Zentrierte Fünfeckszahl

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Die zentrierten Fünfeckszahlen gehören zu den zentrierten Polygonalzahlen, das heißt es sind zweidimensionale Figurierte Zahlen. Sie beziffern die Anzahl von Steinen, mit denen es möglich ist, ein Fünfeck nach dem folgenden Schema auszulegen:

Nombre pentagon cent.svg

Es liegt ein Stein in der Mitte und um diesen werden dann schrittweise weitere Steine gelegt, und zwar nacheinander 5, 10, 15, usw., sodass ein Fünfeck entsteht.

Die ersten zentrierten Fünfeckszahlen sind

1, 6, 16, 31, 51, 76, 106, 141, 181, 226, 276, 331, 391, 456, ... (Folge A005891 in OEIS)

Bei manchen Autoren zählt die 0 auch noch als nullte figurierte Zahl dazu.

Berechnung[Bearbeiten]

Die n-te figurierte Zahl ist

\frac{5\cdot (n-1)^2+5\cdot (n-1)+2}2,

falls man 1 als erste zentrierte Fünfeckszahl definiert.

Alternativ lassen sie sich mit den Dreieckszahlen \Delta_n berechnen nach

1+\Delta_{n-1}

Weiteres[Bearbeiten]

Erzeugende Funktion[Bearbeiten]

Die Folge der zentrierten Fünfeckszahlen haben eine erzeugende Funktion, nämlich

\frac{x^2+3x+1}{(1-x)^3}=\mathbf 1+\mathbf 6x+\mathbf{16}x^2+\mathbf{31}x^3+\mathbf{51}x^4+\ldots

Verwandte figuierte Zahlen[Bearbeiten]

Die vierte dezentrale Fünfeckszahl 22.

Die vierte zentrierte Fünfeckszahl 31.

Siehe auch Figurierte Zahl

Weblinks[Bearbeiten]