Zusammenziehbarer Raum

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Ein kontrahierbarer oder zusammenziehbarer Raum wird im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtet. Aus Sicht der Homotopietheorie werden zusammenziehbare Räume als trivial betrachtet. Viele in der Algebraischen Topologie definierte Invarianten verschwinden für zusammenziehbare Räume.

Definition[Bearbeiten]

Ein topologischer Raum X heißt kontrahierbar oder zusammenziehbar, wenn er homotopieäquivalent zu einem einpunktigen Raum ist, das heißt wenn es eine stetige Abbildung

H\colon X\times[0,1]\to X

und einen festen Punkt p\in X gibt, sodass

  • H(x,0) = x für alle x\in X und
  • H(x,1) = p für alle x\in X

gilt.[1]

Beispiel[Bearbeiten]

  • Der euklidische Raum \mathbb R^n ist zusammenziehbar: Setze
H(x,t)=(1-t)x für x\in\mathbb R^n und 0\leq t\leq1.
Man beachte, dass der Raum nicht im anschaulichen Sinne "stetig zu einem Punkt deformiert wird": Das Bild der Abbildung
\mathbb R^n\to\mathbb R^n,\quad x\mapsto H(x,t)
ist für t<1 stets der gesamte Raum, erst für t=1 ist das Bild nur noch der Ursprung.

Schwach zusammenziehbare Räume[Bearbeiten]

Ein topologischer Raum X heißt schwach kontrahierbar oder schwach zusammenziehbar, wenn für alle x\in X die Homotopiegruppen \pi_n(X,x) trivial sind, d.h.

\pi_0(X,x)=\mathbb Z und \pi_n(X,x)=0 für alle n\ge 1.

Wenn ein Raum X zusammenziehbar ist, dann ist er auch schwach zusammenziehbar.

Für CW-Komplexe gilt auch die Umkehrung: Aus \pi_0(X,x)=\mathbb Z und \pi_n(X,x)=0 für alle n\ge 0 folgt, dass der CW-Komplex X zusammenziehbar ist. Für beliebige topologische Räume gilt die Umkehrung i.A. nicht.

Gegenbeispiele[Bearbeiten]

  • Die Einheitssphäre \mathbb S^n (oder allgemeiner: eine entsprechende Sphäre mit festem Radius) ist nicht zusammenziehbar, obwohl sie für n\geqslant 2 einfach zusammenhängend ist.
  • Der Raum, den man als Vereinigung von
 \left\{  \left( x, \sin \frac{1}{x}  \right ) :  x \in (0,1] \right\} \cup \{(0,0)\}
mit einem (0,-1) und (1,sin(1)) verbindenden Kreisbogen erhält, ist nicht zusammenziehbar, obwohl alle seine Homotopiegruppen trivial sind.
Dies zeigt, dass der Satz von Whitehead für topologische Räume, die kein CW-Komplex sind, im Allgemeinen nicht gelten muss.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Edwin H. Spanier: Algebraic Topology. 1. corrected Springer edition, Reprint. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-90646-0, S. 25.