Zufallsvariable

In der Stochastik ist eine Zufallsvariable oder Zufallsgröße (selten stochastische Variable oder stochastische Größe) eine Variable, deren Wert vom Zufall abhängig ist. Eine Zufallsvariable lässt sich formal als Funktion beschreiben, die den Ergebnissen eines Zufallsexperiments Werte (so genannte Realisierungen) zuordnet.

Zufallsvariable $X = X(\omega)$ sind funktional abhängig von einer den Zufall repräsentierenden Größe $\omega$. Zum Beispiel kann $\omega$ das zufällige Ergebnis eines Münzwurfs sein. Dann kann zum Beispiel eine Wette auf den Ausgang eines Münzwurfs mithilfe einer Zufallsvariablen modelliert werden. Angenommen, es wurde auf Zahl gewettet, und wenn richtig gewettet wurde, wird 1 EUR ausgezahlt, sonst nichts. Sei $X$ die Auszahlungssumme. Da der Wert von $X$ vom Zufall abhängt, ist $X$ eine Zufallsvariable. Sie bildet die Menge der Wurfergebnisse $\{\text{Kopf}, \text{Zahl}\}$ auf die Menge der möglichen Auszahlungsbeträge $\{0, 1\}$ ab:

$X(\omega) = \begin{cases} 0, & \text{wenn }\omega = \text{Kopf},\\ 1, & \text{wenn }\omega = \text{Zahl}. \end{cases}$

Wettet man bei zwei Münzwürfen beide Male auf Kopf und bezeichnet die Kombination der Ausgänge der Münzwürfe mit $\omega=\left(\omega_1,\omega_2\right)$, so lassen sich beispielsweise folgende Zufallsvariablen untersuchen:

1. $X_1(\omega) := X(\omega_1) \in\{0,1\}$ als Auszahlung nach der ersten Wette,
2. $X_2(\omega) := X(\omega_2) \in\{0,1\}$ als Auszahlung nach der zweiten Wette,
3. $S(\omega) := X(\omega_1) + X(\omega_2) \in\{0,1,2\}$ als Summe der beiden Auszahlungen.

Zufallsvariable selbst werden üblicherweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet (hier $X_1, X_2, S$), während man für die Realisierungen die entsprechenden Kleinbuchstaben verwendet (so beispielsweise für $\omega=\left(\text{Zahl},\text{Kopf}\right)$ die Realisierungen $x_1 = 1$, $x_2=0$, $s=1$).

Im Beispiel hat die Menge $\Omega = \{\text{Kopf}, \text{Zahl}\}$ eine konkrete Interpretation. In der weiteren Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es oft zweckmäßig, die Elemente von $\Omega$ als abstrakte Repräsentanten des Zufalls zu betrachten, ohne ihnen eine konkrete Bedeutung zuzuweisen, und dann sämtliche zu modellierende Zufallsvorgänge als Zufallsvariable zu erfassen.

Während früher der von A. N. Kolmogorow eingeführte Begriff Zufallsgröße der übliche deutsche Begriff war, hat sich heute (ausgehend vom englischen random variable) der etwas irreführende Begriff Zufallsvariable durchgesetzt.

Definition

Als Zufallsvariable bezeichnet man eine messbare Funktion von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Messraum.

Eine formale mathematische Definition lässt sich wie folgt geben:

Es seien $(\Omega,\Sigma,P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $(\Omega',\Sigma')$ ein Messraum. Eine $(\Sigma,\Sigma')$-messbare Funktion $X\colon\Omega\to\Omega'$ heißt dann eine $\Omega'$-Zufallsvariable auf $\Omega$.

Beispiel: Zweimaliger Würfelwurf

Summe von zwei Würfeln: $(\Omega,\Sigma,P) \xrightarrow{S} (\Omega',\Sigma', P^S)$.

Das Experiment, mit einem fairen Würfel zweimal zu würfeln, lässt sich mit folgendem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \Sigma, P)$ modellieren:

• $\Omega$ ist die Menge der 36 möglichen Ergebnisse $\Omega=\{(1,1), (1,2), \dotsc, (6,5), (6,6)\}$
• $\Sigma$ ist die Potenzmenge von $\Omega$
• Will man zwei unabhängige Würfe mit einem fairen Würfel modellieren, so setzt man alle 36 Ergebnisse gleich wahrscheinlich, wählt also das Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ als $P\left(\{(n_1,n_2)\}\right) = \tfrac {1}{36}$ für $n_1, n_2 \in \{1,2,3,4,5,6\}$.

Die Zufallsvariablen $X_1$, $X_2$ und $S$ werden als folgende Funktionen definiert:

1. $X_1\colon \Omega \to \R;\quad\left(n_1,n_2\right) \mapsto n_1,$
2. $X_2\colon \Omega \to \R;\quad\left(n_1,n_2\right) \mapsto n_2,$ und
3. $S\colon \Omega \to \R;\quad\left(n_1,n_2\right) \mapsto n_1+n_2,$

wobei für $\Sigma'$ die borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen gewählt wird.

Bemerkungen

In der Regel wird auf die konkrete Angabe der zugehörigen Räume verzichtet; es wird angenommen, dass aus dem Kontext klar ist, welcher Wahrscheinlichkeitsraum auf $\Omega$ und welcher Messraum auf $\Omega'$ gemeint ist.

Bei einer endlichen Ergebnismenge $\Omega$ wird $\Sigma$ meistens als die Potenzmenge von $\Omega$ gewählt. Die Forderung, dass die verwendete Funktion messbar ist, ist dann immer erfüllt. Messbarkeit wird erst wirklich bedeutsam, wenn die Ergebnismenge $\Omega$ überabzählbar viele Elemente enthält.

Einige Klassen von Zufallsvariablen mit bestimmten Wahrscheinlichkeits- und Messräumen werden besonders häufig verwendet. Diese werden teilweise mit Hilfe alternativer Definitionen eingeführt, die keine Kenntnisse der Maßtheorie voraussetzen:

Reelle Zufallsvariable

Bei reellen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge $\R$ der reellen Zahlen versehen mit der borelschen $\sigma$-Algebra. Die allgemeine Definition von Zufallsvariablen lässt sich in diesem Fall zur folgenden Definition vereinfachen:

Eine reelle Zufallsvariable ist eine Funktion $X\colon\Omega\to\R$, die jedem Ergebnis $\omega$ einer Ergebnismenge $\Omega$ eine reelle Zahl $X(\omega)$ zuordnet und die folgende Messbarkeitsbedingung erfüllt:

$\forall x \in \R:\ \lbrace \omega \mid X(\omega) \leq x \rbrace \in \Sigma$

Das bedeutet, dass die Menge aller Ergebnisse, deren Realisierung unterhalb eines bestimmten Wertes liegt, ein Ereignis bilden muss.

Im Beispiel des zweimaligen Würfelns sind $X_1$, $X_2$ und $S$ jeweils reelle Zufallsvariable.

Mehrdimensionale Zufallsvariable

Eine mehrdimensionale Zufallsvariable ist eine messbare Abbildung $X\colon\Omega\to\R^n$ für eine Dimension $n\in\Bbb N$. Sie wird auch als Zufallsvektor bezeichnet. Damit ist $X=(X_1,\dotsc,X_n)$ gleichzeitig ein Vektor von einzelnen reellen Zufallsvariablen $X_i\colon\Omega\to\R$, die alle auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. Die Verteilung von $X$ wird als multivariat bezeichnet, die Verteilungen der Komponenten $X_i$ nennt man auch Randverteilungen. Die mehrdimensionalen Entsprechungen von Erwartungswert und Varianz sind der Erwartungswertvektor und die Kovarianzmatrix.

Im Beispiel des zweimaligen Würfelns ist $X=(X_1,X_2)$ eine zweidimensionale Zufallsvariable.

Komplexe Zufallsvariable

Bei komplexen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge $\Bbb C$ der komplexen Zahlen versehen mit der durch die kanonische Vektorraumisomorphie zwischen $\Bbb C$ und $\R^2$ „geerbten“ borelschen σ-Algebra. $X$ ist genau dann eine Zufallsvariable, wenn Realteil $\operatorname{Re}(X)$ und Imaginärteil $\operatorname{Im}(X)$ jeweils reelle Zufallsvariable sind.

Die Verteilung von Zufallsvariablen, Existenz

Eng verknüpft mit dem eher technischen Begriff einer Zufallsvariablen ist der Begriff der auf dem Bildraum von $X\;$ induzierten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Mitunter werden beide Begriffe auch synonym verwendet. Formal wird die Verteilung $\;P^X$ einer Zufallsvariablen $X\;$ als das Bildmaß des Wahrscheinlichkeitsmaßes $P\;$ definiert, also

$\;P^X (A) = P \left(X^{-1}(A)\right)$ für alle $A \in \Sigma'$.

Statt $\;P^X$ werden in der Literatur für die Verteilung von $X\;$ auch die Schreibweisen $P_X, X(P)\;$ oder $P \circ X^{-1}$ verwendet.

Spricht man also beispielsweise von einer normalverteilten Zufallsvariablen, so ist damit eine Zufallsvariable mit Werten in den reellen Zahlen gemeint, deren Verteilung einer Normalverteilung entspricht.

Eigenschaften, welche sich allein über gemeinsame Verteilungen von Zufallsvariablen ausdrücken lassen, werden auch wahrscheinlichkeitstheoretisch genannt. Für Behandlung solcher Eigenschaften ist es nicht notwendig, die konkrete Gestalt des (Hintergrund-)Wahrscheinlichkeitsraumes zu kennen, auf dem die Zufallsvariablen definiert sind.

Häufig wird deswegen von einer Zufallsvariablen lediglich die Verteilungsfunktion angegeben und der zu Grunde liegende Wahrscheinlichkeitsraum offen gelassen. Dies ist vom Standpunkt der Mathematik erlaubt, sofern es tatsächlich einen Wahrscheinlichkeitsraum gibt, der eine Zufallsvariable mit der gegebenen Verteilung erzeugen kann. Ein solcher Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\Sigma,P)$ lässt sich aber zu einer konkreten Verteilung leicht angeben, indem beispielsweise $\Omega=\R$, $\Sigma$ als die Borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen und $P$ als das durch die Verteilungsfunktion induzierte Lebesgue-Stieltjes-Maß gewählt wird. Als Zufallsvariable kann dann die identische Abbildung $X \colon \R \to \R$ mit $X(\omega) = \omega$ gewählt werden.

Wenn eine Schar von Zufallsvariablen betrachtet wird, reicht es aus wahrscheinlichkeitstheoretischer Perspektive genauso, die gemeinsame Verteilung der Zufallsvariablen anzugeben, die Gestalt des Wahrscheinlichkeitsraums kann wiederum offen gelassen werden.

Die Frage nach der konkreten Gestalt des Wahrscheinlichkeitsraumes tritt also in den Hintergrund, es ist jedoch von Interesse, ob zu einer Schar von Zufallsvariablen mit vorgegebenen endlichdimensionalen gemeinsamen Verteilungen ein Wahrscheinlichkeitsraum existiert, auf dem sie sich gemeinsam definieren lassen. Diese Frage wird für unabhängige Zufallsvariablen durch einen Existenzsatz von É. Borel gelöst, der besagt, dass man im Prinzip auf den von Einheitsintervall und Lebesgue-Maß gebildeten Wahrscheinlichkeitsraum zurückgreifen kann. Ein möglicher Beweis nutzt, dass sich die binären Nachkommastellen der reellen Zahlen in [0,1] als ineinander verschachtelte Bernoulli-Folgen betrachten lassen (ähnlich Hilberts Hotel).

Mathematische Attribute für Zufallsvariable

Verschiedene mathematische Attribute, die in der Regel denen für allgemeine Funktionen entlehnt sind, finden bei Zufallsvariablen Anwendung. Die häufigsten werden in der folgenden Zusammenstellung kurz erklärt:

diskret

Eine Zufallsvariable wird als diskret bezeichnet, wenn sie nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte annimmt. Im obigen Beispiel des zweimaligen Würfelns sind alle drei Zufallsvariablen $X_1$, $X_2$ und $S$ diskret.

konstant

Eine Zufallsvariable wird als konstant bezeichnet, wenn sie nur einen Wert annimmt: $X(\omega)=c$ für alle $\omega$. Sie ist ein Spezialfall der diskreten Zufallsvariable.

unabhängig

Zwei reelle Zufallsvariablen $X,Y$ heißen unabhängig, wenn für je zwei Intervalle $[a_1,b_1]$ und $[a_2,b_2]$ die Ereignisse $E_X := \{ \omega | X(\omega) \in [a_1,b_1] \}$ und $E_Y := \{ \omega | Y(\omega) \in [a_2,b_2] \}$ stochastisch unabhängig sind. Das sind sie, wenn gilt: $P(E_X \cap E_Y ) = P(E_X) P(E_Y)$.

In obigem Beispiel sind $X_1$ und $X_2$ unabhängig voneinander; die Zufallsvariablen $X_1$ und $S$ hingegen nicht.

Unabhängigkeit mehrerer Zufallsvariablen $X_1, X_2, \dotsc, X_n$ bedeutet, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß $P_X$ des Zufallsvektors $X=\left(X_1, X_2, \dotsc, X_n\right)$ dem Produktmaß der Wahrscheinlichkeitsmaße der Komponenten, also dem Produktmaß von $P_{X_1}, P_{X_2}, \dotsc, P_{X_n}$ entspricht. So lässt sich beispielsweise dreimaliges unabhängiges Würfeln durch den Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\Sigma,P)$ mit

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}^3$,

$\Sigma$ der Potenzmenge von $\Omega$ und

$P\left(\left(n_1, n_2, n_3\right)\right)=\frac{1}{6^3}=\frac{1}{216}$

modellieren; die Zufallsvariable "Ergebnis des $k$-ten Wurfes" ist dann

$X_k\left(n_1, n_2, n_3\right)=n_k$ für $k\in\{1,2,3\}$.

Die Konstruktion eines entsprechenden Wahrscheinlichkeitsraums für eine beliebige Familie unabhängiger Zufallsvariable mit gegebenen Verteilungen ist ebenfalls möglich.

identisch verteilt

Zwei oder mehr Zufallsvariablen heißen identisch verteilt (bzw. i.d. für identically distributed), wenn ihre Verteilungen gleich sind. In Beispiel des zweimaligen Würfelns sind $X_1$, $X_2$ identisch verteilt; die Zufallsvariablen $X_1$ und $S$ hingegen nicht.

unabhängig und identisch verteilt

Häufig werden Folgen von Zufallsvariablen untersucht, die sowohl unabhängig als auch identisch verteilt sind; dieser Fall wird üblicherweise mit u.i.v. bzw. i.i.d. (für independent and identically distributed) bezeichnet.

In obigem Beispiel des dreimaligen Würfelns sind $X_1$, $X_2$ und $X_3$ i.i.d. verteilt. $S_{1,2}=X_1+X_2$ (die Summe der ersten beiden Würfe) und $S_{2,3}=X_2+X_3$ (die Summe des zweiten und dritten Wurfs) sind zwar identisch verteilt, aber nicht unabhängig. $S_{1,2}$ und $X_3$ sind unabhängig, aber nicht identisch verteilt.

Mathematische Attribute für reelle Zufallsvariable

Kenngrößen

Zur Charakterisierung von Zufallsvariablen dienen einige wenige Funktionen, die wesentliche mathematische Eigenschaften der jeweiligen Zufallsvariable beschreiben. Die wichtigste dieser Funktionen ist die Verteilungsfunktion, die Auskunft darüber gibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert bis zu einer vorgegebenen Schranke annimmt, beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine Vier zu würfeln. Bei stetigen Zufallsvariablen wird diese durch die Wahrscheinlichkeitsdichte ergänzt, mit der die Wahrscheinlichkeit berechnet werden kann, dass die Werte einer Zufallsvariablen innerhalb eines bestimmten Intervalls liegen. Des Weiteren sind Kennzahlen wie der Erwartungswert, die Varianz oder höhere mathematische Momente von Interesse.

stetig oder kontinuierlich

Das Attribut stetig wird für unterschiedliche Eigenschaften verwendet.

• Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig (oder auch absolut stetig) bezeichnet, wenn sie eine Dichte besitzt (ihre Verteilung absolutstetig bezüglich des Lebesgue-Maßes ist).
• Eine reelle Zufallsvariable wird als stetig bezeichnet, wenn sie eine stetige Verteilungsfunktion besitzt. Insbesondere bedeutet das, dass $P(\{X=x\})=0$ für alle $x\in\R$ gilt.

Messbarkeit, Verteilungsfunktion und Erwartungswert

Wenn eine reelle Zufallsvariable $X$ auf dem Ergebnisraum $\Omega$ und eine messbare Funktion $g\colon \R \to \R$ gegeben ist, dann ist auch $Y = g(X)$ eine Zufallsvariable auf demselben Ergebnisraum, da die Verknüpfung messbarer Funktionen wieder messbar ist. $g(X)$ wird auch als Transformation der Zufallsvariablen $X$ unter $g$ bezeichnet. Die gleiche Methode, mit der man von einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \Sigma, P)$ nach $(\R, \mathcal{B}(\R),P^X)$ gelangt, kann benutzt werden, um die Verteilung von $Y$ zu erhalten.

Die Verteilungsfunktion von $Y$ lautet

$F_Y(y) = \operatorname{P}(g(X) \leq y)$.

Der Erwartungswert einer quasi-integrierbaren Zufallsgröße $X$ von $(\Omega, \Sigma, P)$ nach $(\bar{\R}, \mathcal{B}(\bar{\R}))$ berechnet sich folgend:

$\operatorname{E}(X) = \int_\Omega X(\omega)\mathrm{d}P(\omega)\,$.

integrierbar und quasi-integrierbar

Eine Zufallsvariable heißt integrierbar, wenn der Erwartungswert der Zufallsvariable existiert und endlich ist. Die Zufallsvariable heißt quasi-integrierbar, wenn der Erwartungswert existiert, möglicherweise aber unendlich ist. Jede integrierbare Zufallsvariable ist folglich auch quasi-integrierbar.

Beispiel

Es sei $X$ eine reelle stetig verteilte Zufallsvariable und $Y = X^2$.

Dann ist

$F_Y(y) = \operatorname{P}(X^2 \leq y).$

Fallunterscheidung nach $y$:

$y<0:$

$\begin{alignat}{2} & & \operatorname P(X^2 \leq y) &= 0\\ &\Rightarrow & F_Y(y) &= 0 \end{alignat}$

$y\geq 0:$

$\begin{alignat}{2} & & \operatorname P\left(X^2\leq y\right) &=\operatorname P\left(|X|\leq\sqrt y\right)\\ & & &= \operatorname P\left(-\sqrt y\leq X\leq\sqrt y\right)\\ &\Rightarrow & F_Y\left(y\right) &= F_X\left(\sqrt y\right) - F_X\left(-\sqrt y\right) \end{alignat}$

Standardisiertheit

Eine Zufallsvariable nennt man standardisiert, wenn ihr Erwartungswert 0 und ihre Varianz 1 ist. Die Transformation einer Zufallsvariable $Y$ in eine standardisierte Zufallsvariable

$X=\frac{Y-\operatorname{E}(Y)}{\sqrt{\operatorname{Var}(Y)}}$

bezeichnet man als Standardisierung der Zufallsvariable $Y$.

Sonstiges

• Zeitlich zusammenhängende Zufallsvariablen können auch als stochastischer Prozess aufgefasst werden
• Eine Folge von Realisierungen einer Zufallsvariable nennt man auch Zufallssequenz

Literatur

• Karl Hinderer: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1980, ISBN 3-540-07309-4.
• Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9.
• Michel Loève: Probability Theory I. Springer, 4. Auflage, 1977, ISBN 0-387-90210-4.

Weblinks

 Wikibooks: Zufallsvariablen – Lern- und Lehrmaterialien

 Wikibooks: Funktionen von Zufallsvariablen – Lern- und Lehrmaterialien

• Statistik III – Skript zur Vorlesung von Leonhard Held, Ludwig-Maximilians-Universität München, 2006 (PDF-Datei; 741 kB)