichend, diesen Wert für den gesamten Tag zu benutzen.

Die meisten Sonnenuhren zeigen die wahre Sonnenzeit an, die bis etwa 16 Minuten gegenüber der mittleren Zeit vorgehen oder bis etwa 14 Minuten nachgehen kann.[3] Eine manchmal neben dem Zifferblatt angegebene Zeitgleichungstabelle (oder ein Zeitgleichungsdiagramm) hilft dem Benutzer, die mittlere Zeit auszurechnen. Auf mitteleuropäischen Längengraden wird gelegentlich die wahre Zeit des 15. östlichen Längengrades angezeigt, die durch Korrektur mit dem Wert der Zeitgleichung zur dortigen mittleren Sonnenzeit beziehungsweise zur, auch von der Armbanduhr angezeigten, Mitteleuropäischen Zeit MEZ führt.

Die im folgenden Diagramm enthaltene Jahreskurve (rote Linie) ist ein Ausschnitt aus der prinzipiell stetig fortlaufenden Zeitgleichung. Die jeweils vier Jahre auseinander liegenden Ausschnitte decken sich mit lediglich Sekunden betragenden Abweichungen. Innerhalb der vierjährigen Schaltperiode decken sich die Ausschnitte infolge der kleinen (< ±1Tag) Hin- und Herverschiebung der kalendarischen Tagesskala gegen das Sonnenjahr etwas weniger gut, aber mit Abweichungen, die kleiner als ± 1 Minute sind. Auf Sekunden genaue, jährlich mit aktuellen geringsten Veränderungen der Basiswerte neu berechnete Zeitgleichungen werden in astronomischen Jahrbüchern veröffentlicht.

Zeitgleichung in Minuten, Ausschnitt für 2011 (erstes Jahr der Berechnung).
Zusätzlich sind noch die (fiktiven) Teil-Zeitgleichungen zu sehen, wenn sich die Erde auf einer Kreisbahn bewegen würde (Halbjahr-Periode), beziehungsweise wenn die Erdachse senkrecht auf der Erdbahn wäre (Jahr-Periode).

Stern- und Sonnentag und mittlere Sonne[Bearbeiten]

Stern- und Sonnentag[Bearbeiten]

Die sich drehende und in der Ekliptikebene um die Sonne bewegende Erde :
von 1 nach 2 = Bahnfahrt pro Sterntag
von 1 nach 3 = Bahnfahrt pro Sonnentag

Der Zeitraum zwischen zwei Meridiandurchgängen der Sonne ist ein Sonnentag; er beträgt im Mittel 24 Stunden. Im Unterschied dazu wird der Zeitraum zwischen zwei Meridiandurchgängen eines Fixsternes als Sterntag bezeichnet. Dies ist die Zeit für eine Drehung der Erde um sich selbst und beträgt 23 Stunden 56 Minuten und 4 Sekunden (365,25 Sonnentage ≈ 366,25 Sterntage). Der Unterschied zwischen der Länge des Sterntages und der Länge des Sonnentages resultiert aus der jährlichen Bewegung der Erde um die Sonne. Von Tag zu Tag kommt die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne fast einen Bogengrad voran (360 Grad in 365 Tagen). Da beide Bewegungen gleichen Drehsinn haben, muss sich die Erde um ebenfalls knapp ein Grad über die volle Umdrehung hinaus weiterdrehen, bis die Sonne wieder durch den Meridian geht. Dies benötigt im Mittel 3 Minuten und 56 Sekunden.

Die Erdrotation ist sehr gleichmäßig, weshalb die Dauer des Sterntags als konstant angenommen werden kann. Unterschiedlich groß sind allein die kleine Zusatz-Drehung und die damit verbundene kleine zusätzliche Zeit, die aus der täglichen Bahnfahrt der Erde resultieren. Diese Zusatzeit kann bis etwa 30 Sekunden länger oder bis etwa 20 Sekunden kürzer sein als ihr mittlerer Wert von knapp 4 Minuten, was sich über Monate hinweg auf bis zu rund einer Viertelstunde aufsummieren kann, bevor sich der Effekt wieder umkehrt. Die am Sonnenstand abgelesene wahre Sonnenzeit WOZ vergeht somit ungleichmässig. Ihre Abweichung von der gleichmässig vergehenden, zum Beispiel von einer Räderuhr ablesbaren Zeit MOZ ist die sogenannte Zeitgleichung.

Mittlere Sonne[Bearbeiten]

Als der von der (scheinbaren) Bewegung der (wahren) Sonne "gemachte" Sonnentag als ungleichmäßig lang erkannt wurde, der Sonnentag aber grundlegendes Zeitmaß bleiben sollte, wurde auf den formalen Gebrauch einer fiktiven sogenannten mittleren Sonne ausgewichen und mit der sogenannten mittleren Sonnenzeit ein gleichmäßiges Zeitmaß geschaffen. Die künstliche mittlere Sonne läuft gleichmäßig und nicht auf der Ekliptik, sondern auf dem Himmels-Äquator um und "macht" dabei den mittleren Sonnentag.

Zwei Zeitgleichungsursachen, überlagert[Bearbeiten]

Die Ursachen für die Zeitgleichung erkennt man leichter aus heliozentrischen Sicht, denn sie folgen aus den Bewegungen der Erde relativ zur ruhenden Sonne. Der Einfachheit halber wird gelegentlich weiterhin von „Sonnenzeit“ gesprochen, auch wenn es sich um Bewegungen der Erde, nicht um die der Sonne, in Abhängigkeit von der Zeit handelt.

Erste Ursache: Elliptizität der Erdbahn[Bearbeiten]

Die Bahn der Erde um die Sonne ist eine Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Das zweite Keplersche Gesetz beschreibt die Veränderung der Bahngeschwindigkeit der Erde während eines Umlaufs. In der Umgebung des Perihels – des sonnennächsten Punkts – bewegt sich die Erde schneller als im Mittel und legt während eines Tages eine größere Strecke zurück, so dass sie eine etwas größere Zusatzdrehung machen muss, bis die Sonne wieder durch den Meridian geht. Das dauert länger als im Durchschnitt. In der Umgebung des Aphels – des sonnenfernsten Punkts - ist es umgekehrt.

In Perihel-Umgebung (Winterhalbjahr) vergeht die wahre Sonnenzeit wegen der größeren Erdgeschwindigkeit (und der dadurch nötigen größeren Zusatzdrehung) langsamer, in Aphel-Umgebung (Sommerhalbjahr) vergeht sie schneller als die gleichmäßige mittlere Sonnenzeit. Die Schwankung der wahren Tageslänge beträgt etwa ± 8 Sekunden[4]. Die Summierung ergibt etwa ± 7½ Minuten jährliche Schwankung der wahren Sonnenzeit infolge Elliptizität der Erdbahn (sinus-förmige blaue Linie in oben stehendem Diagramm, Nulldurchgänge im Perihel und im Aphel [5]).

Zweite Ursache: Neigung der Erdachse[Bearbeiten]

Die Erdachse schneidet ihre Bahnebene nicht rechtwinklig (im oben dargestellten Schema die Bildebene nicht rechtwinklig). Die Abweichung vom rechten Winkel beträgt etwa ε = 23,44°. Diese Abweichung ist die zweite Ursache der Zeitgleichung, wobei entscheidend ist, dass die von der Sonne aus betrachtete Erdachse ihre Richtung täglich ändert, eine volle Taumelbewegung pro Jahr macht. Die tägliche Bahnfahrt der Erde ist eine Drehung (etwa 1°) um die Bahnachse (bzw. um die Sonne). Die dadurch erforderliche Zusatzdrehung der Erde erfolgt um ihre eigene Achse. Da beide Achsen nicht parallel sind, sind beide Drehungen nicht gleich groß.

An den Tag-und-Nacht-Gleichen schneiden sich die beiden Achsen von der Sonne aus gesehen unter dem Ekliptikwinkel ε. Der Schnittwinkel ist jetzt am größten (etwa 23,44°). Die Drehung der Erde um ihre Achse wirkt sich mit maximaler Verstärkung als Drehung um die zu ihrer Bahnebene (Ekliptik) rechtwinklige Achse aus. Folge ist, dass die Zusatzdrehung und die dafür erforderliche Zeit kleiner als im Mittel sind. Die wahre Sonnenzeit vergeht schneller als die mittlere Sonnenzeit.

An den Sonnenwenden decken sich beide Achsen scheinbar. Einer der beiden Erdpole ist aber der Sonne näher als der andere. Die tägliche 1°-Drehung der Erde um die Bahnachse bildet sich als Bogen auf einem ihrer beiden Wendekreise ab. Der zugehörende Bogen auf dem Erdäquator ist größer. Die erforderliche Zusatzdrehung der Erde um ihre Achse und die dafür erforderliche Zeit sind größer als im Mittel. Die wahre Sonnenzeit vergeht langsamer als die mittlere Sonnenzeit.

Diese zweite Ursache der Zeitgleichung alleine bewirkt eine Schwankung des wahren Sonnentages von etwa ± 20 Sekunden[4]. Die Summierung ergibt knapp ± 10 Minuten halbjährliche Schwankung der wahren Sonnenzeit infolge der besonderen Richtung der Erdachse (sinus-förmige Magenta-farbene Linie in oben stehendem Diagramm, Nulldurchgänge an den Tagen der Sonnenwenden und der Tag-und-Nacht-Gleichen, Start zur Wintersonnenwende).

Zeitgleichung, Überlagerung zweier Ursachen[Bearbeiten]

Die Wirkungen der Elliptizität der Erdbahn und der besonderen Richtung der Erdachse überlagern sich und ergeben die Zeitgleichung (rote Linie in obigem Diagramm). Da beide sinusförmige Kurven[6] zeitlich leicht gegeneinander verschoben sind, sind die Extremwerte im Ergebnis kleiner als die Summe beider Einzelextremwerte. Die Zeitgleichung hat gegenwärtig (2011) folgende Kennwerte:

  • 4 Nullpunkte: 13. April, 13. Juni, 1. September und 25. Dezember,
  • 2 Hauptextremwerte: 11. Februar (−14 min 14 s) und 3. November (+16 min 26 s),
  • 2 Nebenextremwerte: am 14. Mai (+3 min 40 s) und am 26. Juli (−6 min 32 s).

negative Zahlenwerte: Die wahre Sonnenzeit beziehungsweise die wahre Sonne läuft der mittleren Sonnenzeit beziehungsweise der mittleren Sonne nach.
positive Zahlenwerte: Die wahre Sonnenzeit beziehungsweise die wahre Sonne läuft der mittleren Sonnenzeit beziehungsweise der mittleren Sonne voraus.

Berechnung[Bearbeiten]

Die folgende quantitative, also rechnerische Behandlung[7] der Zeitgleichung ist im Wesentlichen - nämlich beim aus der elliptischen Bahnbewegung der Erde resultierenden Zeitgleichungs-Anteil - eine Anwendung der sogenannten Kepler-Gleichung. Insbesondere wird damit der Ort der Erde auf ihrer elliptischen Bahn (auch Keplerbahn) zu einem vorgegebenen Zeitpunkt bestimmt.

Diese Gleichung beschränkt sich auf das von Kepler beschriebene Zweikörperproblem (auch Keplerproblem), das im vorliegenden Fall Erde und Sonne betrifft. Der Einfluss des Erdmondes und anderer Sonnenplaneten auf die Bewegung der Erde und damit auf die Zeitgleichung bleibt unbeachtet.

Zeitgleichungs-Werte werden für beliebig viele Momente in der Zukunft, in der Regel für einen Moment pro Kalendertag, berechnet. Die Tages-Werte wiederholen sich relativ genau nach jeweils vier Kalenderjahren (Schaltjahrzyklus). Da sich Eigenschaften der Erdbahn und die Richtung der Erdachse langsam ändern (von Jahr zu Jahr mit sogenannten Jahreskonstanten erfasst), wird die Rechnung in der Regel aber jährlich neu und nur für das folgende Jahr geltend durchgeführt und ihre Ergebnisse in Astronomischen Jahrbüchern publiziert.

Differenz zweier Rektaszensionen (geozentrisch)[Bearbeiten]

Erste Definition:

(1)   \mathrm{ZG} = \mathrm{WOZ} - \mathrm{MOZ}\ .

Den WOZ- beziehungsweise MOZ-Werten entspricht der jeweilige Stand der wahren beziehungsweise der fiktiven mittleren Sonne am Himmel. Da die Tageszeit im Zusammenhang mit der Drehung der Erde um ihre Achse steht, interessiert nur die jeweilige Rektaszension (nicht die Deklination) der Sonne(n). Anders gesagt: Von den in zwei zueinander rechtwinklig erfolgten scheinbaren Jahresbewegungen der wahren Sonne interessiert nur die auf dem Himmelsäquator stattfindende, jedoch nicht das periodische An- und Absteigen. Die Zeitgleichung ist proportional zur Differenz zwischen den Rektaszensionen (\alpha_M) der fiktiven mittleren und und (\alpha) der realen wahren Sonne.

Zweite Definition:

(2)   \text{ZG} = 4 (\alpha_M - \alpha) \quad [\text{min}]\ .

Der Faktor 4 ergibt sich daraus, dass zwei Himmelskörper mit 1° Rektaszensionsdifferenz den Meridian 4 min nacheinander passieren. Die Reihenfolge der beiden Subtraktionsterme hat sich umgekehrt, weil die Richtungen für Stundenwinkel \tau (ihm entsprechen WOZ und MOZ) und Rektaszension \alpha zueinander entgegengesetzt definiert sind.

Die Erde auf ihrer elliptischen Bahn (heliozentrisch)[Bearbeiten]

momentane Positionswinkel (Anomalien) der Erde auf ihrer elliptischen Bahn um die Sonne:
V - wahre Anomalie, M - mittlere Anomalie, E - exzentrische Anomalie
B - Sonne, X - Erde, Y - fiktive Erde, P - Perihel, A - Aphel, K - 1.Jan.-Punkt
unten links: Positionswinkel V und M als Funktionen der Zeit

Teilaufgabe: Zu einem gegebenen Zeitpunkt ist der Ort der Erde auf ihrer Bahn zu bestimmen.

Für die Kennzeichnung des momentanen Orts X der Erde wählt man den sonnenzentrischen Winkel V (die sogenannte wahre Anomalie) zwischen ihr und dem sonnennächsten Punkt der Erdbahn, dem Perihel P (siehe nebenstehende Abbildung) . V wächst ungleichmäßig mit der Zeit. Diese Ungleichmäßigkeit kann durch Vergleich mit dem momentanen Ort Y einer fiktiven Erde,[8] deren Winkel M (die sogenannte mittlere Anomalie) gleichmäßig wächst, veranschaulicht werden. Die zu X und Y führenden Winkel-Schenkel lassen sich als zwei um die Sonne B drehende Zeiger (Spitzen bei X beziehungsweise Y) begreifen.

(3)   M(t) = \frac{360^\circ}{J_{\text{an}}} \cdot (t-t_P)\
      J_{\text{an}}  = anomalistische Jahr zwischen zwei Passagen des Perihels,
       t_P  = Zeitpunkt der Perihel-Passage

Den gleichmäßig und proportional zur Zeit ab Perihel wachsenden Winkel mittlere Anomalie M(t) führte Kepler als Repräsentant der gleichmäßig vergehenden Zeit t ein. Er ist „eine normalisierte Zeit“[9] und gehört zu den Bahnelementen der Erde. Der Nullpunkt von t kann grundsätzlich frei gewählt werden. Im Folgenden wird der „Zeitgleichungs-Jahresanfang“ t_K (1. Januar 12:00 UT) als Nullpunkt von t gewählt, weil bei Zahlenrechnungen auf Tabellen zurückgegriffen wird, die M jeweils für diesen Zeitpunkt angeben. Es gilt somit  t_K=0 . Der  t_K entsprechende Erdbahnpunkt ist in nebenstehender Abbildung mit K bezeichnet. Gl. (3) lasst sich unabhängig von der jetzt gültigen Nullpunktsetzung in

(3a)  M(t) = M_0 + \frac{360^\circ}{J_{\text{an}}} \cdot t\

mit

(3b)   M_0 = -\frac{360^\circ}{J_{\text{an}}} \cdot t_P

umformen. Da die Erde etwa 3 Tage nach „Jahresanfang“ (t=t_K =0) durch das Perihel geht (t_P\approx +3\,\text{d}) , ist der tabellierte Wert  M_0 negativ. Er nimmt insbesondere innerhalb einer Schaltjahr-Periode deutlich unterschiedliche Werte an.

Mit der Abhängigkeit des Bahnwinkel der Erde (wahre Anomalie V) von der Zeit (indirekt von der mittleren Anomalie M) wird in der Zeitgleichung derjenige Einfluss, der aus der Elliptizität der Erdbahn folgt, ausgedrückt. Die Beziehung folgt aus dem Bewegungsgesetz der elliptischen Bahnfahrt, dem zweiten Keplerschen Gesetz. Kepler hat den Zusammenhang mit Hilfe der später sogenannten Kepler-Gleichung dargestellt. Ein vorgegebener Zeitpunkt (repräsentiert von der mittleren Anomalie) wird in einem Zwischenschritt in die von Kepler sogenannte exzentrische Anomalie E umgerechnet. Diese ist ein ellipsenzentrischer (Ellipsen-Mittelpunkt) Winkel, der vom Perihel aus zum Hilfspunkt Z auf dem Umkreis der Ellipse gemessen wird. Die Kepler-Gleichung lautet mit der numerischen Exzentrizität  e [10] (Herleitung siehe Kepler-Gleichung):

(4)   M(t)=E(t)-\frac{180^\circ}{\pi} \cdot e \cdot \sin E(t)\ .

Sie ist nach E(t) aufzulösen, was in geschlossener Form nicht möglich ist, aber zum Beispiel mit dem numerischen Verfahren gelingt, das Newton anlässlich dieser Aufgabe entwickelte.

Das Ergebnis für E als Funktion von M wird in folgende mit Hilfe rein geometrischer Betrachtung in der Ellipse und in ihrem Umkreis (siehe oben stehende Abbildung) gewonnene Gleichung eingesetzt:[11]

(5)   \tan\left(\frac{V(t)}{2}\right) = \kappa \cdot \tan\left(\frac{E(t)}{2}\right)      ( \textstyle \kappa = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}}   ist eine Ellipsenkonstante),

wonach die gewünschte Abhängigkeit für die wahre Anomalie V von der mittleren Anomalie M beziehungsweise von der Zeit gefunden ist.

Teilergebnis: Die erste Ursache der Zeitgleichung ist als Bahnwinkel der Erde in Abhängigkeit von der Zeit mit V(t) erfasst.

Die Sonne auf ihrer scheinbaren Bahn (Ekliptik, geozentrisch)[Bearbeiten]

Übergang von der heliozentrischen elliptischen Erdbahn (links, mit wahrer X und fiktiver Erde Y) zur geozentrischen Sonnenbahn (Ekliptik-Kreis, rechts, mit wahrer S und fiktiver Sonne S'),
ins jeweils andere System übernommene, definitionsgemäß dort nicht verwendete Punkte und Größen sind in Klammern geschrieben: (F), (Λ), (L) u.a.

Teilaufgabe: Der Bahnwinkel V(t) der Erde ist in die ekliptikale Länge \Lambda(t) der Sonne umzurechnen.

Von der Erde aus gesehen spiegelt sich die Bewegung der Erde um die Sonne wider in der scheinbaren Bewegung der Sonne in der Ekliptik, dem Schnitt der Erdbahnebene mit der um die Erde als Mittelpunkt geschlagenen Richtungskugel (siehe nebenstehende Abbildung).[12][13]

Bezugspunkt für die ekliptikale Länge (und auch der Rektaszension) ist gemäß allgemeinem Brauch der Frühlingspunkt. Die ekliptikale Länge Λ(t) der Sonne wird erhalten, indem dem auf das Perihel der Erdbahn bezogenen Winkel V(t) der Winkel (L) zwischen Perihel P und dem dem Frühlingspunkt entsprechenden Ort (F) addiert wird:[14]

(7)   \Lambda(t) = V(t) + L\ .        Der Wert von L ist negativ.
Die Änderung von L ist die stärkste der permanenten schwachen Änderungen und wird in der Regel direkt - also nicht erst nach einem Jahr mit einer neuen Jahreskonstante - mit folgender Gleichung beachtet:
(8)   L(t) = L_0 + \tfrac{0{,}0172^\circ}{J_\text{tr}} \cdot t\ .         Der Wert von L_0 ist negativ.
L_0 ist der Wert am Jahresanfang bei  t=0 (Jahreskonstante). (F) und Perihel nähern sich langsam mit etwa \tfrac{0{,}0172^\circ}{J_\text{tr}} . J_\text{tr} ist das tropische Jahr (Zeit für zwei aufeinander folgende Passagen des Frühlingspunkts bzw. des Punktes (F)).
Rechnet man mit
(8a)  L = L_0 ,
ist der Unterschied in der Zeitgleichung gegenüber der Rechnung mit Gleichung (8) nach einem Jahr kleiner als 3,5 Sekunden.

Unter Beachtung der Gleichung (8) ist anstatt Gleichung (7) zu schreiben:

(9)   \Lambda(t) = V(t) + L_0  + \tfrac{0{,}0172^\circ}{J_\text{tr}} \cdot t \ .        Der Wert von L_0 ist negativ.

Teilergebnis: Die von der ersten Ursache der Zeitgleichung bewirkte ungleichmäßige Änderung des Bahnwinkels der Erde  V(t) ist in die ungleichmäßige Änderung der ekliptikalen Länge \Lambda(t) der Sonne umgerechnet (scheinbare Bewegung der Sonne auf der Ekliptik).

Rektaszension der Wahren Sonne[Bearbeiten]

„Herunterprojizieren“ der wahren Sonne auf den Äquator: Ermittlung ihres Rektaszensionswinkels α aus ihrem ekliptikalen Längenwinkel Λ     (S'' - mittere Sonne auf dem Äquator)

Teilaufgabe: Die zur ungleichmäßigen Änderung der ekliptikalen Länge \Lambda(t) der wahren Sonne gehörende ungleichmäßige Änderung ihrer Rektaszension \alpha(t) ist zu errechnen.

Die zweite Ursache der Zeitgleichung ist die zur Erdbahnebene nicht rechtwinklige Lage der Erdachse. Da nur der Bewegungsanteil der Sonne parallel zur Äquatorebene interessiert, ist die wahre Sonne von der Ekliptik auf den Himmels-Äquator "herunterzuprojizieren" (siehe nebenstehende Abbildung).

Die äquatoriale Koordinate Rektaszension \alpha lässt sich z.B. mit den bekannten Transformations-Gleichungen oder mit folgender einfachen Beziehung im entsprechenden rechtwinkligen sphärischen Dreieck (siehe nebenstehende Abbildung) aus der ekliptikalen Koordinate \Lambda ermitteln:

(10)   \alpha(t) = \arctan ( \tan \Lambda(t) \cdot \cos \varepsilon )\ .

\varepsilon ist der Winkel zwischen Ekliptik- und Äquatorkreis (die Schiefe der Ekliptik): \varepsilon = 23{,}44^\circ\ .

Wegen   \cos \varepsilon \approx 0,92  unterscheiden sich die Werte für  \alpha  und \Lambda  nicht stark.

Teilergebnis: Mit der Ermittlung der Rektaszension \alpha der wahren Sonne ist neben der ersten auch die zweite Ursache der Zeitgleichung berücksichtigt.

Rektaszension der Mittleren Sonne[Bearbeiten]

Teilaufgabe: Die Bewegungsgleichung \alpha_M(t) einer gleichmäßig laufenden mittleren Sonne ist zu ermitteln (\alpha_M(t) = Minuend in der Zeitgleichung (2a)).

(2a)   \text{ZG}(t) = 4 \cdot (\alpha_M(t) - \alpha(t)) \quad [\text{min}]\ .

Die Zeitgleichung (2a) ist proportional zur Differenz aus dem gleichmäßigen Rektaszensions-Zuwachs \alpha_M einer auf dem Himmelsäquator gleichmäßig umlaufenden fiktiven mittleren Sonne und dem ungleichmäßigen Rektaszensions-Zuwachs \alpha (Gl. (10)) der wahren Sonne.

Die Bewegung dieser mittleren Sonne macht die gleichmäßig vergehende Zeit gleich wie die der auf der Erdbahn umlaufenden fiktiven Erde (Punkt Y) anschaulich. Ihr Lauf ist möglichst eng an den der wahren Sonne zu koppeln, damit sie deren Lauf etwa “mittelt”. Das wurde mit folgender Definition erreicht:[15]

(11)   \alpha_M(t) = L(t) + M(t)\ .

Wenn man die zeitliche Änderung von  L vernachlässigt, gilt auch:     \alpha_M(t) = L_0 + M_0 +  \tfrac{360^\circ}{J_\text{tr}} \cdot t\ ,
Zur Erinnerung: Die Werte von L_0 und M_0 sind negativ.

Somit ist die Rektaszension \alpha_M der mittleren Sonne zu jeder Zeit gleich der ekliptikalen Länge \Lambda_\text{Y} des Punktes Y (s. Abbildungen, fiktive Erde).[16] Durch Addieren der ekliptikalen Länge  L des Perihels zur mittleren Anomalie M entsteht die ekliptikale Länge \Lambda_\text{Y} dieses Punktes beziehungsweise die mittlere Rektaszension \alpha_M der mittleren Sonne.

Zusammenfassung: Die Zeitgleichung[Bearbeiten]

Mit den beiden Teilgleichungen (10) und (11) für \alpha(t) und \alpha_M(t) werden mit der Zeitgleichung in der Form

(2a)   \text{ZG}(t) = 4 \cdot (\alpha_M(t) - \alpha(t)) \quad [\text{min}]\ .

Werte für beliebig viele Momente in der Zukunft ausgerechnet. Bei der üblichen Zuordnung von Zeitgleichungswerten für 12 Uhr der Kalendertage wird der 1. Januar 12 Uhr UT als zeitlicher Nullpunkt gewählt. Bei der mittleren Anomalie ist gemäß Gleichung (3a) die Konstante M_0 zu beachten. Für geringe Genauigkeitsansprüche können die für den Zeitraum des ersten Jahres berechneten Werte in den nächsten Jahren immer wieder benutzt werden. Höhere Genauigkeitsansprüche werden durch den Gebrauch von vier verschiedenen Jahres-Zeitgleichungstabellen erfüllt, denn die Jahreskonstante M_0 variiert deutlich nur innerhalb eines Schaltjahrzyklus. Nach vier Jahren wird die erste dieser vier Tabellen usf. benutzt. Für noch höhere Ansprüche wird die Rechnung mit den inzwischen geringfügig geänderten sogenannten Jahreskonstanten für jedes Jahr neu vorgenommen.

Die Jahreskonstanten M_0 und L_0 und genaue Werte für die sehr langsam veränderlichen Werte für e, \varepsilon, J_\text{tr} und J_\text{an} werden in astronomischen Jahrbüchern angegeben.[17]

Rechenbeispiel[Bearbeiten]

Zu berechnen ist die Zeitgleichung für den 2. April 2015, 12:00 UT (t = 91 Tage).

Die Jahreskonstanten 2015 sind:[17][18] [19]

M_0= -2,3705^\circ\ ,
J_{an}= 365,259991 \text{Tage ,}
J_{tr} = 365,242907 \text{Tage ,}
e = 0,016703\ ,
\varepsilon = 23,43734^\circ\ ,
L_0 = -76,8021^\circ\ .

Die Rechnungenen sind:

(3a)  M(t) = M_0 + \frac{360^\circ}{J_{\text{an}}} \cdot t = 87,3190^\circ\ ,
(8)   L(t) = L_0 + \tfrac{0{,}0172^\circ}{J_\text{tr}} \cdot t = -76,7978^\circ\ ,
(4)   M(t)=E(t)-\frac{180^\circ}{\pi} \cdot e \cdot \sin E(t)   →   E(t) = 88,2756^\circ\ ,
  \textstyle \kappa = \sqrt{\frac{1+e}{1-e}} = 1,0168445\ ,
(5)   \tan\left(\frac{V(t)}{2}\right) = \kappa \cdot \tan\left(\frac{E(t)}{2}\right)   →   V(t) = 89,2325^\circ\ ,
(9)   \Lambda(t) = V(t) + L(t) = 12,4347^\circ\ ,
(10)   \alpha(t) = \arctan ( \tan \Lambda(t) \cdot \cos \varepsilon) = 11,4369^\circ\ ,
(11)   \alpha_M(t) = L(t) + M(t) = 10,5212^\circ\ ,
(2a)   \text{ZG}(t) = 4\frac {\text{min}}{^\circ} \cdot (\alpha_M(t) - \alpha(t)) = \text{ - }3,6629 \text{ min} = \text{ - }3\text{ min}\text{ 40}\text{ sec .}
(Rechnung ohne Rundung der Zwischenergebnisse)

Zeitgleichungswerte für die Passage ausgezeichneter Bahnpunkte[Bearbeiten]

Vom Kalender und damit von der Jahreskonstante M_0 unabhängig sind Zeitgleichungswerte für die Passage ausgezeichnete Punkte durch die Erde auf ihrer Bahn (beziehungsweise durch die Sonne auf der Ekliptik): Frühlings-, Sommer-, Herbst- und Winteranfangspunkt, Perihel und Aphel.

Zeitgleichungswerte und Zeitpunkte für die Passage ausgezeichneter Bahnpunkte *)
F-Anfang S-Anfang H-Anfang W-Anfang Perihel  Aphel 
Λ /° 0 90 180 270 L0 L0+180
ZG /min -7,44 -1,74 +7,48 +1,70    -4,50    -4,50
tP /d   76,234  168,990 262,641 352,485 0  182,621 

*) Die Werte gelten für das Jahr 2004 mit L0=-76,99° und Jtr=365,2428 Tage.[17]

Ihre Berechnung ist einfacher, als die für beliebige Zeitpunkte, weil die Kepler-Gleichung (4) nicht gelöst werden muss. Von der vorgegebenen ekliptikalen Länge Λ eines der ausgezeichneten Punkte ist leicht zur wahren (Gl. (8))[20] und weiter zur exzentrischen Anomalie (Gl. (5)) zu finden. Aus letzterer folgt die mittlere Anomalie (Gl. (4)), also der Bahnpunkt der fiktiven mittleren Erde. Die ekliptikale Länge des Perihels[20] zu letzterer addiert (Gl.11) ist die gesuchte mittlere Rektaszension αM (Minuend in der Zeitgleichung (2a)). Die wahre Rektaszension α (Subtrahend) ist bei den Punkten Frühling bis Winter mit deren ekliptikaler Länge Λ identisch. Nur bei den Punkten Perihel und Aphel ergibt die Koordinatentransformation (Gl.(10)) kleine Werte-Unterschiede.

Bei der Vorgehensweise, die Berechnung mit einer vorgegebenen ekliptikalen Länge bzw. einer vorgegebenen wahren Anomalie zu beginnen, erhält man neben der Zeitgleichung auch die seit der Perihel-Passage der Erde vergangene Zeit  t' . Sie ist die Zeit, die die mittlere Anomalie repräsentiert und wird aus dem Zwischenergebnis für die mittlere Anomalie M mit Hilfe der entsprechend umzustellenden folgenden Gleichung errechnet:

(3c)   M = \frac{360^\circ}{J_{\text{an}}} \cdot t' .

Diese Vorgehensweise wird gelegentlich auch für die allgemeine Arbeit empfohlen, Zeitgleichungstabellen zu ermitteln.[21] Man erspart sich dabei das aufwändige Lösen der Kepler-Gleichung, findet zu Werten für gewünschte Zeitpunkte aber nur durch Probieren oder bei genügender Ergebnis-Dichte durch Interpolieren.

Sonnenauf- und -untergang zur Wintersonnenwende[Bearbeiten]

Verschiebung der Sonnenauf- und -untergangszeiten zur Winter-Sonnenwende, schematisch

Der Tag der Wintersonnenwende, meist der 21. Dezember, ist der kürzeste lichte Tag. Dagegen findet der früheste Sonnenuntergang (SU) schon um den 10. Dezember statt, der späteste Sonnenaufgang (SA) aber erst um den 5. Januar. SA und SU liegen symmetrisch zum mittäglichen Sonnenhöchststand (12 Uhr WOZ). Gibt man SA und SU in Normalzeit (MEZ) an, kommt es zu einer Asymmetrie. Da sich WOZ und MEZ im Laufe des Jahres wegen der Zeitgleichung gegeneinander verschieben, wirkt sich die Zeitgleichung auch auf SA und SU aus. Dies ist besonders im Januar auffällig. Die bereits zunehmende Tageslänge führt zu einem früheren SA und späteren SU. Gleichzeitig verschieben sich WOZ und MEZ so gegeneinander, dass sich sowohl SA als auch SU zu späteren Zeiten (angegeben in MEZ) verlagern. Beide Effekte überlagern sich und führen dazu, dass sich im Januar morgens wenig ändert, während der Tag abends bereits merklich wächst.

Analemma[Bearbeiten]

Stundenschleife (Analemma) eines Mittagsweisers für MOZ,
darüber eine einfache Sonnenuhr (mit Stundengeraden für WOZ)
Analemma, gegenwärtig
Analemma, schematisch
Schwarz im Jahr 1246, Rot ca. 11.620
Analemma, schematisch
Rot im Jahr 6433, Schwarz ca. 16.810

Stellt man die Abhängigkeit der Zeitgleichung von der Deklination der Sonne als Diagramm dar, entsteht eine Schleifenfigur, die als Analemma bezeichnet wird. Diese Schleife zeigt den wahren Stand der Sonne um 12 Uhr mittags mittlerer Ortszeit für die verschiedenen Jahreszeiten als Höhe über dem Himmelsäquator und als seitlichen Abstand vom Meridian. Dabei entsprechen in seitlicher Richtung vier Zeitminuten einem Grad im Winkelmaß. Die links gezeigten Figuren gelten nördlich des nördlichen Wendekreises mit der Blickrichtung nach Süden. Sie sind gegenüber der Himmelsfigur in horizontaler Richtung ungefähr um den Faktor fünf bis sechs gedehnt. Rechts sieht man in einem historischen Mittagsweiser die zugehörige Schattenkurve auf einer vertikalen Wand markiert.

Die leichte Asymmetrie zwischen rechts und links rührt davon her, dass Perihel und Wintersonnenwende nicht auf denselben Tag fallen. Letzteres war zuletzt im Jahre 1246 der Fall (Tag der Wintersonnenwende etwa wie heute). Die innere Schnittstelle galt etwa für den 16. April und den 29. August (Gregorianischer Kalender rückwärts angewendet).

Im Jahre 6433 wird das Perihel den Tag des Frühlings-Äquinoktiums erreicht haben. Die Zeitgleichung wird an den Tagen der Äquinoktien null und das Analemma eine zu diesem Punkt symmetrische Figur sein.[21]

Am häufigsten ist das Analemma als Stundenschleife auf Sonnenuhren zu sehen, die zur Anzeige der mittleren Sonnenzeit ausgelegt sind. Oftmals wird es allerdings in zwei Teile (ein Teil ähnlich einem S, der andere ähnlich einem Fragezeichen) aufgeteilt, um Verwechslungen beim Ablesen zu verhindern (für einen Deklinationswert gibt es zwei Punkte auf der ganzen Figur). Jedes der beiden Teile gilt etwa ein halbes Jahr lang. Solche Uhren haben zwei auswechselbare Zifferblätter.[3] Die Zifferblätter lassen sich leicht auf die am Aufstellort gültige Zonenzeit auslegen, zeigen also die „Normalzeit“ an.

Auch die jeden Tag zur gleichen mittleren Zeit fotografierte Sonne ergibt in der Summe ein am Himmel stehendes Analemma.[22]

Historisches[Bearbeiten]

Die Zeitgleichung war schon den antiken Astronomen bekannt. Geminos erwähnt sie.[23] Im Almagest des Ptolemäus wurde sie ziemlich genau und bündig angesprochen.[24] Die heute verwendete quantitative Beschreibung der Zeitgleichung hat John Flamsteed schon 1672, also bald nach Bekanntwerden der Keplerschen Gesetze, vorgenommen.[25][26]

In älteren Jahrbüchern findet sich die Zeitgleichung mit umgekehrtem Vorzeichen. Der Wortteil Gleichung bedeutete im Mittelalter eine Korrektur zufügen.[2] Man hatte der wahren Sonnenzeit die Werte der Zeitgleichung zu addieren, um auf die mittlere Zeit zu kommen.

Heutzutage liest man die mittlere Zeit von den (stets gleichmäßig laufenden) Uhren ab und addiert ihr die Werte der Zeitgleichung, um die wahre Sonnenzeit zu erhalten, die zum Beispiel eine einfache Sonnenuhr anzeigen muss. In den französischen Jahrbüchern ist die alte Konvention noch üblich.[27]

Literatur[Bearbeiten]

  • Hughes, D. W., Yallop, B. D., Hohenkerk, C. Y.: The Equation of Time, Mon. Not. R. astr. Soc. (1989), 238, 1529–1535 (PDF)
  • Bernd Loibl: Wann ist Mittag?. In: Sterne und Weltraum Sterne und Weltraum, Spektrum der Wissenschaft, 8–9/1996. S. 643–645
  • Robert Weber. Zeitsysteme. In: Hermann Mucke (Hrsg.): Moderne astronomische Phänomenologie. 20. Sternfreunde-Seminar, 1992/93. Planetarium der Stadt Wien – Zeiss Planetarium der Stadt Wien – Zeiss Planetarium und Österreichischer Astronomischer Verein 1992, S. 55–102

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Equation of time (sundials) – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Zeitgleichung – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Anmerkungen und Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Die Skala ist für MEZ ausgelegt, somit wird die für 15° Ost angezeigte wahre Sonnenzeit (wahre Ortszeit WOZ) auf mittlere Sonnenzeit (mittlere Ortszeit MOZ) für 15° Ost (gleich MEZ) korrigiert. Standort: 12° 22' Ost, Skalenverschiebung: etwa 10½ Minuten (entspricht dem Winkel zwischen Vertikaler und XII-Uhr-Linie)
  2. a b  N. Dershowitz, E.M. Reingold: Calendrical Calculations. Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-70238-6, S. 182.
  3. a b Es existieren auch moderne Sonnenuhren, die für den Zeitausgleich konstruiert sind. Vgl. Siegfried Wetzel: Die Physik der Sonnenuhr. In: Schriften des Historisch-wissenschaftlichen Fachkreises Freunde alter Uhren in der Deutschen Gesellschaft für Chronometrie. Deutsche Gesellschaft für Chronometrie (Hrsg.), 1998, ISBN 3-923422-16-4, Abb.n 16 bis 18 (online, PDF).
  4. a b Siegfried Wetzel Die Zeitgleichung, elementar behandelt - DGC-Mitteilungen Nr.109, 2007
  5. Bei der Berechnung der Zeitgleichung wird in den ersten Näherungen die vom Mond periodisch verursachte Beschleunigung der Erde vernachlässigt. Man rechnet zum Beispiel für den Periheldurchgang gegenwärtig mit dem 3. oder 4. Januar (Unterschied innerhalb einer Vierjahres-Schaltperiode), was genau genommen nur für den gemeinsamen Schwerpunkt von Erde und Mond gilt. Erst bei angestrebter Genauigkeit im Sekundenbereich wird beachtet, dass der Schwerpunkt der Erde um den gemeinsamen Schwerpunkt auf einem Radius von etwa 4700 km rotiert, die Erde also in Bahnrichtung während einer Mondperiode zeitweise bis 4 700 km voraus oder zurück ist.
  6. Die Kurven sind nur in guter Näherung Sinus-Linien. Die Erdbahn und die Richtung der Erdachse ändern sich langfristig, weshalb sich die Zeitgleichungskurven auch von Jahr zu Jahr geringfügig ändern.
  7. Die hier verwendeten Formel-Zeichen sind die gleichen wie im Sonnenuhren-Handbuch, Berechnung der Zeitgleichung, Deutsche Gesellschaft für Chronometrie e.V., Fachkreis Sonnenuhren, 2006, S. 43–49
  8. Beim Übergang zu geozentrischer Sicht wird diese fiktive Erde zu einer auf dem Ekliptikkreis gleichmäßig umlaufenden Sonne, die zur Unterscheidung von der auf dem Himmelsäquator gleichmäßig umlaufenden Sonne (zweite mittlere Sonne) gelegentlich als erste mittlere Sonne (z.B. von Manfred Schneider: Himmelsmechanik, Band II: Systemmodelle, BI-Wissenschaftsverlag, 1993, ISBN 3-411-15981-2, S. 507) bezeichnet wird.
  9. R. Strebel: Die Keplersche Gleichung, Berichte über Mathematik und Unterricht, Eidgenössische Technische Hochschule Zürich, 2001, Seite 11 [1]
  10. Das Formelzeichen für die numerische Exzentrizität ist in der Geometrie der Kegelschnitte \varepsilon. In der Astronomie wird aber dafür das dort für die lineare Exzentrizität gebrauchte Zeichen e verwendet.
  11. Siegfried Wetzel: Die Zeitgleichung für Nicht-Astronomen, Deutsche Gesellschaft für Chronometrie, Mitteilungen Nr. 111, Herbst 2007, Anhang 3 [2]
  12. Manfred Schneider: Himmelsmechanik, Band II: Systemmodelle, BI-Wissenschaftsverlag, 1993, ISBN 3-411-15981-2, S. 507
  13. Dieser Zusammenhang erlaubt umgekehrt, die ekliptikale Länge  \Lambda und den Frühlingspunkt F als Bezugspunkt (sowohl für L als auch für \alpha) auf die Erdbahn zurück zu spiegeln (siehe nebenstehende Abbildung, rechts → links).
  14. Zeichen für Winkeldifferenz und Ort in nebenstehender Abbildung in Klammern gesetzt, da Winkel und Ort für den Gebrauch auf der Erdbahn nicht definiert sind.
  15. Sonnenuhren-Handbuch, 3.3 Berechnung der Zeitgleichung, Deutsche Gesellschaft für Chronometrie e.V., Fachkreis Sonnenuhren, 1900
  16. Sonnenuhren-Handbuch, 3.4 Berechnung der Zeitgleichung, Deutsche Gesellschaft für Chronometrie e.V., Fachkreis Sonnenuhren, 2006, S. 46
  17. a b c Zusammengefasst sind solche Werte bis zum Jahr 2025 im Sonnenuhren-Handbuch (Deutsche Gesellschaft für Chronometrie, FK Sonnenuhren, 2006, S. 48) zitiert.
  18. Diese "Basiswerte" gelten für den 1. Januar 2015 12:00 UT. Ihre langsame Veränderung wird im Folgenden während des gesamten Jahres 2015 nicht beachtet. Die in dieser Zeit kumulierte Veränderung schlägt sich erst in den Jahreskonstanten 2016 nieder. Ausnahme ist L0. Gleichung (8) enthält die permanente Veränderung L(t).
    Die Hochrechnung der Jahreskonstanten erfolgt mit den Basiswerten der Jahre 2000 bzw. 1900 wie folgt (DGC-Handbuch, S. 47):
    M_0 = 357,5256^\circ + 35999,0498^\circ\cdot\text{T/36525d}
    J_{tr} = 365,24219878  \text{d} + 6,16 \cdot 10^{-8}\cdot\text{J}
    J_{an} = 365,25964124  \text{d} + 3,04 \cdot 10^{-8}\cdot\text{J}
    e_0 = 0,016709 - 4,2 \cdot 10^{-7}\cdot\text{T/36525d}
    \varepsilon_0 = 23,439291^\circ - 0,013004^\circ\cdot\text{T/36525d}
    L_0 = 282,9400^\circ + 1,7192^\circ\cdot\text{T/36525}
    T ist die Zahl der Tage seit 1. Januar 2000 12:00 UT, J seit 1900.
  19. Die Jahreskonstanten (z. B. für 2015) werden hier so bezeichnet, weil sie nur für das eine Jahr benutzt werden, auf das sie sich beziehen. Darüber hinaus gelten sie ohne bedeutsame Einbuße an Genauigkeit der Zeitgleichung auch für Termine in fernliegenden Jahren (z. B. für 2050 oder 1950). Die Zeit  t nimmt dann entsprechend hohe positive bzw. negative Werte an; das gegebene Rechenschema bleibt aber unverändert anwendbar. Bei der Bestimmung von  V und  \alpha sind die Nebenwerte des Arkustangens zu verwenden, die  E/2 bzw.  \Lambda am nächsten liegen.
  20. a b Dabei wird mit der ekliptikale Länge L=L0 (Gl.(7a)) des Perihels gerechnet, was ausreichend genau und wegen der nicht bekannten Zeit t auch nicht anders möglich ist.
  21. a b Heinz Schilt: Zur Berechnung der mittleren Zeit für Sonnenuhren, Schriften der Freunde alter Uhren, 1990
  22. Am Himmel in Griechenland fotografierte Analemmata [3]
  23. O. Neugebauer: A History of Ancient Mathematical Astronomy, Berlin 1975
  24. R. Wolf: Handbuch der Astronomie, Amsterdam 1973
  25. Flamsteed eröffnete seine Laufbahn mit einer wichtigen Abhandlung über die Bestimmung der Zeitgleichung. [4]
  26. Flamsteed J.: De inaequilitate dierum solarium dissertatio astronomica. London 1672. (online)
  27. J. Meeus: Astronomical Algorithms, Richmond 2000, S. 184