Zufallsbewegung
Zufallsbewegungen bzw. Irrfahrten (englisch random walk) bilden eine wichtige Klasse stochastischer Prozesse. Sie dienen der Modellierung nichtdeterministischer Zeitreihen und der Herleitung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
[Bearbeiten] Eindimensionaler Fall
Der eindimensionale Random Walk dient als verallgemeinerungsfähiges Einführungsbeispiel, hat aber auch eigenständige Anwendungen.
Der eindimensionale Random Walk ist ein Bernoulli-Prozess, das heißt eine Folge von unabhängigen Bernoulli-Versuchen; er führt zu einer Binomialverteilung.
Eine beliebte Veranschaulichung lautet wie folgt: Ein desorientierter Fußgänger läuft in einer Gasse mit einer Wahrscheinlichkeit p einen Schritt nach vorne, mit einer Wahrscheinlichkeit
einen Schritt zurück. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er sich genau im n-ten Schritt an der Stelle X befindet? Antwort: Der Fußgänger hat insgesamt
Schritte gemacht, davon
Schritte nach vorne und
Schritte zurück. Seine Position nach
Schritten ist also
und die Wahrscheinlichkeit dafür lautet
.
Die Abbildung oben zeigt fünf Simulationen für n=300 Schritte mit einer Schrittlänge im Intervall [-0,5;0,5] Einheiten. Unter der Annahme einer Gleichverteilung beträgt die Standardabweichung für jeden Schritt
. Die Standardabweichung eines derartigen Irrgangs mit n Schritten beträgt dann
Einheiten. Sie ist als rote Linie für positive und negative Entfernungen eingezeichnet. Um diese Strecke wird sich der Fußgänger im Mittel fortbewegen. Die relative Abweichung
geht gegen Null, die absolute Abweichung
wächst hingegen unbeschränkt.
Oft interessiert man sich speziell für den ungerichteten Random Walk mit p=q=1/2. Dann ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der zurückgelegten Strecke symmetrisch um X=0, und auch der Erwartungswert ist E(X)=0. Das Vorankommen des Fußgängers kann man dann nur durch den mittleren quadratischen Abstand vom Ausgangspunkt, also durch die Varianz der Binomialverteilung beschreiben: E(X2) = n. Das ist ein nichttriviales Ergebnis, mit dem eine charakteristische Eigenschaft von Diffusionsprozessen und Brownscher Molekularbewegung wiedergefunden wird: das mittlere Quadrat des Abstands eines diffundierenden Teilchens von seinem Ausgangsort wächst proportional zur Zeit.
[Bearbeiten] Literatur
- Barry D. Hughes: Random Walks and Random Environments: Volume 1: Random Walks. Oxford University Press, USA 1995. ISBN 0-19-853788-3.
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