Zerfallsbreite

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Die Zerfallsbreite ist eine besonders in der Kern- und Elementarteilchenphysik verwendete Messgröße, aus der die Lebensdauer kurzlebiger Teilchenzustände (Resonanzen) bestimmt werden kann. „Breite“ bezieht sich dabei auf die Gestalt des betreffenden Maximums (Peaks) in der graphisch dargestellten Anregungsfunktion, bedeutet also Energieunschärfe.

Zerfallskonstante und Lebensdauer[Bearbeiten]

Nach dem Zerfallsgesetz gilt für eine Anzahl N gleicher, instabiler Teilchen

-\frac{\mathrm d N}{\mathrm d t} = -\dot {N} = \lambda \cdot N,

so dass zum Zeitpunkt t gilt:

N(t) = N_0 \cdot \mathrm e^{-\lambda t}  .

N_0 ist die Anzahl der Teilchen zum Zeitpunkt t=0. λ ist die Zerfallskonstante (Zerfallswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit). Die Dimension der Zerfallskonstante ist demnach die einer inversen Zeit, die übliche Einheit s−1. Der Kehrwert der Zerfallskonstante ist die Lebensdauer \tau.

Energie-Zeit-Unschärfe[Bearbeiten]

Nach der Energie-Zeit-Unschärferelation ist die Energie eines Zustandes umso schärfer festgelegt, je länger seine Lebensdauer ist. Die Energieunschärfe \Gamma ist proportional der Zerfallskonstante, also umgekehrt proportional der Lebensdauer:

\Gamma = \hbar \cdot \lambda = \frac{\hbar}{\tau} .

\hbar ist die reduzierte plancksche Konstante. Die Energieunschärfe zeigt sich in der Form der gemessenen Anregungsfunktion. Weil sich aus der Breite dieser Kurve die Lebensdauer ergibt, heißt die Unschärfe Zerfallsbreite.

In der Elementarteilchenphysik ist meist nur der Zerfall eines einzelnen Teilchens in verschiedene Endzustände mit jeweils unterschiedlichen Zerfallsprodukten interessant. Auch hier tritt eine der Lebensdauer entsprechende Unschärfe der frei werdenden Energie auf.

Die totale Zerfallsbreite (siehe unten) einer Resonanz, d. h. eines kurzlebigen Teilchens, kann bestimmt werden, indem man den gemessenen Wirkungsquerschnitt über der Schwerpunktsenergie aufträgt (Anregungsfunktion) und an die Messwerte eine Breit-Wigner-Kurve nach der Methode der kleinsten Quadrate anpasst (Ausgleichsrechnung). Die Zerfallsbreite \Gamma ergibt sich dann als die volle Breite der gefundenen Kurve auf halber Höhe (Halbwertsbreite). Sie hat dementsprechend die Dimension einer Energie und wird z. B. in Elektronvolt angegeben.

Partialbreite und totale Zerfallsbreite[Bearbeiten]

Da die meisten instabilen Teilchen in verschiedene Endzustände zerfallen können, definiert man für jeden Zerfallskanal i eine Partialbreite \Gamma_i. Die Summe aller Partialbreiten ist die oben beschriebene totale Zerfallsbreite:

\Gamma = \Gamma_\mathrm{tot} = \sum_{i=1}^n \Gamma_i.

Für sie gilt wie oben

\Gamma = \frac{\hbar}{\tau}

oder in natürlichen Einheiten (\hbar = c = 1)

\Gamma = \frac{1}{\tau} .

Die mittlere Lebensdauer eines Teilchenzustandes kann also aus der Messung seiner totalen Zerfallsbreite bestimmt werden. 1 MeV entspricht einer Lebensdauer von 6,55·10−22 Sekunden, also einer Halbwertszeit von 4,54·10−22 Sekunden. Auch in der theoretischen Berechnung der Lebensdauer müssen alle möglichen Zerfallskanäle mit ihren Partialbreiten berücksichtigt werden.

Der Anschaulichkeit zuliebe wird gelegentlich eine Partialbreite durch den Kehrwert der betreffenden partiellen Zerfallskonstante, also eine partielle mittlere Lebensdauer ausgedrückt. Diese ist aber eine fiktive, nicht beobachtbare Größe; der wirkliche Zerfall erfolgt immer entsprechend der totalen Zerfallskonstante.

Verzweigungsverhältnis[Bearbeiten]

Das Verzweigungsverhältnis (englisch: branching fraction oder branching ratio)

B_i = \frac{\Gamma_i}{\Gamma}

beschreibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Teilchenzustand in einen bestimmten Endzustand zerfällt.

Beispielsweise zerfällt das positiv geladene Pion (\pi^+) in 99,9877 Prozent aller Fälle in ein positiv geladenes Myon und das zugehörige Myon-Neutrino, und nur in 0,0123 Prozent der Fälle in ein Positron und ein Elektron-Neutrino. Hinzu kommen noch weitere Zerfallskanäle, die aber mit Verzweigungsverhältnissen in der Größenordnung 10−9 … 10−4 noch seltener auftreten.