Zernike-Polynom

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Zernike-Polynome bis zur 4. Ordnung und ein Beispiel 6. Ordnung

Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome, und spielen insbesondere in der geometrischen Optik eine wichtige Rolle. Es gibt gerade und ungerade Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:

Z^{m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\phi)

und die ungeraden durch

Z^{-m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\,\sin(m\,\phi),

wobei m und n nichtnegative ganze Zahlen sind für die gilt: n\geq m. \phi ist der azimutale Winkel und \rho ist der normierte radiale Abstand.

Die Radialpolynome R^m_n sind als

R^m_n(\rho) = \! \sum_{k=0}^{(n-m)/2} \!\!\! \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!} \;\rho^{n-2\,k} \quad\mbox{wenn } n-m \mbox{ gerade ist}

und R^m_n(\rho)=0, wenn n-m ungerade ist, definiert.

Häufig werden sie zu R^m_n(1)=1 normiert.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils R^m_n und eines winkelabhängigen Teils G^m:

Z^{\pm m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\cdot G^m(\phi) \!.

Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel \alpha =2 \pi /m ändert den Wert des Polynoms nicht:

G^m(\phi + \alpha) = G^m(\phi ) \!.

Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über \rho vom Grad n, welches keine Potenz kleiner m enthält. R^m_n ist eine gerade (ungerade) Funktion, wenn m gerade (ungerade) ist.

Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome P_n^{(\alpha,\beta)} (z) dar.

R^m_n(\rho) = (-1)^{(n-m)/2} \rho^m P_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2\rho^2)

Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit

R^0_0(\rho) = 1
R^1_1(\rho) = \rho
R^0_2(\rho) = 2\rho^2 -1
R^2_2(\rho) = \rho^2
R^1_3(\rho) = 3\rho^3 - 2\rho
R^3_3(\rho) = \rho^3
R^0_4(\rho) = 6\rho^4 - 6\rho^2 + 1
R^2_4(\rho) = 4\rho^4 - 3\rho^2
R^4_4(\rho) = \rho^4
R^1_5(\rho) = 10\rho^5 - 12\rho^3 + 3\rho
R^3_5(\rho) = 5\rho^5 - 4\rho^3
R^5_5(\rho) = \rho^5
R^0_6(\rho) = 20\rho^6 - 30\rho^4 + 12\rho^2 -1

Allgemein ist R^n_n(\rho) = \rho^n.

Anwendungen[Bearbeiten]

In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt um Wellenfronten zu repräsentieren, die wiederum die Abbildungsfehler von optischen Systemen beschreiben. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.

Seit einigen Jahren ist die Verwendung von Zernike-Polynomen auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.

Literatur[Bearbeiten]

 Commons: Zernike Polynomials – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  • Born and Wolf: Principles of Optics. Oxford: Pergamon, 1970.

Weblinks[Bearbeiten]