Zentrifugalkraft

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Wirkung der Zentrifugalkraft auf rotierende Flüssigkeiten

Die Zentrifugalkraft ist eine Trägheitskraft, die ein Beobachter wahrnimmt, der sich in einem rotierenden Bezugssystem befindet.

Da er sich nach dem Trägheitsprinzip (dem Ersten Newton'schen Axiom) unbeschleunigt auf einer Geraden weiterbewegen möchte, ist es für ihn unnatürlich, dass sich sein Bezugssystem auf einer gekrümmten Bahn bewegt. In diesem Bezugssystem spürt er eine Zentrifugalkraft, die vom Mittelpunkt des Krümmungskreises wegzeigt und damit senkrecht auf dem Geschwindigkeitsvektor steht.

Der Begriff leitet sich von fugere (lateinisch für fliehen) ab.

Technische Anwendungen der Zentrifugalkraft sind die Zentrifuge und der Fliehkraftregler.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Formeln

Die Zentrifugalkraft zeigt bei einer Kreisbewegung stets vom Kreismittelpunkt fort. Für einen Körper der Masse m, mit der Geschwindigkeit v auf einer Kreisbahn mit Radius r ist der Betrag der Zentrifugalkraft:

F_Z=\frac{m \cdot v^2}{r}

Mit der Winkelgeschwindigkeit ω ergibt sich die Bahngeschwindigkeit als v = ωr und damit:

\,F_Z=m \omega^2r

Verwendet man die Vektoren \vec{r} für den Abstand und \vec{\omega} für die Winkelgeschwindigkeit, so kann man die Zentrifugalkraft mit dem Vektorprodukt darstellen:

\vec{F_Z}= - m \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r})

In den Formeln taucht die Masse m als Faktor auf. Wegen der Beziehung "Kraft = Masse · Beschleunigung" kann daraus die Zentrifugalbeschleunigung für einen Körper auf einer Kreisbahn bestimmt werden:

a_Z=\frac{v^2}{r}

bzw. mit der Winkelgeschwindigkeit ω:

a_Z=\omega^2 \cdot r

Eine allgemeinere gültige Definition ist:

\vec{a_Z} = - \vec{\omega} \times ( \vec{\omega} \times \vec{r})

Oder durch Umformen mit der Jacobi-Identität:

\vec{a_Z} = | \vec{\omega} |^2 \vec{r} - \vec{\omega} ( \vec{\omega} \cdot \vec{r} )


[Bearbeiten] Beispiele

Wichtige Anwendungen finden sich in Zentrifugen.

[Bearbeiten] Waschmaschine

Im Schleudergang einer Waschmaschine wirkt auf die Wäsche eine Beschleunigung von

a_Z=\omega^2 \cdot r

mit

  • Schleuderdrehzahl der Waschtrommel: 1200 Umdrehungen je Minute
  • Trommeldurchmesser: 47 Zentimeter
  • \omega = 1200\ \frac {min} {min \cdot 60\ s} \cdot {2\pi}\ {=}\ 20\ \frac {1} {s} \cdot {2\pi} \approx 125,66\ \frac {rad} {s}
  • r = \frac{0,47\ m} {2} = {0,235}\ {m}

ergibt sich:

a_Z= \left( {125,66}\ \frac {rad} {s} \right) ^2 \cdot {0,235}\ {m} = {3710,97}\ \frac {m} {s^2}

Mit g = 9,81 m/s² wirkt auf die Wäsche also die 378-fache Erdbeschleunigung. Eine Socke wiegt nun scheinbar 15 Kilogramm statt 40 Gramm.

[Bearbeiten] Achterbahn

Die Zentrifugalkraft ist in der Konstruktion von Achterbahnen von Bedeutung, bei denen für den menschlichen Körper unangenehme Beschleunigungskomponenten möglichst vermieden werden sollen, aber Komponenten, die der Schwerkraft entgegenwirken und somit ein Gefühl der Schwerelosigkeit erzeugen, erwünscht sind.[1] Beispielsweise ergibt sich bei kreisförmigen Loopings, bei denen im höchsten Punkt gerade Schwerelosigkeit erzeugt wird, am Einstiegspunkt ein abrupter Anstieg der Vertikalbeschleunigung um 5 g. Deshalb wurde vom Achterbahnkonstrukteur Werner Stengel für Loopings Klothoiden-Form (Cornu-Spirale) der Bahnkurve benutzt, bei der der Krümmungsradius umgekehrt proportional zur Bogenlänge ist (anfangs also unendlich ist) und damit zu einem viel sanfteren Anstieg der Zentripetalbeschleunigung führt. Die Klothoide war zuvor schon im Straßenbau benutzt worden.

[Bearbeiten] Zusammenhang mit der Zentripetalkraft

Während eine Zentripetalbeschleunigung immer nötig ist, um einen Körper auf eine gekrümmte Bahn zu bringen, ist die Zentrifugalkraft entscheidend an das Bezugssystem gekoppelt. Allerdings ist für einen Beobachter, der mit einem Bezugssystem mitrotiert, die erforderliche Zentripetalkraft, um ihn auf der gekrümmten Bahn zu halten, entgegengesetzt gerichtet, aber betragsmäßig genauso groß wie die Zentrifugalkraft, die er in diesem Bezugssystem spürt. Die folgenden Beispiele sollen jedoch die Unterschiede zwischen den beiden Betrachtungsweisen verdeutlichen:

  • Wird ein Insasse zum Beispiel durch einen Sicherheitsgurt, durch Haftreibung auf dem Sitz, durch Kontaktkräfte etc. in einem Auto festgehalten, so übt das als Bezugssystem dienende Auto nach dem Aktionsprinzip (dem Zweiten Newton'schen Axiom) eine der Zentrifugalkraft entgegengesetzte, gleich große Kraft auf ihn aus. Diese Kraft dient dann gerade als Zentripetalkraft, um den Beobachter auf derselben gekrümmten Bahn zu halten, die das Bezugssystem durchläuft. In diesem Sinne sind Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft einander entgegengesetzte, gleich große Kräfte.
  • Liegt jedoch auf dem Beifahrersitz ein Apfel, so sieht der Fahrer in jeder Rechtskurve, wie der Apfel im Bezugssystem Auto nach links beschleunigt wird (und andersherum). Der Zentrifugalkraft auf den Apfel entspricht hier keine physikalische Kraft, sondern es handelt sich um eine Trägheitskraft (oder auch Scheinkraft) in diesem Bezugssystem. Sobald der Apfel im Bezugssystem Auto in Bewegung ist, tritt genaugenommen auch die Corioliskraft als weitere Trägheitskraft ins Spiel.
  • Anders verhält es sich jedoch bei einem Astronauten, der in einem Satelliten die Erde umkreist. Die Gravitationsbeschleunigung ist für die Raumkapsel und ihn gleich groß und sorgt als Zentripetalbeschleunigung dafür, dass beide die gleiche Kreisbahn um die Erde durchlaufen. Im rotierenden Bezugssystem Raumkapsel gibt es nun zwei Kräfte, die auf den Astronauten wirken: die Gravitationskraft und die Zentrifugalkraft in diesem rotierenden Bezugssystem. Die beiden Kräfte heben sich auf und der Astronaut fühlt sich in der Raumkapsel schwerelos, er ist es keinesfalls, da die Erde eine Gravitionskraft auf ihn ausübt.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Einzelnachweise

  1. ↑ Verena Heintz, Ann-Marie Martensson-Pendrill, Anette Schmitt, Klaus Wendt Achterbahn fahren im Physikunterricht, Physik in unserer Zeit, 2009, Heft 2
Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Zentrifugalkraft“
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