Zonotop

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Ein Zonotop bezeichnet in der Geometrie die Minkowski-Summe von Liniensegmenten (der Generatoren des Zonotops). Es ist also Z := [-1, 1]v_1 + ... + [-1, 1]v_k ein Zonotop im d-dimensionalen Raum, falls v_1, ..., v_k d-dimensionale Vektoren sind.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Ein Zonotop ist immer ein konvexes Polytop, und nach der hier gewählten Definition ist der Ursprung das Zentrum des Zonotops. Jedes Zonotop ist punktsymmetrisch zu seinem Zentrum. Jede Facette eines Zonotops ist wiederum ein Zonotop. Das obige Zonotop ist eine Projektion des k-dimensionalen Einheitswürfels in den d-dimensionalen Raum, also in Matrixnotation Z := PQ, wobei P := \begin{bmatrix}v_1 ...\, v_k\end{bmatrix} die Matrix mit den Generatoren als Spalten eine Projektion darstellt und Q := \begin{pmatrix}[-1,1]\\ \vdots \\ \begin{bmatrix}-1, 1\end{bmatrix}\end{pmatrix} der Einheitswürfel ist.

Zonoeder[Bearbeiten]

Ein Zonotop im 3-dimensionalen Raum wird als Zonoeder bezeichnet. Dabei wird meist vorausgesetzt, dass sich der Zonoeder nicht auf eine Ebene beschränkt, die Generatoren also nicht koplanar sind.

Konstruktion eines Zonoeders[Bearbeiten]

Ecken, Kanten und Facetten eines Zonoeders können aus den Generatoren konstruiert und dann zum Beispiel graphisch dargestellt werden. Dabei ist die induktive Konstruktion besonders anschaulich: Zu einem bereits konstruierten Zonotop wird ein neues Liniensegment hinzuaddiert. Zum Beispiel soll zum bereits konstruierten 3-dimensionalen Einheitswürfel Q das Segment [-1, 1]v mit v := (1\,\, 1\,\, 1)^T hinzuaddiert werden. Dazu wird der Würfel entlang den Kanten aufgeschnitten, die das Segment tangieren. Danach werden die Hälften jeweils um den Vektor v und -v verschoben, und die entstandene Lücke durch die neue Zone geschlossen.

Beispiel[Bearbeiten]

Der Zonoeder mit den Generatoren 
\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},
\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}
stellt den Oktaederstumpf Uniform polyhedron-33-t012.png dar.

Referenzen[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]