Zustandsdichte

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Die Zustandsdichte D(E) bzw. D(\omega) (engl. density of states, abgekürzt DOS) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände pro Energieintervall [E, E+\mathrm{d}E] bzw. pro Frequenzintervall [\omega, \omega+\mathrm{d}\omega] existieren.

Die folgenden Erläuterungen beziehen sich auf die Festkörperphysik. Im 3-dimensionalen \vec{k}-Raum ist die Zustandsdichte D(\vec{k}) konstant gleich (L/2\pi)^3, wobei L die Länge einer Gitterperiode ist. Die Zustandsdichte kann sich auf verschiedene Objekte beziehen, z. B. auf Phononen, Elektronen, Magnonen oder Quasiteilchen in Supraleitern.

Definition[Bearbeiten]

Allgemein ist die - auf das Volumen bezogene - Zustandsdichte für eine abzählbare Anzahl an Energieniveaus definiert durch:

D(E)=\frac{1}{V}\sum_{\vec{k}_i}^N \delta(E-E(\vec{k}_i)).

Daraus erhält man durch Erweitern mit (\Delta k)^d=\frac{(2\pi)^d}{L^d} (der kleinsten erlaubten Änderung von k für ein Teilchen in einem Kasten der Dimension d und Länge L) und Übergang zu einem Riemann-Integral (Limes L \to \infty) die auf das Volumen bezogene Zustandsdichte für kontinuierliche Energiniveaus:

 D(E) := \int_{\R^d}\frac{d^d k}{(2\pi)^d}\delta(E - E(\vec k)) (*)

mit

  • d der räumlichen Dimension des betrachteten Systems

Die Zustandsdichte kann äquivalent auch als Ableitung der mikrokanonischen Zustandssumme Z_m(E) nach der Energie aufgefasst werden: D(E)=\frac{1}{V}\frac{d N(E)}{dE} Siehe Mikrokanonische Zustandssumme Z_m.

Die Zahl der Zustände mit Energie  \tilde E (Entartung), ist gegeben durch \lim_{\Delta E \to 0} D(\tilde E)\Delta E.

Anschauung[Bearbeiten]

Anschaulich zählt man die erlaubten Energiezustände für eine vorgegebene Energie E: Betrachtet man ein System mit N diskreten Energiezuständen E_i, so wird die Zustandsdichte durch D(E)=\sum_{i=1}^N \delta(E-E_i) beschrieben, da das Integral über die Zustandsdichte gerade die Zahl der Zustände mit Energie E_i liefert:

\int_{\R}\sum_{i=1}^N \delta(E-E_i)dE=\sum_{i=1}^N =N.

In obiger Formel (*) ist zumindest für die Anschauung die Eigenschaft \delta(g(x))=\sum_{i=1}^{n}\frac{\delta(x-x_{i})}{|g^{\prime}(x_{i})|} der Deltadistribution wichtig, wobei hier darauf hingewiesen sei, dass diese Eigenschaft nur für endlich viele und einfache Nullstellen x_i von g(x) gilt, siehe Deltadistribution.

n-dimensionales Elektronengas[Bearbeiten]

Zustandsdichte über der Energie abhängig von der Dimension (3D = gepunktet, 2D = rot, 1D = grün, 0D = blau). Die Sprünge in den Zustandsdichten für die Dimensionen D=0 bis D=2 sind darin begründet, dass in diesen Fällen die Zustandsdichten um verschiedene Energiezustände gezeichnet sind. Um diese Energiezustände herum hat die Zustandsdichte dann die berechnete und in der Tabelle dargestellte Form.

In einem n-dimensionalen Elektronengas können sich Ladungsträger in den Dimensionen 1, …, n frei bewegen. Der entsprechende Anteil der Energie ist kontinuierlich und kann unter Nutzung der parabolischen Näherung angegeben werden:

 E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*}

Dabei ist

Im Gegensatz dazu ist die Energiekomponente der anderen Dimensionen diskretisiert in den Werten E_l. Die (auf das Volumen V bezogene) Zustandsdichte kann allgemein beschrieben werden:

 D(E) = 2 \cdot \frac{\mathrm{d N(E)}}{\mathrm{d}E} \frac{1}{V}.

Darin entspricht

  • der Vorfaktor 2 den zwei möglichen Spinzuständen
  • V = L_x \cdot L_y \cdot L_z dem Volumen des Festkörpers
  • N(E) der Anzahl aller Zustände mit Energie kleiner gleich E (vgl.: Mikrokanonische Zustandssumme Z_m):
N(E) =
\begin{cases}
\frac{V_k}{\Omega_k} & \text{wenn} \quad n = 3\\
\sum_l \Theta(E-E_l) \frac{V_k}{\Omega_k} & \text{wenn} \quad n = 1,2\\
\sum_l \Theta(E-E_l) & \text{wenn} \quad n = 0
\end{cases}
    • V_k beschreibt im n-dimensionalen k-Raum das Gesamtvolumen aller Zustände, die bei der verbleibenden Energie E-E_l zugänglich sind
    • \Omega_k ist das Volumen eines solchen Zustandes.
    • \Theta beschreibt hier die Heaviside-Funktion.
Werte für verschieden-dimensionale Elektronengase
Gesamtvolumen aller Zustände
 V_k
Volumen eines Zustandes
{\Omega_k}
(auf das Volumen bezogene) Zustandsdichte
 D(E)
im k-Raum bei der verbleibenden Energie E-E_l
3D – Bulk \frac{4}{3}\pi k^3 \frac{(2\pi)^3}{L_x L_y L_z} \frac{(2m^*)^\frac{3} {2}} {2\pi^2\hbar^3}\sqrt{E}
2D – Quantentopf  \pi k^2 \frac{(2\pi)^2}{L_x L_y}  \frac{m^*} {\pi\hbar^2 L_z} \sum_l \Theta(E-E_l)
1D – Quantendraht 2k \frac{2\pi}{L_x}  \frac{\sqrt{2m^*}}{\pi\hbar L_y L_z}\sum_l \frac{1}{\sqrt{E-E_l}}
0D – Quantenpunkt  \frac{2}{ L_x L_y L_z}\sum_l \delta (E-E_l)

Im Halbleiter[Bearbeiten]

Zustandsdichten (farbig) in einem undotierten Halbleiter mit direktem Bandübergang. Zusätzlich ist die Fermi-Verteilung bei Raumtemperatur nach links aufgetragen, als Energieniveaus das Fermi-Niveau EF und die Leitungsbandenergie EC.

In Halbleitermaterialien wird wegen der periodisch auftretenden Atomkerne ein ähnlicher Ansatz für das Leitungs- und Valenzband gemacht (siehe Bändermodell). Den frei beweglichen Ladungsträgern in den beiden Bändern, also Elektronen und Löchern, wird eine effektive Masse zugewiesen und die Zustandsdichten für die beiden Bänder wie oben als quadratisch angenommen. Den Abstand der Extrema dieser beiden Zustandsdichten bezeichnet man als Bandlücke. Dabei wird bei einer Versetzung der Extrema im k-Raum (Impulsraum) von einem indirekten, bei gleichem Impulsunterschied von einem direkten Halbleiter gesprochen. Die Elektronen und Löcher versuchen, in diesen möglichen Zuständen ein Minimum der Energie einzunehmen und streben zur Bandkante hin, also zu den Extrema. Es treten also, soweit möglich, tatsächlich besetzte Zustände vermehrt dort auf.

Zustandsdichten (farbig) in einem n-dotierten Halbleiter mit direktem Bandübergang. Energieniveau der Dotieratome ED.

Die Energie der Leitungsband-Unterkante sei E_\mathrm{C}, die der Valenzband-Oberkante E_\mathrm{V}, die Differenz ist gleich der Bandlückenenergie E_\mathrm{G}=E_\mathrm{C}-E_\mathrm{V}. Die Zustandsdichte im Leitungsband ist (m^*_\mathrm{e,d} ist die Zustandsdichtemasse des Elektrons im Leitungsband, also seine gemittelte effektive Masse):

 D_\mathrm{C}(E)=\frac{(2m^*_\mathrm{e,d})^\frac{3} {2}} {2\pi^2\hbar^3}\sqrt{E-E_\mathrm{C}}

Die Zustandsdichte im Valenzband ist (m^*_\mathrm{p,d} ist die Zustandsdichtemasse des Lochs im Valenzband):

 D_\mathrm{V}(E)=\frac{(2m^*_\mathrm{p,d})^\frac{3} {2}} {2\pi^2\hbar^3}\sqrt{E_\mathrm{V}-E}

Bei dotierten Halbleitern treten zu diesen möglichen Zuständen noch Zustände in der Bandlücke auf. Diese sind bei n-Dotierung nahe am Leitungsband und bei p-Dotierung nahe am Valenzband. Durch Zuführen von Energie kann die Aktivierungsenergie überwunden werden und es bilden sich vermehrt besetzte Zustände in Leitungs- bzw. Valenzband. Darüber hinaus ändert sich durch Dotierung die Lage des Fermi-Niveaus: es wird bei n-Dotierung angehoben, bzw. senkt sich bei p-Dotierung zum Valenzband hin ab. Bei einer n-Dotierung sind damit bereits bei Raumtemperatur wegen der thermischen Energie weit mehr Zustände im Leitungsband besetzt als bei einem undotierten Material. Die zusätzlichen freien Ladungsträger können damit den Stromtransport erhöhen.

Die thermische Besetzung der Zustände wird durch die Fermi-Verteilung bestimmt. Die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass ein Zustand mit der Energie [E, E+\mathrm{d}E] besetzt ist, schreibt sich

W_\mathrm{e}(E) = \frac{1}{\exp{\left(\frac{E-\mu}{k_\mathrm{B}T}\right)}+1}

Die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass ein Zustand mit der Energie [E, E+\mathrm{d}E] nicht besetzt oder äquivalent ausgedrückt mit einem Loch besetzt ist, schreibt sich

W_\mathrm{h}(E) = 1-W_\mathrm{e}(E)=\frac{1}{\exp{\left(-\frac{E-\mu}{k_\mathrm{B}T}\right)}+1}

Damit lassen sich die Ladungsträgerdichten, also Elektronendichte im Leitungsband n und Löcherdichte p im Valenzband, angeben:

n=\int_{E_\mathrm{C}}^{\infty}W_\mathrm{e}(E)\, D_\mathrm{C}(E)\,\mathrm{d}E

sowie

p=\int_{-\infty}^{E_\mathrm{V}}W_\mathrm{h}(E)\, D_\mathrm{V}(E)\,\mathrm{d}E

Eigentlich sollten die Integrationsgrenzen nicht bis unendlich ausgedehnt sein, sondern nur bis zum Ende des jeweiligen Bandes. Allerdings ist dort die Fermi-Verteilung schon näherungsweise Null – das chemische Potential liegt nämlich im Bereich der Bandlücke – sodass der Fehler vernachlässigbar ist. Zur Berechnung dieser Integrale siehe Fermi-Dirac-Integral.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik Bd. 3 – Atome, Moleküle und Festkörper. 3. Auflage. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21473-9.

Weblinks[Bearbeiten]