Ziegenproblem

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In der Hoffnung, das Auto zu gewinnen, wählt der Kandidat Tor 1. Der Showmaster öffnet daraufhin Tor 3, hinter dem eine Ziege steht, und bietet dem Kandidaten an, das Tor zu wechseln. Ist es vorteilhaft für den Kandidaten, seine erste Wahl zu ändern und sich für Tor 2 zu entscheiden?

Das Ziegenproblem, Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma ist eine Aufgabe mit Bezug zur Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Aufgabenstellung ist lose der Spielshow Let’s Make a Deal nachempfunden, welche im deutschen Sprachraum in der Variante Geh aufs Ganze! bekannt wurde. Die Bezeichnungen beziehen sich auf Monty Hall, den Moderator von Let’s Make a Deal, oder auf die Ziegen, die in einer bekannten Problemformulierung neben dem richtigen Preis, einem Auto, als Spottpreise zu gewinnen sind.

Das Ziegenproblem wird oft als Beispiel dafür herangezogen, dass der menschliche Verstand zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten geht, und ist Gegenstand einer lang anhaltenden öffentlichen Diskussion.

Die Aufgabenstellung selbst geht auf den Biostatistiker Steve Selvin zurück, der sie als Leserbrief im American Statistician 1975 veröffentlichte. Weltweit bekannt und zum Gegenstand einer kontroversen Debatte wurde das Problem aber erst durch seine Publikation in Marilyn vos Savants „Ask-Marilyn“-Kolumne des Parade Magazines im Jahre 1990. Die dortige Version beruht auf einem Leserbrief, den vos Savant von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland, erhalten hatte.[1]

„Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem der Tore ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Sie wählen ein Tor, sagen wir, Tor Nummer 1, und der Showmaster, der weiß, was hinter den Toren ist, öffnet ein anderes Tor, sagen wir, Nummer 3, hinter dem eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ,Möchten Sie das Tor Nummer 2?‘ Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?“[2]

Die Fragestellung in dieser Form ist unterbestimmt, die richtige Antwort hängt davon ab, welche Zusatzannahmen getroffen werden. Vos Savant gab die Antwort „Ja, Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von 2/3“. Vos Savants Antwort ist, obwohl unter Zusatzannahmen richtig, auch unter diesen Zusatzannahmen für viele Menschen sehr kontraintuitiv. In der Folge erreichten vos Savant zahlreiche Briefe, nach ihren Angaben Zehntausende, welche überwiegend die Richtigkeit ihrer Antwort bezweifelten.[3]

Das Ziegenproblem ist Gegenstand andauernder öffentlicher Debatten und wissenschaftlicher Untersuchungen.

Die erfahrungsbezogene Antwort[Bearbeiten]

Wenn man die Frage Personen stellt, die sich noch nicht mit dem Problem beschäftigt hatten, vermuten diese häufig, dass die Gewinnchancen für die Tore 1 und 2 gleich hoch seien. Als Grund dafür wird oft angegeben, dass man ja nichts über die Motivation des Showmasters wisse, das Tor 3 mit einer Ziege dahinter zu öffnen und einen Wechsel anzubieten. Es greife daher das Indifferenzprinzip.

Die Intuition beim Verständnis des Leserbriefs geht davon aus, dass es sich bei der Problemstellung um die Beschreibung einer einmaligen Spielsituation handelt. Außerdem zeugt die Antwort von einer gewissen Vertrautheit mit Spielshows wie Geh aufs Ganze, in denen der Showmaster (Moderator) eine aktive und unberechenbare Rolle spielt. Im Gegensatz zu den Problemvarianten, in denen der Moderator auf einen an fixe Verhaltensregeln gebundenen „Handlanger“ reduziert wird, darf realistischerweise angenommen werden, dass er völlig frei in seinen Entscheidungen ist (Monty Hall: „Ich bin der Hausherr!“). Diese Freiheit kann anhand einiger Beispiele illustriert werden, wobei vor jedem Spiel Auto und Ziegen hinter den drei Toren zufällig neu verteilt wurden. Weil die Kandidaten diese Spielshow, für die sie sich als Teilnehmer beworben haben, kennen, ist ihnen die Unberechenbarkeit des Moderators natürlich bewusst.[3]

Spiel 1
Kandidat Alfred wählt Tor 1, der Moderator öffnet das Tor 1 mit einer Ziege dahinter; Alfred verliert.
Spiel 2
Kandidat Bertram wählt Tor 1, der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege dahinter und bietet Bertram an, seine Wahl zu ändern. Bertram möchte wechseln, aber der Moderator öffnet kein Tor, sondern bietet 5000,- Euro dafür, dass Bertram bei seiner ersten Wahl bleibt. Dieser ändert seine Wechsel-Entscheidung nicht, und der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege dahinter; Bertram verliert.
Spiel 3
Kandidatin Conny wählt Tor 1, der Moderator öffnet kein Tor sondern bietet der Kandidatin 1000,- Euro dafür, dass sie auf das Öffnen des Tors verzichtet; Conny nimmt das Geld und gewinnt 1000,- Euro.
Spiel 4
Kandidatin Doris wählt Tor 1, der Moderator öffnet daraufhin Tor 3 mit einer Ziege dahinter und bietet Doris an, ihre Wahl zu überdenken …

Angesichts der verschiedenen Verhaltensmöglichkeiten des Moderators sollte Doris ihre Gewinnchancen sorgfältig abwägen. Wenn sie glaubt, dass der Moderator nett zu ihr sei und sie von ihrer ersten falschen Wahl abbringen möchte, dann sollte sie wechseln. Wenn sie allerdings meint, dass ihr der Moderator nicht gut gesinnt sei und sie nur von ihrer ersten, richtigen Wahl ablenken möchte, dann sollte sie bei Tor 1 bleiben. Wenn Doris den Moderator nicht einschätzen kann – auch im Leserbrief werden keine entsprechenden Hinweise gegeben –, hat sie immer noch die Möglichkeit, sich auf das Indifferenzprinzip zu berufen und ihre Gewinnchance durch Raten als 1/2 einzuschätzen. Die Antwort auf die Frage „Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?“ lautet in ihrem Fall also: „Nicht unbedingt.“

Obwohl die Frage des Leserbriefs damit bereits beantwortet ist, wurde der Vorschlag gemacht, Doris bei ihrer Entscheidung zu unterstützen und ihr eine echte 50:50-Chance auf den Gewinn zu verschaffen. Dazu wird angenommen, dass sie die Möglichkeit hat, sich nach dem Wurf einer fairen Münze für eines der beiden verbleibenden Tore zu entscheiden. Auf diese Weise kann sie sicherstellen, dass ihre Gewinnwahrscheinlichkeit unabhängig von den Absichten des Moderators genau 1/2 beträgt.[4]

Antwort von Marilyn vos Savant[Bearbeiten]

Durch die Antwort von Marilyn vos Savant auf den Leserbrief erzielte das Problem international auch außerhalb der Fachwelt hohe Aufmerksamkeit und führte zu heftigen Kontroversen. Ihre Antwort lautete:

Ja, Sie sollten wechseln. Das zuerst gewählte Tor hat die Gewinnchance von 1/3, aber das zweite Tor hat eine Gewinnchance von 2/3. Hier ist ein guter Weg, sich das Geschehen vorzustellen. Nehmen Sie an, es gäbe 1 Million Tore und Sie wählen Tor Nummer 1. Dann öffnet der Moderator, der weiß, was hinter den Toren ist, und der das eine Tor mit dem Preis immer vermeidet, alle Tore bis auf Tor Nummer 777777. Sie würden doch sofort zu diesem Tor wechseln, oder nicht?[5]

Marilyn vos Savant berücksichtigt dabei nicht eine bestimmte Motivation des Moderators; es ist laut Leserbrief keineswegs ausgeschlossen, dass der Moderator nur deswegen ein Ziegentor öffnet, um den Kandidaten von seiner ersten erfolgreichen Wahl abzulenken. Stattdessen fasst vos Savant den Leserbrief offensichtlich so auf, dass die Spielshow immer wieder nach demselben Muster abläuft:

Verlauf der Spielshow: Der jeweilige Kandidat wählt ein Tor, der Moderator öffnet daraufhin immer ein anderes Tor mit einer Ziege dahinter und lässt danach dem Kandidaten noch einmal die Wahl zwischen den beiden noch geschlossenen Toren. Der Kandidat erhält das Auto, wenn es sich hinter dem von ihm zuletzt gewählten Tor befindet.

Somit erhält sie als Lösung die durchschnittliche Gewinnwahrscheinlichkeit aller möglichen Kombinationen von Toren, die von den jeweiligen Kandidaten gewählt werden und vom Moderator daraufhin geöffnet werden können. Weil die erste Wahl eines Kandidaten als beliebig und die Verteilung von Auto und Ziegen hinter den Toren als zufällig angesehen wird, darf jede der neun Möglichkeiten als gleich wahrscheinlich betrachtet werden:

Tor 1 gewählt Tor 2 Tor 3 Moderator öffnet... Ergebnis beim Wechseln Ergebnis beim Behalten
Auto Ziege Ziege Tor 2 oder Tor 3 Ziege Auto
Ziege Auto Ziege Tor 3 Auto Ziege
Ziege Ziege Auto Tor 2 Auto Ziege
Tor 1 Tor 2 gewählt Tor 3
Auto Ziege Ziege Tor 3 Auto Ziege
Ziege Auto Ziege Tor 1 oder Tor 3 Ziege Auto
Ziege Ziege Auto Tor 1 Auto Ziege
Tor 1 Tor 2 Tor 3 gewählt
Auto Ziege Ziege Tor 2 Auto Ziege
Ziege Auto Ziege Tor 1 Auto Ziege
Ziege Ziege Auto Tor 1 oder Tor 2 Ziege Auto

Drei von neun Kandidaten gewinnen, wenn sie bei ihrer ersten Wahl bleiben, während sechs von neun Kandidaten durch Wechseln das Auto bekommen. Ein Kandidat hat durch Wechseln also eine durchschnittliche Gewinnchance von p = 2/3.

Diese Lösung kann auch grafisch veranschaulicht werden.[6][7]In den Bildern der folgenden Tabelle ist das gewählte Tor willkürlich als das linke Tor dargestellt:

Hinter dem zunächst gewählten Tor steht das Auto Hinter dem zunächst gewählten Tor steht eine Ziege
Wahrscheinlichkeit 1/3 Wahrscheinlichkeit 2/3
Player has picked Door 1 and the car is behind it Player has picked Door 1 and the car is behind Door 2
Der Moderator öffnet eins der Tore mit einer Ziege (egal welche!) Der Moderator kann nur das verbliebene Tor mit Ziege öffnen
Host opens Door 2 half the time if the player picks Door 1 and the car is behind it Host opens Door 3 half the time if the player picks Door 1 and the car is behind it Host must open Door 3 if the player picks Door 1 and the car is behind Door 2
Wechseln führt zum Gewinn einer Ziege Wechseln führt zum Gewinn des Autos
Wechseln ist mit Wahrscheinlichkeit 2/3 vorteilhaft und mit 1/3 Wahrscheinlichkeit nachteilig


Strategische Lösung[Bearbeiten]

Wegen der Auffassung von vos Savant und unter Berücksichtigung der von ihr vorgeschlagenen Wechselstrategie lässt sich eine alternative Sicht des Ablaufs der Spielshow formulieren:

Der jeweilige Kandidat darf zwei freigewählte Tore bestimmen, die der Moderator öffnen muss, und jener erhält das Auto, falls es sich hinter einem dieser beiden Tore befindet.

Beispielsweise möchte ein Kandidat Tor 2 und Tor 3 öffnen lassen. Er wählt also Tor 1, das verschlossen bleibt, und wechselt dann zu Tor 2, wenn der Moderator Tor 3 geöffnet hat, oder umgekehrt. Der Kandidat hat damit offensichtlich eine durchschnittliche Gewinnchance von p = 2/3. Demnach wäre es für einen Kandidaten, der mehrmals an dieser Spielshow teilnehmen dürfte, von Vorteil, die Wahl des Tors immer zu ändern.

Kontroversen[Bearbeiten]

Es sind vor allem die folgenden Hauptargumente, die zu Zweifeln an vos Savants Antwort führen. Während das erste Argument nicht stichhaltig ist und auf falsch angewandter Wahrscheinlichkeitstheorie basiert, verdeutlichen die weiteren Argumente, dass das Originalproblem eine Vielzahl von Interpretationen zulässt:

  • Unter der Voraussetzung, dass der Showmaster den im nächsten Abschnitt ausgeführten Spielregeln folge, sei ein Wechsel des Tores nicht schlecht. Die Gewinnchance für das zweite Tor sei aber niemals 2/3, sondern generell nur 1/2, weil nach dem Öffnen eines Tores mit einer Ziege dahinter nur noch zwei geschlossene Tore zur Auswahl stünden. Die Chancen seien deshalb auf beide Tore immer gleichverteilt.
  • Die Fragestellung im Leserbrief enthält keinerlei Hinweise darauf, dass der Showmaster einer bestimmten Verhaltensregel folgt. Solch eine Regel ließe sich nur unter der Annahme ableiten, dass das Spiel mehrmals unter den gleichen Bedingungen wiederholt würde: Sie wählen ein beliebiges Tor, der Showmaster öffnet ein anderes Tor, hinter dem eine Ziege steht, und Sie dürfen die Wahl Ihres Tores ändern. Von solch einer Wiederholung des Spiels ist aber im Leserbrief keine Rede. Also basiert vos Savants Antwort auf zusätzlichen Annahmen, die sich in dieser Form nicht zwingend aus dem Leserbrief ergeben.[8]
  • Marilyn vos Savants Interpretation bezieht sich nicht auf die in der Fragestellung konkret benannten Tore, und damit lässt sie möglicherweise vorhandene Präferenzen des Moderators bzgl. einzelner Tore außer Acht. Deshalb erhält sie als Gewinnwahrscheinlichkeit 2/3 durch Wechseln, die nicht bei jedem Moderatorverhalten gültig ist. Dementsprechend bildet auch die obige Tabelle, welche nur Durchschnittswahrscheinlichkeiten veranschaulicht, solche Präferenzen nicht korrekt ab.

Das erste Argument wird durch den ausgeglichenen Moderator widerlegt, das zweite wird anhand der erfahrungsbezogenen Antwort und das dritte anhand des faulen Moderators ausgeführt.

Das Monty-Hall-Standard-Problem[Bearbeiten]

Weil die im Leserbrief von Whitaker formulierte Aufgabe einigen Wissenschaftlern nicht eindeutig lösbar erschien, wurde von ihnen eine Neuformulierung des Ziegenproblems vorgeschlagen. Diese als Monty-Hall-Standard-Problem bezeichnete Umformulierung, die zur gleichen Lösung wie der von Marilyn vos Savant führen soll, stellt bestimmte Zusatzinformationen bereit, welche die erfahrungsbezogene Antwort ungültig machen, und berücksichtigt im Unterschied zur Interpretation von vos Savant auch die konkrete Spielsituation:

„Angenommen, Sie befinden sich in einer Spielshow und haben die Wahl zwischen drei Toren. Hinter einem Tor ist ein Auto, hinter den anderen befindet sich jeweils eine Ziege. Das Auto und die Ziegen sind vor der Show zufällig auf die Tore verteilt worden, und Sie haben keine Information über die Position des Autos. Die Regeln lauten: Nachdem Sie ein Tor gewählt haben, bleibt dieses zunächst geschlossen. Der Showmaster Monty Hall, der weiß, was sich hinter den Toren befindet, muss nun eines der beiden verbleibenden Tore öffnen. Hinter dem von ihm geöffneten Tor muss sich eine Ziege befinden. Nachdem Monty Hall ein Tor mit einer Ziege geöffnet hat, fragt er Sie, ob Sie bei Ihrer ersten Wahl bleiben oder zum letzten verbliebenen Tor wechseln möchten. Nehmen Sie an, Sie wählen Tor 1, und der Showmaster öffnet Tor 3 mit einer Ziege. Er fragt Sie dann: ‚Möchten Sie zu Tor 2 wechseln?‘. Ist es vorteilhaft, Ihre Wahl zu ändern?“

Insbesondere hat der Moderator die Möglichkeit, frei darüber zu entscheiden, welches Tor er öffnet, wenn er die Auswahl zwischen zwei Ziegentoren hat (Sie haben also zuerst das Auto-Tor gewählt). Aufgeteilt in Einzelschritte ergeben sich damit die folgenden Spielregeln, die dem Kandidaten, der ein Auto gewinnen kann, bekannt sind:

  1. Ein Auto und zwei Ziegen werden zufällig auf drei Tore verteilt.
  2. Zu Beginn des Spiels sind alle Tore verschlossen, sodass Auto und Ziegen nicht sichtbar sind.
  3. Der Kandidat, dem die Position des Autos völlig unbekannt ist, wählt ein Tor aus, das aber vorerst verschlossen bleibt.
  4. Fall A: Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, öffnet der Moderator eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet. Der Moderator hat dabei die freie Wahl. Bei den nachfolgenden Lösungen werden allerdings Zusatzannahmen über die Art des Auswahlprozesses, die der Moderator verwendet, gemacht werden.
  5. Fall B: Hat der Kandidat ein Tor mit einer Ziege gewählt, dann muss der Moderator dasjenige der beiden anderen Tore öffnen, hinter dem die zweite Ziege steht.
  6. Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Entscheidung zu überdenken und das andere ungeöffnete Tor zu wählen.
  7. Das vom Kandidaten letztlich gewählte Tor wird geöffnet, und er erhält das Auto, falls es sich hinter diesem Tor befindet.

Bedeutung der Zusatzannahme zum Verhalten des Moderators:

Für den Fall A, bei dem der Moderator zwischen zwei Toren mit Ziege wählen kann, sind zusätzliche Annahmen darüber möglich, wie der Moderator seine Entscheidung fällt: Beispielsweise kann sich der Moderator gleichwahrscheinlich zwischen den beiden Toren entscheiden. Oder er entscheidet sich für das Tor mit der höchsten Nummer.

Mit einer solchen Zusatzannahme entsteht jeweils ein anderes Problem, das zu unterschiedlichen Gewinnchancen bei der Torauswahl des Kandidaten führen kann. Dazu wird immer vorausgesetzt, dass der Kandidat die dem Moderator unterstellte Entscheidungsprozedur kennt.

Reihenfolge und Gewichtung der nachfolgenden Darlegung sollten sich an der Gewichtung innerhalb der Fachliteratur orientieren, siehe auch Diskussionsabschnitt "Lösung ohne Berücksichtigung der Tornummern" --Lefschetz (Diskussion) 13:54, 27. Dez. 2013 (CET) bedarf einer Überarbeitung. Näheres ist auf der Diskussionsseite angegeben. Hilf mit, ihn zu verbessern, und entferne anschließend diese Markierung.

Der ausgeglichene Moderator[Bearbeiten]

Für diese Lösung wird die folgende Zusatzannahme gemacht:

  • Fall A: Hat der Kandidat das Tor mit dem Auto gewählt, öffnet der Moderator zufällig ausgewählt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eines der beiden anderen Tore, hinter dem sich immer eine Ziege befindet.

Wie soll sich der Kandidat im vorletzten Schritt entscheiden, wenn er zunächst Tor 1 gewählt und der Moderator daraufhin Tor 3 mit einer Ziege dahinter geöffnet hat?[9]

Einfache Erklärung[Bearbeiten]

Das Auto ist mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 hinter dem vom Kandidaten zunächst gewählten Tor 1. Wegen der Symmetrie im Regelwerk, insbesondere wegen der Spielregeln 4 und 5, wird diese Wahrscheinlichkeit durch das Öffnen eines anderen Tors mit einer Ziege dahinter nicht beeinflusst.[10] Deshalb ist nach dem Öffnen des Tors 3 das Auto mit 2/3-Wahrscheinlichkeit hinter Tor 2, und ein Wechsel führt mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 zum Erfolg.

Tabellarische Lösung[Bearbeiten]

Für die Erklärung wird angenommen, dass der Kandidat zu Anfang Tor 1 gewählt hat und sich anschließend umentscheidet. Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 oder 3 gewählt hat und der Moderator dementsprechend andere Tore öffnet, gilt eine analoge Erklärung. Es müssen sechs Fälle betrachtet werden, um die Gleichwahrscheinlichkeit des Öffnens der Tore 2 und 3 durch den Moderator gemäß Regel 4 modellieren zu können. Das entspricht einem Zufallsexperiment, bei dem die beiden Ziegen voneinander unterschieden werden können, und jede Verteilung von Auto und Ziegen hinter den drei Toren gleich wahrscheinlich ist (Laplace-Experiment).

Kandidat wählt Tor 1 und wechselt, sobald der Moderator ein anderes Tor öffnet
Moderator möchte Tor 2 öffnen Moderator möchte Tor 3 öffnen
1 Thumb down icon.svg Der Moderator öffnet Tor 2 Auto hinter Tor 1
Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege (Regel 4). Bei einem Wechsel verliert der Kandidat.
4 Thumb down icon.svg Der Moderator öffnet Tor 3 Auto hinter Tor 1
Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege (Regel 4). Bei einem Wechsel verliert der Kandidat.
2 Thumb up icon.svg Der Moderator öffnet Tor 3 Auto hinter Tor 2
Identisch zu Fall 5, da der Moderator Tor 2 nicht öffnen kann.
5 Thumb up icon.svg Der Moderator öffnet Tor 3 Auto hinter Tor 2
Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege (Regel 5). Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat.
3 Thumb up icon.svg Der Moderator öffnet Tor 2 Auto hinter Tor 3
Der Moderator öffnet Tor 2 mit einer Ziege (Regel 5). Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat.
6 Thumb up icon.svg Der Moderator öffnet Tor 2 Auto hinter Tor 3
Identisch zu Fall 3, da der Moderator Tor 3 nicht öffnen kann.

Zur Auswertung der Tabelle müssen nun die Fälle betrachtet werden, in denen der Moderator das Tor 3 öffnet (das ist die Bedingung). Das sind die Fälle 2, 4 und 5. Man sieht, dass in zwei von drei dieser Fälle der Kandidat durch Wechseln gewinnt. Unter den Voraussetzungen, dass der Kandidat zunächst Tor 1 gewählt hat und der Moderator Tor 3 mit einer Ziege dahinter öffnet, befindet sich das Auto also in 2/3 der Fälle hinter Tor 2. Außerdem kann aus der Tabelle leicht abgelesen werden, dass wenn der Moderator anstelle von Tor 3 das Tor 2 öffnet, der Kandidat durch Wechseln ebenfalls in zwei von drei Fällen das Auto gewinnt. Der Kandidat sollte also seine Wahl zugunsten von Tor 2 ändern.

Formelle mathematische Lösung[Bearbeiten]

Es sind die Ereignisse definiert:

G_i \ : Der Gewinn ist hinter Tor i (i = 1, 2, 3)
M_j \ : Der Moderator hat das Tor j geöffnet (j = 1, 2, 3)

Es liegt folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tor 1 gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor 3 geöffnet. Lohnt es sich für den Kandidaten zu wechseln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tor 2 ist? Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit P(G_2|M_3) \ , dass das Auto hinter Tor 2 ist, wenn bekannt ist, dass es nicht hinter Tor 3 ist. Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Satz von Bayes ermitteln.

Auf Grund der Aufgabenstellung (Regeln 1, 4 und 5) gelten folgende Voraussetzungen:


\begin{align}
&(1) &P(G_1) = P(G_2) = P(G_3) = \tfrac{1}{3}  \\
&(4) &P(M_3|G_1) = \tfrac{1}{2}  \\
&(5) &P(M_3|G_2) = 1  \\
&(5) &P(M_3|G_3) = 0
\end{align}

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann:


\begin{align}
P(G_2|M_3) & = \frac{P(M_3|G_2)P(G_2)}{P(M_3|G_1)P(G_1)+P(M_3|G_2)P(G_2)+P(M_3|G_3)P(G_3)}\\
& = \frac{ 1 \cdot \tfrac{1}{3} } { \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{1}{3} + 1 \cdot \tfrac{1}{3} + 0 \cdot \tfrac{1}{3}} = \tfrac{2}{3}.\end{align}

Der Kandidat sollte also wechseln, um seine Gewinnchancen von anfangs 1/3 auf nun 2/3 zu verdoppeln.

Der faule Moderator[Bearbeiten]

Für diese Lösung wird die folgende Zusatzannahme gemacht:

  • Fall A: Der Moderator, der nicht gerne große Wege zurücklegt, öffnet am liebsten Tor 3, weil er dort in der Nähe seinen Standort als Showmaster hat. Wenn also hinter dem vom Kandidaten gewählten Tor 1 das Auto stünde, dann würde er mit Sicherheit Tor 3 öffnen, auf keinen Fall aber Tor 2.[10]

Tabellarische Lösung[Bearbeiten]

Für die folgende Erklärung wird angenommen, dass der Kandidat zu Anfang Tor 1 gewählt hat. Für die Situationen, in denen der Kandidat die Tore 2 bzw. 3 gewählt hat und der Moderator dementsprechend andere Tore öffnet, gilt eine analoge Erklärung. Obwohl es hier ausreichen würde, die drei ersten Spielsituationen zu betrachten, werden sechs Fälle unterschieden, um die Problemstellung vergleichbar mit der obigen tabellarischen Lösung beim ausgeglichenen Moderator modellieren zu können. Jede Spielsituation wird also zweimal betrachtet. Das entspricht einem Zufallsexperiment bei dem die beiden Ziegen voneinander unterschieden werden können, und jede Verteilung von Auto und Ziegen hinter den drei Toren gleich wahrscheinlich ist (Laplace-Experiment).

Kandidat wählt Tor 1 und wechselt, sobald der Moderator ein anderes Tor öffnet
Moderator möchte Tor 3 öffnen Moderator möchte Tor 3 öffnen
1 Thumb down icon.svg Der Moderator öffnet Tor 3 Auto hinter Tor 1
Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege. Bei einem Wechsel verliert der Kandidat.
4 Thumb down icon.svg Der Moderator öffnet Tor 3 Auto hinter Tor 1
Identisch zu Fall 1. Der Moderator hätte ja die Möglichkeit, Tor 2 zu öffnen, vermeidet dies jedoch.
2 Thumb up icon.svg Der Moderator öffnet Tor 3 Auto hinter Tor 2
Der Moderator öffnet Tor 3 mit einer Ziege. Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat
5 Thumb up icon.svg Der Moderator öffnet Tor 3 Auto hinter Tor 2
Identisch zu Fall 2. Der Moderator muss Tor 3 öffnen
3 Thumb up icon.svg Der Moderator öffnet Tor 2 Auto hinter Tor 3
Der Moderator muss Tor 2 mit einer Ziege öffnen. Bei einem Wechsel gewinnt der Kandidat.
6 Thumb up icon.svg Der Moderator öffnet Tor 2 Auto hinter Tor 3
Identisch zu Fall 3. Der Moderator muss Tor 2 öffnen

Zur Auswertung der Tabelle müssen nun die Fälle betrachtet werden, in denen der Moderator das Tor 3 öffnet (das ist die Bedingung). Das sind die Fälle 1, 2, 4 und 5. Man sieht, dass nur in zwei von vier dieser Fälle der Kandidat durch Wechseln gewinnt. Seine Gewinnwahrscheinlichkeit ist demnach hier nur p = 1/2. Es kann ebenso leicht aus der Tabelle abgelesen werden, dass, wenn der Moderator Tor 2 öffnet, der Kandidat sicher gewinnt, wenn er zu Tor 3 wechselt.

Formelle mathematische Lösung[Bearbeiten]

Es liegt die folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tor 1 gewählt, und der Moderator hat daraufhin das Tor 3 geöffnet. Es gelten dann folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:


\begin{align}
&P(G_1) = P(G_2) = P(G_3) = \tfrac{1}{3}   \\
&P(M_3|G_1) = 1  \\
&P(M_3|G_2) = 1  \\
&P(M_3|G_3) = 0  \\
\end{align}

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet:


\begin{align}
P(G_2|M_3) & = \frac{P(M_3|G_2)P(G_2)}{P(M_3|G_1)P(G_1)+P(M_3|G_2)P(G_2)+P(M_3|G_3)P(G_3)}\\
& = \frac{ 1 \cdot \tfrac{1}{3} } { 1 \cdot \tfrac{1}{3} + 1 \cdot \tfrac{1}{3} + 0 \cdot \tfrac{1}{3}} = \tfrac{1}{2}.\end{align}

Für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto tatsächlich hinter Tor 1 befindet, gilt aber ebenfalls


\begin{align}
P(G_1|M_3) & =  \tfrac{1}{2}.\end{align}

Der Gewinn hinter Tor 2 ist genauso wahrscheinlich wie der Gewinn hinter Tor 1. Der Kandidat kann demnach in diesem Fall also ebenso gut bei Tor 1 bleiben wie zu Tor 2 wechseln. Hat der Moderator Tor 3 geöffnet, ist seine Gewinnchance also unabhängig von der Entscheidung 1/2.

Der unausgeglichene Moderator[Bearbeiten]

Bei dieser Lösung wird von der folgenden Zusatzannahme ausgegangen:

  • Fall A: Wenn der Moderator die Möglichkeit hat, aus zwei Toren mit jeweils einer Ziege dahinter ein Tor auszusuchen (der Kandidat hat also das Tor mit dem Auto dahinter ausgewählt), dann öffnet er das Tor mit der höchstmöglichen Nummer mit der Wahrscheinlichkeit q und das Tor mit der niedrigeren Nummer mit der Wahrscheinlichkeit 1-q.

Dann gelten folgende mathematische Beziehungen unter Berücksichtigung der oben definierten Ereignismengen:


\begin{align}
&P(G_1) = P(G_2) = P(G_3) = \tfrac{1}{3}   \\
&P(M_3|G_1) = q \\
&P(M_3|G_2) = 1 \\
&P(M_3|G_3) = 0 \\
\end{align}

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann für die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass sich das Auto hinter Tor 2 befindet:


\begin{align}
P(G_2|M_3) & = \frac{P(M_3|G_2)P(G_2)}{P(M_3|G_1)P(G_1)+P(M_3|G_2)P(G_2)+P(M_3|G_3)P(G_3)}\\
& = \frac{ 1 \cdot \tfrac{1}{3} } { q \cdot \tfrac{1}{3} + 1 \cdot \tfrac{1}{3} + 0 \cdot \tfrac{1}{3}} = \frac{1}{q + 1}.\end{align}

Diese Berechnung beschreibt den allgemeinen Fall, aus dem sich der „ausgeglichene Moderator“ (q = \tfrac{1}{2}) und der „faule Moderator“ (q=1) als Spezialfälle ableiten lassen.[11]

Die allgemeine Lösung[Bearbeiten]

Aus der Betrachtung des unausgeglichenen Moderators lässt sich ableiten, dass unabhängig von seiner jeweiligen Vorliebe für ein bestimmtes Ziegentor die Gewinnwahrscheinlichkeit durch Wechseln nach dem Öffnen eines Ziegentores immer mindestens 1/2, im Durchschnitt sogar 2/3 beträgt. Solange der Moderator gemäß den Spielregeln gezwungen ist, immer ein nichtgewähltes Ziegentor zu öffnen und daraufhin einen Wechsel anzubieten, sollte ein Kandidat also in jedem Fall seine Wahl des Tors ändern.

Das ältere Monty-Hall-Problem[Bearbeiten]

Im Februar 1975 veröffentlichte die akademische Zeitschrift The American Statistician einen Brief von Steve Selvin, damals Assistenzprofessor für Biostatistik an der Universität von Kalifornien in Berkeley, an den Editor. In diesem Brief, überschrieben mit "A Problem in Probability", schlug er eine Textaufgabe als Übung in Wahrscheinlichkeitsrechnung vor.[12] Die von ihm gegebene Lösung ähnelt der Tabelle, wie sie im Abschnitt zu vos Savants Antwort dargestellt ist. Im August desselben Jahres erschien ein weiterer Brief vom selben Autor mit dem Titel "On the Monty Hall Problem", in dem er sich auf seinen ersten Brief bezog und auf Einwände seitens der Leser bezüglich seines Lösungsvorschlags reagierte. Zu diesem Zeitpunkt tauchte also zum ersten Mal der Begriff "Monty Hall Problem" im medialen Raum auf.[13]
In seinem zweiten Brief präsentierte Selvin weitere Argumente zugunsten seiner Lösung, einschließlich einer formalen mathematischen Berechnung mithilfe bedingter Wahrscheinlichkeiten. Er fügte hinzu, dass seine Berechnungen auf bestimmten, nicht expliziten, Annahmen bzgl. des Verhaltens des Moderators Monty Hall beruhten. Des Weiteren zitierte er einen Leser, der darauf hinwies, dass die kritischen Annahmen bzgl. des Moderatorverhaltens notwendig seien, um das Problem überhaupt lösen zu können, und dass die Anfangsverteilung nur ein Teil des Problems darstellte, während es sich hier doch um ein subjektives Entscheidungsproblem handelte.
Es liegt nahe, dieses frühe Monty-Hall-Problem als einen Vorläufer der heute als Ziegenproblem bekannten Fragestellung anzusehen, einschließlich des Disputs über die damals schon umstrittenen zusätzlichen Annahmen bzgl. der Verhaltensregeln des Moderators.

Übersicht über die Fachliteratur zu „dem“ Ziegenproblem[Bearbeiten]

Hinweise zur Literatur[Bearbeiten]

In den Publikationen zum Ziegenproblem (Monty-Hall-Problem) werden teilweise unterschiedliche Fragestellungen untersucht, manchmal sogar verschiedene Modelle in einer Publikation.[14][15] Unter Anderem ist bemerkenswert, dass Autoren wie Gill [15] ihrer Lösung vos Savants Originaltext zugrunde legen und ihre Zusatzannahmen erst im Laufe ihrer Analyse explizit machen. Andere Autoren wie Lucas [14] hingegen verwenden eine Problemformulierung, die dem Moderator von vornherein gewisse Verhaltensregeln vorschreibt.

Die Fragestellung ist qualitativ nicht quantitativ[Bearbeiten]

In Bezug auf die verschiedenen Lösungen, wie sie auch oben wiedergegeben wurden, resümiert Götz „WECHSELN IST NIE SCHLECHTER ALS BLEIBEN!“ (Versalien gemäß Referenz).[16] Auf diesen Sachverhalt hatten bereits 1991 Morgan et al., die „Entdecker“ der auf Zusatzannahmen über das Moderatorverhalten basierenden Lösungen, aufmerksam gemacht.[11] Trotz dieser qualitativen Übereinstimmung und der Tatsache, dass die Problemstellung „Ist es von Vorteil, die Wahl des Tores zu ändern?“ nach einer Aktion und nicht nach einer Wahrscheinlichkeit fragt,[15] sind die Annahmen, die zu unterschiedlichen Wahrscheinlichkeitswerten führen, immer wieder Gegenstand heftiger Diskussionen. So enthält allein die Bibliografie des 2009 erschienenen Buchs The Monty Hall Problem von Rosenhouse über hundert Veröffentlichungen.[17]

Frequentistische Sicht[Bearbeiten]

Nach Georgii basiert die unter anderem von Marilyn vos Savant gegebene Antwort darauf, dass „implizit von der frequentistischen Interpretation der bedingten Wahrscheinlichkeiten ausgegangen [wird], welche die Wiederholbarkeit des Vorgangs und also feste Regeln voraussetzt.“[18] Mit anderen Worten: Wird die Spielshow nach diesen vorher feststehenden Regeln veranstaltet, gewinnt ein Kandidat, der die Wechsel-Strategie verfolgt, mit der doppelten Gewinnchance gegenüber einem Kandidaten, der die Nicht-Wechsel-Strategie verfolgt. Dieser Chancenvorteil gilt selbst dann, wenn der Kandidat nur einmal teilnimmt, und zwar für jedes anfänglich gewählte Tor. Empirisch lässt sich der Vorteil – auch in quantitativer Hinsicht – nachprüfen, wenn eine Versuchsreihe veranstaltet wird, die statistisch ausgewertet wird.

Speziell diese Form einer frequentistischen Lösung wird von den einigen Lehrbuchautoren zugrunde gelegt, zum Teil im Rahmen einer Darstellung von mehreren Lösungsansätzen.[18][6][7] Die Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 für einen Torwechsel bezieht sich auf den Zeitpunkt vor dem Öffnen eines Tores durch den Moderator.

Einfluss des Moderatorverhaltens[Bearbeiten]

Zu den frequentistischen Ansätzen merkt Georgii in seinem Lehrbuch kritisch an, dass es darauf ankomme, „wie der Spieler das Verhalten des Moderators einschätzt“. Daher sei eine subjektive Interpretation angemessener.[18] Die meisten Lehrbuchautoren verzichten allerdings auf die Berücksichtigung einer solchen subjektiven Einschätzung des Moderatorverhaltens. Konkret gehen sie davon aus, dass der Moderator ausgeglichen agiere, das heißt, dass er die Auswahl des Tors gemäß einer Gleichverteilung vornimmt. Dadurch wird dieser Ansatz zur häufigsten in der Fachliteratur vertretenen Erklärung dafür, dass ein Torwechsel mit der Wahrscheinlichkeit von 2/3 zum Gewinn führt.[7][19][20][21][22] Diese Gewinnwahrscheinlichkeit von 2/3 für einen Torwechsel bezieht sich auf den Zeitpunkt nach dem Öffnen eines Tores durch den Moderator.

Untersuchungen, bei denen der Kandidat den Moderator auch dahingehend einschätzt, seine Torauswahl nicht gleichwahrscheinlich auszuwählen, wurden erstmals von 1991 von Morgan et al.[11] und unabhängig davon 1992 von Gillmann[23] veröffentlicht.

Bayessche (bzw. Bayesianische) Sicht[Bearbeiten]

Dass es überhaupt unterschiedliche Ergebnisse für „das“ Ziegenproblem gibt, liegt nach Georgii abgesehen von den unterschiedlich interpretierbaren Regeln der Spielshow daran, ob das Ereignis, auf das sich die Fragestellung bezieht, „Bestandteil einer festen Spielregel ist oder nicht.“ Die philosophische Unsicherheit über die Bedeutung bedingter Wahrscheinlichkeiten komme dabei erschwerend hinzu.[18] In gleicher Hinsicht, aber detaillierter, verweist Götz dazu auf zwei „unterschiedliche Wahrscheinlichkeitsbegriffe, die den jeweiligen Betrachtungsweisen zugrunde liegen.“ Die klassische Lösung sei frequentistisch und empirisch zu überprüfen. Demgegenüber liefere der „Bayesianische Lösung ... eine Bewertungsgrundlage einer Einzelsituation. Wie soll sich die Kandidatin hic et nunc verhalten, nachdem der Spielleiter eine Tür geöffnet hat? ... Man fragt also nach Zustandswahrscheinlichkeiten oder Erkenntniswahrscheinlichkeiten (und nicht nach Wahrscheinlichkeiten zukünftiger Zufallsereignisse).“[16] Mit anderen Worten: Der Kandidat macht nach der Toröffnung durch den Moderator die Bewertung seiner beiden Handlungsoptionen davon abhängig, welches grundsätzliche Verhalten er dem Moderator unterstellt. Dabei wird der Extremfall eines faulen Moderators durch die Antwort auf die folgende Frage charakterisiert: „Hätte der Moderator, nachdem er meine Entscheidung für ein Tor gesehen hat, das von ihm gerade geöffnete Tor auch unter allen anderen Umständen ausgewählt, sofern es ihm nur möglich − kein Auto dahinter – gewesen wäre?“

Bayessche Untersuchungen wurden erstmals von Morgan et al.[11] durchgeführt, und zwar auf Basis ihrer Ergebnisse, bei denen der Moderator das zu öffnende Tor zufällig gemäß dafür angenommener A-Priori-Wahrscheinlichkeiten auswählt.

Vergleich der verschiedenen Lösungen[Bearbeiten]

Nummerierung der Tore[Bearbeiten]

Die im letzten Abschnitt vorgenommene Charakterisierung des Verhaltens eines faulen Moderators zeigt, dass eine diesbezügliche Lösung nicht an eine Nummerierung der Tore gebunden ist (üblicherweise „Kandidat wählt Tor 1. Moderator öffnet Tor 3, wenn immer es möglich ist“).[15]

Empirische Überprüfung einer auf das Moderatorverhalten bezogenen Lösung[Bearbeiten]

Soll beispielsweise die für die Variante eines faulen Moderators gefundene 1/2:1/2-Lösung empirisch geprüft werden, so ist dabei zu berücksichtigen, dass sich die auf dieser Basis hergeleitete Aussage auf ein bedingtes Ereignis bezieht. Bei einer Versuchsreihe von 300 Spielshows, die gemäß der Zusatzannahme fauler Moderator durchgeführt werden, durchlaufen damit ungefähr 100 Shows nicht das Ereignis, das Gegenstand der Untersuchung ist. Konkrete Ursache dafür ist, dass bei einem hinter Tor 3 verborgenen Auto der Moderator gezwungen ist, Tor 2 zu öffnen. Solche Spielverläufe liegen aber außerhalb des Untersuchungsbereichs, so dass die nach einem Torwechsel stets erzielten Gewinne bei der Versuchsreihenauswertung unberücksichtigt bleiben müssen.[11]

Entscheidungssituationen mit unterschiedlichen Gewinnchancen[Bearbeiten]

Simulation von 1000 Runden des Standardproblems mit ausgeglichenem Moderator: bedingte (rot) und unbedingte (blau) Häufigkeiten für einen Gewinn

Die „global“ für alle denkbaren Entscheidungssituationen festgelegte Torwechsel-Strategie bringt insgesamt einen 2/3-zu-1/3-Vorteil. Allerdings können durch einen asymmetrischen Spielverlauf Entscheidungssituationen entstehen, bei denen ein Torwechsel gegenüber dem Durchschnitt aussichtsreicher beziehungsweise weniger aussichtsreich ist. Solche Effekte sind im Hinblick auf eine asymmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung bei der Auslosung des Gewinntors offensichtlich,[24] aber sie können, wie die Ergebnisse für den faulen Moderator zeigen, auch durch ein asymmetrisches Moderatorverhalten verursacht werden. Beim Moderatorverhalten sind allerdings die möglichen Abweichungen für die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Torwechsel vom A-Priori-Wert 2/3 nach unten begrenzt, da der Wert 1/2 nicht unterschritten werden kann, denn „Wechseln ist nie schlechter als Bleiben“ − siehe oben.

Die beiden einen 2/3:1/3-Vorteil prognostizierenden Lösungen[Bearbeiten]

Auch wenn die „klassische“ vos-Savant-Lösung übereinstimmend mit der Lösung für den ausgeglichenen Moderator für einen Torwechsel einen 2/3:1/3-Vorteil vorhersagt, sind ihre Betrachtungswinkel und Argumente doch sehr unterschiedlich: Einmal wird eine A-Priori-Wahrscheinlichkeit für die Situation unmittelbar vor der Entscheidung des Moderators für ein zu öffnendes Tor angegeben. Das andere Mal bezieht sich die Wahrscheinlichkeit auf den Zeitpunkt, wenn der Moderator „sein“ Tor bereits geöffnet hat, wobei allerdings die Zusatzannahme gemacht wird, dass der Moderator seine Auswahl gleichwahrscheinlich getroffen hat. Der Umstand, dass beide Ansätze die gleiche Gewinnwahrscheinlichkeit liefern, folgt aus einer Symmetriebetrachtung, die den A-Posteriori-Wert aus dem A-Priori-Wert herleitet.[15]

Weitere mathematisch untersuchte Varianten[Bearbeiten]

Neben den oben dargestellten Interpretationen „des“ Ziegenproblems gibt es noch weitere Varianten, die in der Fachliteratur untersucht wurden. Generell ist dazu anzumerken, dass bei den Autoren – wie schon im Hinblick auf die oben dargestellten Interpretationen – kein Konsens darüber besteht, welches mathematische Modell „dem“ Ziegenproblem und seiner Fragestellung entspricht. Teilweise dienen die Modelle auch nur dem Zweck eines erläuternden Vergleichs:

Moderator kann auch das Tor mit dem Auto öffnen[Bearbeiten]

Lucus, Rosenhouse, Madison und Schepler analysieren unter anderem auch die Variante, bei der der Moderator sein Tor zufällig unter den beiden verbliebenen Toren wählt und dabei gegebenenfalls auch das Tor mit dem Auto öffnet.[14] Eine kurze Berechnung bestätigt die auch intuitiv naheliegende Vermutung, dass für diese Variante im Fall, dass ein Tor mit Ziege geöffnet wird, die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln 1/2 beträgt.

Moderator kann auch das zuerst gewählte Tor öffnen[Bearbeiten]

Georgii lässt in einer der zwei von ihm untersuchten Varianten auch zu, dass der Moderator das zuerst vom Spieler gewählte Tor mit einer Ziege öffnet. Wenn der Moderator dabei zufällig mit gleicher Wahrscheinlichkeit zwischen den beiden Ziegentüren auswählt, beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Wechsel entsprechend der „Antwort der Kritiker“ auch dann 1/2, wenn er ein nicht gewähltes Ziegentor öffnet.[18]

Spieltheoretischer Ansatz[Bearbeiten]

Die Tatsache, dass das Verhalten des Moderators und die Einschätzung dieses Verhaltens durch den Kandidaten die Gewinnchancen bei einem Torwechsel beeinflussen, wurde von einigen Autoren als Ausgangspunkt spieltheoretischer Untersuchungen des Ziegenproblems genommen. Dabei wird die Zusatzannahme über die Wahrscheinlichkeit des Moderators als gemischte Strategie im Sinne eines Zwei-Personen-Spiels aufgefasst,[15][25] das sogar Nullsummencharakter besitzt. Einbezogen in den sequentiellen Spielablauf wird auch das Verstecken des Autos, das als erster Zug des Moderators gewertet wird. Mit einem einfachen Argument, das für beide Spieler naheliegende, in Bezug auf die Tore symmetrische Strategien verwendet, konnte Gill zeigen, dass der Minimax-Wert 2/3 beträgt.[15]

Die Menge der Minimax-Strategien für beide Spieler wurde von Gnedin bestimmt.[26] Dabei besitzt der Kandidat nur eine einzige Minimax-Strategie, bei der er sein zuerst gewähltes Tor gemäß einer Gleichverteilung auslost und anschließend immer das Tor wechselt. Die Aussage ist insofern bemerkenswert, da sie ohne A-Priori-Annahme über das Verhalten des Moderators auskommt und trotzdem Aussagen für jede einzelne im Spiel auftauchende Entscheidungssituation macht. Ein noch stärkeres Argument für den Kandidaten, nie das initial gewählte Tor beizubehalten, ergibt sich aus Gnedins Dominanz-Analysen für Strategien.

Einfluss von Wikipedia[Bearbeiten]

Im Rahmen ihrer Mitarbeit bei Wikipedia fanden W. Nijdam und Martin Hogbin 2010 einen Fehler in der damals knapp 20 Jahre alten Arbeit von Morgan et al.[15][11][27] Demnach ist, wenn eine nicht-informative A-priori-Verteilung für das Moderatorverhalten zugrunde gelegt wird, die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Torwechsel 2/3 und nicht \operatorname{ln}2\approx0,693, wie Morgan et al. berechnet hatten. Die Bestätigung dieses Sachverhalts nutzten Morgan et al., um erstmals die originale Fragestellung aus Craig F. Whitakers Leserbrief an Marilyn vos Savant zu veröffentlichen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Gero von Randow: Das Ziegenproblem – Denken in Wahrscheinlichkeiten. Rowohlt, Reinbek 1992, ISBN 3-499-19337-X, Neuauflage: Rowohlt, Reinbek 2004, ISBN 3-499-61905-9.
  • Jason Rosenhouse: The Monty Hall Problem. Oxford University Press 2009, ISBN 978-0-19-536789-8.
  • Henk Tijms: Understanding Probability, Chance Rules in Everyday Life. University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-83329-9.
  • Gerd Gigerenzer: Das Einmaleins der Skepsis – Über den richtigen Umgang mit Zahlen und Risiken. Berlin-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-8270-0079-3.
  • Sasha Gnedin: The Mondee Gills Game. The Mathematical Intelligencer, 2011 (Online-Kopie)
  • Hans-Otto Georgii: Stochastik, Einführung in Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik. de Gruyter 2004, 4. Auflage 2009, ISBN 978-3-11-021527-4, S. 56f. (Auszug (Google))
  • Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. Vieweg 1997, 9. Auflage 2011 (Springer), ISBN 978-3-8348-1845-4, S. 51–52, 105-107. (Auszug (Google))
  •  Charles M. Grinstead, J. Laurie Snell: Grinstead and Snell’s Introduction to Probability. 4. Juli 2006 (Online version of Introduction to Probability, 2nd edition, American Mathematical Society, Copyright (C) 2003 Charles M. Grinstead and J. Laurie Snell, pdf, abgerufen am 2. April 2008).

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Ziegenproblem – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Ziegenproblem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Jason Rosenhouse: The Monty Hall Problem. Oxford University Press 2009, ISBN 978-0-19-536789-8, S. IX, 20–26.
  2. Craig F. Whitaker: Ask Marilyn. In: Parade Magazine. 9. September 1990, S. 16.
  3. a b John Tierney: Behind Monty Hall’s Doors: Puzzle, Debate and Answer? In: The New York Times. 21. Juli 1991.
  4. Marc C. Steinbach: Von Autos, Ziegen und Streithähnen. (PDF; 3,6 MB) Kapitel 4.2
  5. Game-Show-Problem – gesammelte Leserbriefe und Antworten innerhalb des Webauftritts von Marilyn vos Savant
  6. a b Jörg Bewersdorff: Glück, Logik und Bluff: Mathematik im Spiel - Methoden, Ergebnisse und Grenzen. Springer Spektrum, 6. Auflage 2012, ISBN 978-3-8348-1923-9, doi:10.1007/978-3-8348-2319-9, S. 34–38.
  7. a b c Erhard Behrends: Fünf Minuten Mathematik, Vieweg, 1. Auflage 2006, ISBN 978-3-8348-0082-4, doi:10.1007/978-3-8348-9013-9, S. 32–39
  8. Peter R. Mueser, Donald Granberg: The Monty Hall Dilemma Revisited: Understanding the Interaction of Problem Definition and Decision Making. In: University of Missouri Working Paper. 1999-06.
  9. Stefan Krauss, X. T. Wang: The Psychology of the Monty Hall Problem: Discovering Psychological Mechanisms for Solving a Tenacious Brain Teaser. In: Journal of Experimental Psychology: General. 132 (1)2003.
  10. a b Jeffrey S. Rosenthal: Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl. (PDF; 70 kB) In: Math Horizons. September 2008, S. 5–7.
  11. a b c d e f J. P. Morgan, N. R. Chaganty, R. C. Dahiya and M. J. Doviak: Let's Make a Deal: The Player’s Dilemma. In: The American Statistician, Band 45, Heft 4, 1991, S. 284-287 (online bei JSTOR)
  12. Steve Selvin 1. LeserbriefThe American Statistician (Februar 1975) (JSTOR)
  13. Steve Selvin 2. Leserbrief Excerpted from The American Statistician (August 1975)
  14. a b c Stephen Lucas, Jason Rosenhouse, James Madison, Andrew Schepler: The Monty Hall Problem, Reconsidered, Mathematics Magazine, Band 82, Heft 5, 2009, S. 332-342 (online bei JSTOR, Preprint), Nachdruck in: Michael Henle, Brian Hopkins (Hrsg.): Martin Gardner in the Twenty-First Century, 2011, ISBN 978-0-88385-913-1, S. 231–242
  15. a b c d e f g h Richard D. Gill: The Monty Hall problem is not a probability puzzle (it’s a challenge in mathematical modelling). Statistica Neerlandica, Band 65, Heft 1, 2011, S. 58–71, doi:10.1111/j.1467-9574.2010.00474.x, Preprint auf arxiv.org
  16. a b Stefan Götz: Ziegen, Auto und Bayes – eine never-ending story. In: Stochastik in der Schule, Band 26, Heft 1, 2006, S. 10–15 (online)
  17. Jason Rosenhouse: The Monty Hall Problem. Oxford University Press, 2009, ISBN 978-0-19-536789-8
  18. a b c d e Hans-Otto Georgii: Stochastik, 4. Auflage, de Gruyter, 2009, ISBN 978-3-11-021526-7, doi:10.1515/9783110215274, S. 56-58, Auszug Google Books
  19. Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2, S. 98, 104–106
  20. Jörg Rothe, Dorothea Baumeister, Claudia Lindner, Irene Rothe: Einführung in Computational Social Choice: Individuelle Strategien und kollektive Entscheidungen beim Spielen, Wählen und Teilen. Spektrum Akademischer Verlag, 2012, ISBN 978-3-8274-2570-6, doi:10.1007/978-3-8274-2571-3, S. 65–69
  21. Rick Durett: Elementary Probability for Applications. 2009, ISBN 978-0-521-86756-6, S. 84−85
  22. Charles M. Grinstead, J. Laurie Snell: Introduction to probability, 2nd edition, American Mathematical Society, 2003 (online), S. 136–139.
  23. Leonard Gillman: The Car and the Goats. The American Mathematical Monthly, Band 99 , Heft 1, 1992, S. 3-7 (online bei JSTOR)
  24. Jason Rosenhouse: The Monty Hall Problem. Oxford University Press, 2009, ISBN 978-0-19-536789-8, S. 78–80
  25. Richard D. Gill: Monty Hall problem: solution. In: International Encylopedia of Statistical Science, S. 858–863, Springer, 2011, ISBN 978-3-642-04897-5, doi:10.1007/978-3-642-04898-2, Preprint auf arxiv.org
  26. Sasha Gnedin: The Mondee Gills Game. The Mathematical Intelligencer, Band 34, Heft 1, S. 34-41, doi:10.1007/s00283-011-9253-0
  27. Morgan, J. P., Chaganty, N. R., Dahiya, R. C., and Doviak, M. J. (1991), “Let’s Make a Deal: The Player’s Dilemma,” The American Statistician, 45 (4), 284–287: Comment by Hogbin and Nijdam and Response, The American Statistician, Band 64, Heft 2, 2010, S. 193-194, doi:10.1198/tast.2010.09227