Zufallsmatrix

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In Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik (mit Hauptanwendungen in der theoretischen Physik) ist eine Zufallsmatrix eine matrixwertige Zufallsvariable (englisch: Random Matrix).

Viele wichtige Eigenschaften physikalischer Systeme können mathematisch mit Matrizen formuliert werden und Zufallsmatrizen tauchen so in Problemen der statistischen Mechanik auf. Beispielsweise kann die Wärmeleitfähigkeit eines kristallinen Festkörpers direkt aus der sogenannten dynamischen Matrix der Teilchen-Teilchen-Wechselwirkung des Kristallgitters berechnet werden.

Zur Motivierung: Ungeordnete Systeme[Bearbeiten]

Im Fall eines ungeordneten physikalischen Systems (z. B. bei sog. amorphem Material) sind die betreffenden Matrix-Elemente Zufallsgrößen. Die Physik dieser Systeme kann im Wesentlichen durch die Kenngrößen der jeweiligen Matrizen erfasst werden, z. B. durch Mittelwert und Schwankung der jeweiligen Größe. Von speziellem Interesse sind die Eigenvektoren und die Eigenwerte der Zufallsmatrizen.

Spektraltheorie der Zufallsmatrizen[Bearbeiten]

Mathematiker und Physiker haben viele bemerkenswerte theoretische Zusammenhänge und empirische Nachweise zur Theorie der Zufallsmatrizen erarbeitet. Eines der wichtigsten Ergebnisse ist das sog. Wigner'sche Gesetz (siehe Eugen Wigner): Es besagt, dass das Spektralmaß der Eigenwerte einer symmetrischen Zufallsmatrix, in der Physik bekannt als die sog. Zustandsdichte, einer charakteristischen Halbkreis-Verteilung genügt. Dabei geht es um N × N-Matrizen mit Gauß-verteilten Elementen im Limes N\to\infty. Das Wigner'sche Gesetz gilt nicht nur für symmetrische Matrizen (sog. orthogonales Ensemble) sondern mit leichten Modifikationen auch für unitäre oder symplektische Matrizen (sog. unitäres bzw. symplektisches Ensemble)[1]. Z. B. wurde der letztgenannte Fall bei aktuellen Simulationen zur Gittereichtheorie der Quantenchromodynamik festgestellt.[2]

Anwendungen[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten]

  1. Eine symplektische Matrix ist eine 2nx2n-Matrix M, die in der Form M=\begin{pmatrix}A & B \\ C & D \end{pmatrix} geschrieben werden kann, wobei ATD-CTB=E (gleich nxn-Einheitsmatrix) und ATC-CTA=0 sowie DTB-BTD=0 gilt. Solche Matrizen sind u.a. in der Hamilton'schen Mechanik, der Quantenmechanik und der relativistischen Quantenmechanik wichtig (u.a. bei Spin-Bahn-Kopplungsprozessen).
  2. T. Kanazawa, T. Wettig, Y. Yamamoto; Chiral random matrix theory for two-color QCD, Phys. Rev. D 81 (2010) 081701(R), http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0912/0912.4999v2.pdf .
  3. Rychkov VS, Borlenghi S, Jaffres H, Fert A, Waintal X: Spin torque and waviness in magnetic multilayers: a bridge between Valet-Fert theory and quantum approaches. In: Phys. Rev. Lett.. 103, Nr. 6, August 2009, S. 066602. doi:10.1103/PhysRevLett.103.066602. PMID 19792592.
  4. Callaway DJE: Random matrices, fractional statistics, and the quantum Hall effect. In: Phys. Rev., B Condens. Matter. 43, Nr. 10, April 1991, S. 8641–8643. doi:10.1103/PhysRevB.43.8641. PMID 9996505.
  5. Janssen M, Pracz K: Correlated random band matrices: localization-delocalization transitions. In: Phys Rev E Stat Phys Plasmas Fluids Relat Interdiscip Topics. 61, Nr. 6 Pt A, Juni 2000, S. 6278–86. doi:10.1103/PhysRevE.61.6278. PMID 11088301.
  6. Zumbühl DM, Miller JB, Marcus CM, Campman K, Gossard AC: Spin-orbit coupling, antilocalization, and parallel magnetic fields in quantum dots. In: Phys. Rev. Lett.. 89, Nr. 27, Dezember 2002, S. 276803. doi:10.1103/PhysRevLett.89.276803. PMID 12513231.
  7. Bahcall SR: Random Matrix Model for Superconductors in a Magnetic Field. In: Phys. Rev. Lett.. 77, Nr. 26, Dezember 1996, S. 5276–5279. doi:10.1103/PhysRevLett.77.5276. PMID 10062760.
  8. Antonia M. Tulino, Sergio Verdú Random Matrix Theory and Wireless Communications. Now, 2004.
  9. Sánchez D, Büttiker M: Magnetic-field asymmetry of nonlinear mesoscopic transport. In: Phys. Rev. Lett.. 93, Nr. 10, September 2004, S. 106802. doi:10.1103/PhysRevLett.93.106802. PMID 15447435.
  10. Franchini F, Kravtsov VE: Horizon in random matrix theory, the Hawking radiation, and flow of cold atoms. In: Phys. Rev. Lett.. 103, Nr. 16, Oktober 2009, S. 166401. doi:10.1103/PhysRevLett.103.166401. PMID 19905710.