Zentrierte Kubikzahl

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Eine zentrierte Kubikzahl ist ein Zahl, die die Summe zweier aufeinanderfolgender Kubikzahlen ist. Beispielsweise ist 35 = 8 + 27 = 2^3 + 3^3 eine zentrierte Kubikzahl. Die ersten zentrierten Kubikzahlen sind

1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729, 2331, … (Folge A005898 in OEIS)

Die zentrierten Kubikzahlen sind die räumliche Erweiterung der zentrierten Quadratzahlen in die dritte Dimension.

Berechnung[Bearbeiten]

Die n-te zentrierte Kubikzahl ZK_n berechnet sich nach der Formel

ZK_n = n^3 + (n-1)^3 = 2n^3 - 3n^2 + 3n - 1

Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen[Bearbeiten]

Die n-te zentrierte Kubikzahl ist die Summe der ersten n zentrierten Quadratzahlen.

ZK_{n} = \sum_{k=1}^{n} ZQ_{k} = ZQ_{1} + ... + ZQ_{n}

Eigenschaften[Bearbeiten]

ZK_n = Pyr_n +4 \cdot Pyr_{n-1} + Pyr_{n-2}.
  • Die Summe der Kehrwerte der zentrierten Kubikzahlen, also \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{ZK_k} ist konvergent.
  • Die Form von zentrierten Kubikzahlen tritt in der Natur im Aufbau von Atomen auf.

Erzeugende Funktion[Bearbeiten]

Die Funktion

\frac{x(x^3+5x^2+5x+1)}{(x-1)^4}=x+9x^2+35x^3+91x^4+\ldots

enthält in ihrer Reihenentwicklung auf der linken Seite der Gleichung die Folge der zentrierten Kubikzahlen. Sie wird deshalb als erzeugende Funktion der Folge der zentrierten Kubikzahlen bezeichnet.

Weblinks[Bearbeiten]