Zentrierte Quadratzahl

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25 Kugeln in Form ineinandergeschachtelter Quadrate

Eine zentrierte Quadratzahl ist eine Zahl, die die Summe zweier aufeinanderfolgender Quadratzahlen ist. Beispielsweise ist 13 = 4 + 9 = 2^2 + 3^2 eine zentrierte Quadratzahl. Die ersten zentrierten Quadratzahlen sind

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, … (Folge A001844 in OEIS)

Eine zentrierte Quadratzahl beziffert eine Anzahl von Steinen, so dass ein Stein in der Mitte so von weiteren Steinen umgeben ist, dass diese ein Quadrat bilden.

Square number 1 with gnomon.svg Centered square number 5 emanating from 1.svg Centered square number 13 emanating from 5.svg Centered square number 25 emanating from 13.svg
1 Stein 5 Steine 13 Steine 25 Steine

Die n-te zentrierte Quadratzahl ZQ_n berechnet sich nach der Formel

ZQ_n = 2n^2 + 2n + 1

Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen[Bearbeiten]

Dreieckszahlen[Bearbeiten]

Die n-te zentrierte Quadratzahl ist eine ungerade Zahl, die um eins größer ist als das Vierfache der n-ten Dreieckszahl.

ZQ_n = 1 + 4\Delta_n = 1 + 4\cdot \frac{n\cdot (n+1)}{2}
Zentrierte Quadratzahl3.PNG

Jede n-te zentrierte Quadratzahl lässt sich als Summe von Dreieckszahlen erzeugen:

ZQ_n = \Delta_{n-1} + 2\Delta_n + \Delta_{n+1}= \frac{(n-1)n}{2} + 2\cdot \frac{n(n+1)}{2} + \frac{(n+1)(n+2)}{2}
Zentrierte Quadratzahl4.PNG

Quadratzahlen[Bearbeiten]

Jede zentrierte Quadratzahl ist die Summe zweier aufeinanderfolgender (dezentraler) Quadratzahlen. Dies wird offensichtlich, wenn man die Berechnungsformel für die zentrierten Quadratzahlen umstellt.

2n^2 + 2n + 1 = n^2 + (n+1)^2

Auch an dem einer zentrierten Quadratzahl zugrundeliegenden Muster lässt sich dieser Sachverhalt erkennen:

Centered square number 13 as sum of two square numbers.svg

Sonstiges[Bearbeiten]

Im Vergleich zu den Quadratzahlen, die stets zusammengesetzt sind, gibt es in der Folge der Zentrierten Quadratzahlen auch einige Primzahlen. Die ersten primen zentrierten Quadratzahlen sind

5, 13, 41, 61, 113, 181, 313, 421, 613, 761, 1013, … (Folge A027862 in OEIS).

Abwandlungen und Verallgemeinungen[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]