Zellkomplex

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Ein Zellkomplex oder CW-Komplex ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der algebraischen Topologie. Es ist eine Verallgemeinerung des Simplizialkomplexes und wurde von John Henry Constantine Whitehead eingeführt.

Definition[Bearbeiten]

Eine k-Zelle ist ein topologischer Raum, der zu B^k:=[0,1]^k homöomorph ist. Eine offene k-Zelle ist ein topologischer Raum, der zum Inneren von B^k homöomorph ist. k nennt man die Dimension der Zelle.

Ein Zellkomplex oder auch CW-Komplex (closure-finite weak-topology) ist ein Hausdorff-Raum X, der in offene Zellen (c_i)_{i \in I} zerfällt, wobei gilt:

  1. zu jeder k-Zelle c_i \subseteq X existiert eine stetige Abbildung f_i: B^k \rightarrow X so dass das Innere von B^k homöomorph auf c_i und der Rand in eine Vereinigung von endlich vielen Zellen der Dimension <k abgebildet wird. (f_i heißt die charakteristische Abbildung der Zelle c_i.)
  2. M \subseteq X ist genau dann abgeschlossen, wenn M \cap f_i(B^k) für alle i \in I abgeschlossen ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Jeder CW-Komplex ist normal, erfüllt aber nicht unbedingt das erste Abzählbarkeitsaxiom, ist also nicht unbedingt metrisierbar. Jeder CW-Komplex ist lokal zusammenziehbar.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Jeder Simplizialkomplex ist ein CW-Komplex.
  • \mathbb{R} ist ein CW-Komplex. Betrachte die Zellen c_i = (i, i+1) und die charakteristischen Abbildungen f_i: [0, 1] \to \mathbb{R}, x \mapsto i+x.

Zelluläre Abbildungen[Bearbeiten]

Das n-Skelett K_n eines CW-Komplexes K ist die Vereinigung aller seiner Zellen der Dimension \le n.

Eine CW-Abbildung (oder zelluläre Abbildung) ist eine stetige Abbildung f\colon K\to L, die jede n-Zelle von K in das n-Skelett von L abbildet. (n-Zellen müssen nicht notwendig auf n-Zellen abgebildet werden.)

Literatur[Bearbeiten]