Zentrifugalkraft

Ein Passagier in einem rotierenden Kettenkarussell wird durch die Zentrifugalkraft nach außen gedrängt.

Die Zentrifugalkraft (von lat. centrum, Mitte und fugere, fliehen), auch Fliehkraft, ist eine Trägheitskraft, die radial von der Rotationsachse nach außen gerichtet ist. Sie wird durch die Trägheit des Körpers verursacht. Die Auswirkungen des ersten newtonsches Gesetzes sind im Alltag vielfach erlebbar, beispielsweise wenn beim Kettenkarussell die Sitze nach außen gedrängt werden, die Wäsche in der Wäscheschleuder trockener wird, oder sich der Zweiradfahrer „in die Kurve legen“ muss. Die Zentrifugalkraft ergibt sich aus der Zentrifugalbeschleunigung durch Multiplikation mit der Masse.

Der Begriff wird mit zwei unterschiedlichen Konzepten verbunden: einerseits als diejenige Kraft, die mit der Zentripetalkraft im dynamischen Gleichgewicht steht;

$F = m\;\frac{v^2}{R}$

andererseits als Scheinkraft, die berücksichtigt werden muss, wenn man die Bewegung bezüglich eines rotierenden Koordinatensystems beschreibt.

$F = m \omega^2 r$

Die Herleitungen dieser Gleichungen werden im Folgenden erläutert.

Bedeutung der Symbole:

$F =$ Kraft

$m =$ Masse

$v =$ Geschwindigkeit

$R =$ Abstand vom Krümmungsmittelpunkt

$r =$ Abstand vom Ursprung des rotierenden Bezugssystems

$\omega =$ Winkelgeschwindigkeit des Bezugssystems

Begriff und Geschichte

Die Zentrifugalkraft wurde erstmals 1669 in einem Brief von Christian Huygens an den Sekretär der Royal Society Henry Oldenbourg abgeleitet, auch in dessen Horologium Oscillatorium von 1673 ohne Ableitung erwähnt und ausführlich in dessen nachgelassener Schrift von 1703 De Vis Centrifuga (aus dem Jahr 1659). Isaac Newton beschrieb die Zentrifugalkraft erst nach Huygens, aber unabhängig von diesem.

Die sich ausbildende Form der Flüssigkeitsoberfläche in einem rotierenden Wasserbehälter (und damit die Zentrifugalkraft) wurde von Newton als Nachweis der Existenz eines absoluten Raumes gedeutet. Das machsche Prinzip dagegen erklärt die Zentrifugalkraft als Reaktion auf die Wechselwirkung mit allen übrigen Massen des Universums. Die Zentrifugalkraft bei der Bahnbewegung der Erde um die Sonne bliebe demnach dieselbe, wenn Erde und Sonne ruhten und die Massen des Weltalls um das System Sonne-Erde rotierten. Beide Schlussfolgerungen stehen nicht auf dem Boden der allgemeinen Relativitätstheorie.

Dynamisches Gleichgewicht

Zentrifugalkraft bei einer Kreisbewegung

Beschreibt der Schwerpunkt eines Körpers in einem Inertialsystem eine gekrümmte Bahn, so ist dafür eine Zentripetalkraft erforderlich. Gemäß dem zweiten newtonschen Gesetz ergibt sich eine dazu proportionale Zentripetalbeschleunigung, die zum Krümmungsmittelpunkt gerichtet ist:

$\vec F_\text{Zp}=m \vec a_\text{Zp}$

Die Gleichung kann auf die Form:

$\vec F_\text{Zp}-m \vec a_\text{Zp} = \vec 0$

gebracht werden.

Das negative Produkt aus Masse und Zentripetalbeschleunigung wird formal als Kraft aufgefasst und als Zentrifugalkraft $F_\text{Zf}$ bezeichnet. Ein dynamisches Problem kann somit auf ein statisches Gleichgewicht aus äußerer Kraft und Trägheitskraft zurückgeführt werden:

$\vec F_\text{Zp}+\vec F_\text{Zf} = \vec 0$

Im Sinne des dynamischen Gleichgewichts ist die Zentrifugalkraft stets entgegengesetzt gleich groß wie die Zentripetalkraft. Die Summe der Kräfte ist somit Null, wenn man die (d'Alembertsche) Trägheitskraft mit einschließt.

Die Zentrifugalkraft im d'Alembertschen Sinn ist immer an die Zentripetalkraft gekoppelt, gewissermaßen deren Spiegelbild. Das unterscheidet sie von der Scheinkraft, die nur dann berücksichtigt werden muss, wenn man die newtonsche Bewegungsgleichung in einem rotierenden Bezugssystem formuliert. Im Spezialfall eines rotierenden Bezugssystems, in dem der Körper ruht, wobei der Ursprung des Bezugssystems im Krümmungsmittelpunkt liegt und nicht beschleunigt wird, sind beide Definitionen identisch.

Der Betrag von Zentripetalkraft bzw. Zentrifugalkraft berechnet sich aus der Bahngeschwindigkeit $v$ und dem Krümmungsradius $R\colon$

$\left | F_\text{Zf} \right | = m\;\frac{v^2}{R}$

Motorrad bei stationärer Kurvenfahrt

Als Beispiel für die Umwandlung eines dynamischen Problems in ein statisches sei die Berechnung der Schräglage eines Motorradfahrers bei stationärer Kurvenfahrt gezeigt. Wenn das Motorrad nicht umkippen soll, muss die resultierende Kraft aus Fliehkraft und Gewichtskraft durch den Radaufstandspunkt gehen. Die Zentripetalkraft wirkt in der Straßenebene und braucht beim Momentengleichgewicht um den Radaufstandspunkt nicht berücksichtigt zu werden. Für die Schräglage $\alpha$ ergibt sich

$\tan{\alpha}=\frac{v^2}{R\;g}=\frac{a_y}{g}$

mit der Erdbeschleunigung $g$ und der Radialbeschleunigung $a_y.$

Scheinkraft im rotierenden Bezugssystem

Scheinkräfte treten auf, wenn das zweite newtonsche Gesetz in einem Bezugssystem aufgestellt wird, das kein Inertialsystem ist. Konkret muss die Beschleunigung im Inertialsystem durch Größen ausgedrückt werden, die im rotierenden Bezugssystem gegeben sind. Die Scheinkraft im rotierenden Bezugssystem ist unabhängig davon, ob eine Zentripetalkraft vorhanden ist oder nicht.

Damit ein Körper relativ zu einem rotierenden Bezugssystem, dessen Ursprung selbst unbeschleunigt ist, in Ruhe gehalten wird, müssen sich die Fliehkraft und die nach innen gerichtete Zentripetalkraft kompensieren. Anschaulich formuliert: Wenn ein Objekt auf einer rotierenden Scheibe „stehen bleiben“ soll, muss etwas das Objekt festhalten. Die Fliehkraft und die Zentripetalkraft addieren sich zu Null, sodass der Körper „in Ruhe“, also an derselben Stelle der Scheibe bleibt.

Beschreibt man das Objekt auf einer rotierenden Scheibe in einem Inertialsystem, so möchte sich der Körper gemäß Trägheitssatz nicht auf einer Kreisbahn, sondern unter Beibehaltung seiner Geschwindigkeit geradeaus weiterbewegen; es wirkt auf ihn aber weiter dieselbe „nach innen“ gerichtete Zentripetalkraft. Diese ist im Gegensatz zur Fliehkraft keine Trägheitskraft, sondern eine in jedem Bezugssystem zu berücksichtigende äußere (reale) Kraft, die bewirkt, dass der Körper ständig nach innen beschleunigt und damit auf eine Kreisbahn gezwungen wird. Sie ist in Richtung Rotationszentrum gerichtet und sorgt durch die Zentripetalbeschleunigung dafür, dass sich ein Objekt auf einer gekrümmten Bahn bewegt.

Die Zentrifugalkraft ist entscheidend an das Bezugssystem gekoppelt. Für einen Körper, der mit einem Bezugssystem mitrotiert, ist die Zentripetalkraft, die erforderlich ist, um ihn auf der gekrümmten Bahn zu halten, entgegengesetzt gerichtet, aber vom selben Betrag wie die Zentrifugalkraft, die er in diesem Bezugssystem spürt. Die folgenden Beispiele sollen die Unterschiede zwischen den beiden Betrachtungsweisen verdeutlichen. Sie beschränken sich der Einfachheit halber auf den Spezialfall, dass der Ursprung des rotierenden Bezugssystems selbst unbeschleunigt ist.

• Wird ein Insasse zum Beispiel durch einen Sicherheitsgurt, durch Haftreibung auf dem Sitz, durch Kontaktkräfte etc. in einem Auto festgehalten, so übt das aus Sicht dieser Person eine der Zentrifugalkraft entgegengesetzte, gleich große Kraft auf ihn aus. Diese Kraft dient gerade als Zentripetalkraft, um den Insassen auf derselben gekrümmten Bahn zu halten, die das Auto durchläuft. In diesem Sinne sind Zentrifugalkraft und Zentripetalkraft einander entgegengesetzte, gleich große Kräfte.

• Liegt jedoch auf dem Beifahrersitz ein Apfel, so sieht der Fahrer in jeder Kurve, wie der Apfel im Auto zur Seite beschleunigt wird. Hier wird die Beschleunigung des Apfels mit einer Scheinkraft erklärt, der keine gleich große Zentripetalkraft entgegensteht.

• Anders verhält es sich beispielsweise bei einem Astronauten, der in einem Satelliten die Erde umkreist. Die Gravitationsbeschleunigung ist für die Raumkapsel und ihn gleich groß und sorgt als Zentripetalbeschleunigung dafür, dass beide die gleiche Kreisbahn um die Erde durchlaufen. Bei Beschreibung dieser Kreisbahn im Satellitensystem wirken zwei Kräfte auf den Astronauten: die Gravitationskraft und die Zentrifugalkraft. Dabei hebt die Zentrifugalkraft gerade die Schwerkraft auf.

Herleitung

Die Zentrifugalbeschleunigung in einem rotierenden Bezugssystems erhält man durch zweifache Ableitung des Ortsvektors. Dazu betrachten wir den Vektor $\vec A,$ der die Koordinaten $A_i$ bezüglich einer Basis $\vec e_i$ im Inertialsystem besitzt. Der gleiche Vektor besitzt in einem rotierenden Bezugssystem bezüglich der Basis $\vec{e_i'}$ die Komponenten $A_i'\colon$

$\vec A=\sum_{i=1}^3 A_i \vec e_i = \sum_{i=1}^3 A_i' \vec{e_i'}$

Wird dieser Ausdruck (unter der Voraussetzung, dass die Uhren in den Bezugssystemen gleich gehen: $t=t'$) zweimal nach der Zeit mit Hilfe der Produktregel abgeleitet, ergibt sich:

$\dot{\vec{A}}= \sum_{i=1}^3 \dot A_i' \vec{e_i'} + A_i' \dot{\vec{e_i'}}$

$\ddot{\vec{A}}= \sum_{i=1}^3 \ddot A_i' \vec{e_i'} +2 \dot A_i' \dot{\vec{e_i'}} + A_i' \ddot{\vec{e_i'}}$

Für ein kräftefreies Teilchen gilt im Inertialsystem $(\ddot{\vec{A}})_{\mathrm{IS}}=\ddot{\vec{r}}=0.$ Die Darstellung des Vektors $\vec A$ im rotierenden Bezugssystem bezeichnen wir als $\vec{r'}.$

Die Ableitungen der Basisvektoren im rotierenden Bezugssystem lassen sich mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega$ als $\dot{\vec{e_i'}}=\vec \omega \times \vec{r'}$ schreiben. Damit lässt sich obige Ableitung zu

$\ddot{\vec{r}}=\ddot{\vec{r'}}+2(\vec{\omega} \times \dot{\vec{r'}}) + \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r'})$

$\ddot{\vec{r'}}=-2(\vec{\omega} \times \dot{\vec{r'}}) - \vec{\omega} \times (\vec{\omega} \times \vec{r'})$

vereinfachen. Durch Multiplikation mit der Masse $m$ eines Körpers erhält man die Kraft, die auf den Körper im rotierenden Bezugssystem wirkt. Den ersten Term, der von der Geschwindigkeit des Körpers abhängt, bezeichnet man als Corioliskraft; der zweite, der nur vom Ort abhängt ist die Zentrifugalkraft $\vec{F}_\mathrm{Zf}.$ Für ein Teilchen, das im rotierenden Bezugssystem ruht, erhält man demnach nur einen Beitrag der Zentifugalkraft:

$\vec{F}_\mathrm{Zf} = - m\vec \omega \times ( \vec \omega \times \vec {r}{\;'})$

Zentrifugalpotential

→ Hauptartikel: Effektives Potential

Da die Zentrifugalkraft, genau wie die Gravitationskraft $F_\mathrm{G}=mg,$ proportional zur Masse des Körpers ist, lässt sich die Zentrifugalbeschleunigung ähnlich wie die Erdbeschleunigung $g$ als Ortsfaktor deuten, der an einem gegebenen Ort die Beschleunigung angibt, die ein Körper aufgrund der Zentrifugalkraft an diesem Ort erführe.

$\Phi_\mathrm{Z} = \frac{\omega^2 r^2}{2} = \frac{v^2}{2}$     (weil $\omega r = v$ die Geschwindigkeit ist, wenn Winkelgeschwindigkeit und Radiusvektor senkrecht aufeinander stehen).

Die Energie im Zentrifugalpotential ist gleich der kinetischen Energie:

$E_\mathrm{Z} = \frac{m \omega^2 r^2}{2} = \frac{m v^2}{2}$

Zusammenhang mit der Zentripetalkraft

Um einen Pfosten rotierender Ball, der von einer Feder (einfaches Modell eines Fadens) gehalten wird. Kraft (1) ist die Zentrifugalkraft. Alle anderen Kräfte sind entweder die Zentripetalkraft oder deren Reaktio, da sie auf einer Wirkungslinie liegen.

Die Zentrifugalkraft wird in manchen Texten als „Gegenkraft“ oder „Reaktionskraft“ zur Zentripetalkraft beschrieben; dabei wird auf das dritte newtonsche Gesetz verwiesen. In dieser Sichtweise übt die Feder eine Zentripetalkraft auf die Kugel aus, sodass diese auf eine Kreisbahn gezwungen wird, und umgekehrt zieht auch die Kugel an der Feder. Diese Reaktionskraft der Kugel auf das Seil wird manchmal als „reaktive Zentrifugalkraft“ bezeichnet.

Andere Autoren wenden jedoch ein, dass diese Kraft nicht mit den in rotierenden Bezugssystemen auftretenden Trägheits- bzw. Scheinkräften verwechselt werden darf und verweisen auf einen Widerspruch zum dritten newtonschen Gesetz, da Zentripetalkraft und Zentrifugalkraft am selben Körper angreifen, dagegen müssen Kräftepaare, die als „Actio und Reactio“ bezeichnet werden, an verschiedenen Körpern angreifen. Die Trägheits- bzw. Scheinkräfte repräsentieren ein scheinbares Kräftegleichgewicht eines Körpers (nämlich die Kugel), und hängen von der Wahl des Bezugssystems ab. Dagegen stellen Reaktionskräfte im Sinne des dritten Gesetzes eine Wechselwirkung zwischen zwei unterschiedlichen Körpern (Feder und Kugel) dar, die unabhängig vom Bezugssystem auftritt.

Der Faden, der einen Körper auf einer Kreisbahn hält, wird durch die Reaktionskraft zur Zentripetalkraft (Kraft (3) im nebenstehenden Bild) und die Kraft (4) (Zentripetalkraft) gespannt. Dies kann z. B. auch mit einer Federwaage unabhängig vom Bezugssystem gemessen werden. Nur im Spezialfall eines mit dem betrachteten Körper mitrotierenden Bezugssystems sind die Reaktion der Zentripetalkraft (3) und die Zentrifugalkraft (1) in Betrag und Richtung gleich, sonst jedoch nicht. Ihre Angriffspunkte sind dagegen immer verschieden.

Überträgt man nebenstehendes Bild auf einen Menschen, der um einen Pfosten rotiert (die Feder symbolisiert den Arm, der Ball den Körper), so entspricht es der Alltagssprache, dass man eine nach außen ziehende Fliehkraft spürt und man diese durch das Festhalten an dem Pfosten ausgleichen muss. In dem Fall, dass man Kraft (1) und (3) nicht unterscheidet und mögliche Widersprüche zum Wechselwirkungsprinzip ignoriert, ist eine solche Aussage auch möglich. Bei näherer Betrachtung ist das Gefühl, nach außen gezogen zu werden, keine Kraft, sondern man spürt eine Dehnung im Arm. Diese wird durch die Zentripetalkraft (4) bzw. deren Reactio (3) hervorgerufen.

Praktische Beispiele

Rotierende Flüssigkeit

Wasseroberfläche in einem rotierenden Gefäß

Rühren in einem Wasserglas

Bei einem mit Wasser gefüllten zylinderförmigen Gefäß, das um eine senkrechte Achse rotiert, nimmt die Wasseroberfläche eine gekrümmte Form an, wobei der Wasserstand außen höher ist als in der Mitte. Die Wasserteilchen werden durch eine Zentripetalkraft auf eine Kreisbahn gezwungen. Im stationären Zustand muss die Vektorsumme von Zentrifugalkraft und Gewichtskraft an jedem Punkt der Oberfläche auf dieser senkrecht stehen. Es gilt dieselbe Formel, die bereits beim Motorradfahrer abgeleitet wurde:

$\tan{\alpha}=\frac{v^2}{r\;g}$

Da sich die Geschwindigkeit aus der Winkelgeschwindigkeit der Flüssigkeit berechnen lässt, ergibt sich:

$\tan{\alpha}=\frac{{\omega}^2\; r}{g}$

Der Tangens des Winkels ist die Steigung der Wasseroberfläche. Da die Zentrifugalkraft proportional zum Radius ist, hat die Oberfläche die Form eines Rotationsparaboloides und deren Querschnitt die Gleichung:

$z = r\cdot\tan{\alpha}+z_0=\frac{{\omega}^2}{g}\;r^2+z_0$

Die parabolische Form einer Licht reflektierenden Flüssigkeitsoberfläche findet Anwendung bei den flüssigen Spiegeln astronomischer Spiegelteleskope, die im einfachsten Fall aus Quecksilber bestehen.

Schleudern von Wäsche

Eine Waschmaschine mit einem Trommeldurchmesser von 50 cm macht im Schleudergang 1200 Umdrehungen pro Minute. Die Zentrifugalbeschleunigung für ein mitrotierendes Wäschestück ergibt sich zu

$\omega = \frac{1200\cdot2\,\pi\,\mathrm{rad}}{60\,\mathrm{s}} \approx 126\, \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}, \qquad r = 0{,}25\,\mathrm{m}, \qquad a_\mathrm{Z}= \left( {126\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}}\right) ^2 \cdot {0,25}\mathrm{m}\approx {3969}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}.$

Hierbei ist $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit. $\frac{2\,\pi\mathrm{rad}}{\mathrm{min}}$ ist eine Umdrehung pro Minute.

Das Ergebnis entspricht etwa dem 400-fachen der Erdbeschleunigung. Auf eine Socke an der Trommelwand wirkt somit eine Zentrifugalkraft, die 400-mal so groß ist wie ihre Gewichtskraft.

Achterbahn

Die Zentrifugalkraft ist für der Konstruktion von Achterbahnen von Bedeutung, bei denen für den menschlichen Körper unangenehme Kräfte möglichst vermieden werden sollen, aber solche, die der Schwerkraft entgegenwirken und somit ein Gefühl der Schwerelosigkeit erzeugen, erwünscht sind. Beispielsweise ergibt sich bei kreisförmigen Loopings, bei denen im höchsten Punkt gerade Schwerelosigkeit erzeugt wird, am Einstiegspunkt ein abrupter Anstieg der Beschleunigung um $5 g$, sodass für den mitbewegten Körper plötzlich die fünffache Gewichtskraft als Trägheitskraft auftritt. Deshalb wurde vom Achterbahnkonstrukteur Werner Stengel für Loopings eine Klothoiden-Form (Cornu-Spirale) der Bahnkurve entwickelt, bei der der Krümmungsradius umgekehrt proportional zur Bogenlänge ist, was zu einem sanften Anstieg der im Fahrzeug auftretenden Trägheitskräfte führt. Die Klothoide war zuvor schon im Straßenbau benutzt worden.

Technische Anwendungen

Technische Anwendungen der Zentrifugalkraft sind die Zentrifuge, der Fliehkraftabscheider, das Fliehkraftpendel und der Fliehkraftregler.

Agena-Raketenstufe am Sicherheitsband, zweiter Versuch mit Gemini-12

O’Neill-Kolonie

Freier Fall im rotierenden Bezugssystem

Zentrifugalkraft als Ersatz für die Schwerkraft

Für künftige Raumstationen unterschiedlicher Größe hat man geplant, die Zentrifugalkraft als Ersatz für die Schwerkraft zu verwenden, weil längere Schwerelosigkeit der Gesundheit des Menschen schaden kann. Der erste, relativ vorsichtige Versuch, in einem bemannten Raumfahrzeug gesteuert Zentrifugalkraft zu erzeugen, fand im Jahre 1966 statt. Dabei hat man die Gemini 11-Kapsel mit der Agena-Raketenstufe durch ein 30 Meter langes Sicherheitsband verbunden und beide Objekte mit etwa einer Umdrehung alle sechs Minuten um den gemeinsamen Schwerpunkt rotieren lassen. In einer rotierenden Raumstation würde ein Bleilot an jedem Ort von der Rotationsachse weg zeigen, aber frei fallende Gegenstände würden sich von der Lotrichtung immer mehr in einer entgegen die Rotationsrichtung der Raumstation gerichteten Richtung entfernen. Diese Abweichung kann als eine Folge der Corioliskraft aufgefasst werden. Die Form dieser Fallkurve, eine Kreisevolvente, ist von der Rotationsgeschwindigkeit der Raumstation völlig unabhängig, während ihr Größenmaßstab vom Radius der anfänglichen Kreisbahn abhängt. Von einem nichtrotierenden Bezugssystem aus gesehen würden sich frei fallende Gegenstände mit konstanter Geschwindigkeit auf einer geraden Linie tangential zu ihrer vorherigen Kreisbahn bewegen. Bei einem horizontalen Wurf in der Raumstation, entgegen der Rotationsrichtung der Raumstation und mit der Rotationsgeschwindigkeit der Raumstation, würde der geworfene Gegenstand ständig waagrecht weiter fliegen, solange man den Luftwiderstand vernachlässigen kann. Von einem nichtrotierenden Bezugssystem aus gesehen, würde dieser Gegenstand einfach stillstehen, während sich die Raumstation weiter dreht.