Zernike-Polynom

Zernike-Polynome bis zur 4. Ordnung und ein Beispiel 6. Ordnung

Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome, und spielen insbesondere in der geometrischen Optik eine wichtige Rolle. Es gibt gerade und ungerade Zernike-Polynome. Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:

$Z^{m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\,\cos(m\,\phi)$

und die ungeraden durch

$Z^{-m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\,\sin(m\,\phi),$

wobei m und n nichtnegative ganze Zahlen sind für die gilt: $n\geq m$. ϕ ist der azimutale Winkel und ρ ist der normierte radiale Abstand.

Die Radialpolynome $R^m_n$ sind als

$R^m_n(\rho) = \! \sum_{k=0}^{(n-m)/2} \!\!\! \frac{(-1)^k\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!} \;\rho^{n-2\,k} \quad\mbox{wenn } n-m \mbox{ gerade ist}$

und $R^m_n(\rho)=0$, wenn n − m ungerade ist, definiert.

Eigenschaften

Zernike-Polynome können durch ein Produkt eines radiusabhängigen Teil $R^m_n$ und eines winkelabhängigen Teils G^m dargestellt werden:

$Z^{\pm m}_n(\rho,\phi) = R^m_n(\rho)\cdot G^m(\phi) \!.$

Der winkelabhängige Teil hat die Eigenschaft, dass eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel α = 2π / m die Form des Polynoms nicht ändert:

$G^m(\phi + \alpha) = G^m(\phi ) \!.$

Der radiusabhängige Teil ist ein Polynom über ρ vom Grad n, welches keine Potenz kleiner m enthält. $R^m_n$ ist eine gerade (ungerade) Funktion, wenn m gerade (ungerade) ist.

Der radiusabhängige Teil stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome $P_n^{(\alpha,\beta)} (z)$ dar.

$R^m_n(\rho) = (-1)^{(n-m)/2} \rho^m P_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2\rho^2)$

Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit

$R^0_0(\rho) = 1$

$R^1_1(\rho) = \rho$

$R^0_2(\rho) = 2\rho^2 -1$

$R^2_2(\rho) = \rho^2$

$R^1_3(\rho) = 3\rho^3 - 2\rho$

$R^3_3(\rho) = \rho^3$

$R^0_4(\rho) = 6\rho^4 - 6\rho^2 + 1$

$R^2_4(\rho) = 4\rho^4 - 3\rho^2$

$R^4_4(\rho) = \rho^4$

$R^1_5(\rho) = 10\rho^5 - 12\rho^3 + 3\rho$

$R^3_5(\rho) = 5\rho^5 - 4\rho^3$

$R^5_5(\rho) = \rho^5$

$R^0_6(\rho) = 20\rho^6 - 30\rho^4 + 12\rho^2 -1$

Allgemein ist $R^n_n(\rho) = \rho^n.$

Anwendungen

In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt um Wellenfronten zu repräsentieren, die wiederum die Abbildungsfehler von optischen Systemen beschreiben. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.

Seit einigen Jahren ist die Verwendung von Zernike-Polynomen auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.

Literatur

• Born and Wolf: Principles of Optics. Oxford: Pergamon, 1970.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Zernike Polynomial. In: MathWorld. (englisch)