Zustandsdichte
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Die Zustandsdichte Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D(E)
bzw. Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D(\omega) ist eine physikalische Größe, die angibt, wie viele Zustände innerhalb des Energie- bzw. Frequenzintervalls Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [E, E+dE] bzw. Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): [\omega, \omega+d\omega] existieren.
Die folgenden Erläuterungen beziehen sich auf die Festkörperphysik.
Im 3-dim. Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \vec{k} -Raum ist die Zustandsdichte Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D(\vec{k})
konstant gleich Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): (L/2\pi)^3
, wobei Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): L
die Länge einer Gitterperiode ist.
Die Zustandsdichte kann sich auf verschiedene Objekte beziehen wie z.B. auf Phononen, Elektronen, Magnonen, Quasiteilchen in Supraleitern und vieles mehr.
[Bearbeiten] Die Zustandsdichte für ein n-dimensionales Elektronengas
In einem n-dimensionalen Elektronengas können sich Ladungsträger in den Dimensionen 1,..,n frei bewegen. Der entsprechende Anteil der Energie ist kontinuierlich und kann unter Nutzung der parabolischen Näherung in Abhängigkeit vom Betrag des Wellenvektors angegeben werden:
- Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E=\frac{\hbar^2 k^2}{2m}
Dabei ist m die effektive Masse des Ladungsträgers im Festkörper. Im Gegensatz dazu ist die Energiekomponente der anderen Dimensionen diskretisiert in den Werten Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E_l .
Die Zustandsdichte kann allgemein beschrieben werden:
- Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D(E)= 2\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}E}\left(\frac{N(E)}{V} \right) \qquad \mathrm{mit} \qquad V=L_x\cdot L_y\cdot L_z\quad
.
Der Vorfaktor 2 entspricht den zwei möglichen Spinzuständen. V ist das Halbleitervolumen. N(E) steht für die Anzahl aller bei der Energie E zugänglichen Zustände:
- Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): N(E)= \begin{cases} \sum_l \Theta(E-E_l) & \mathrm{wenn} \quad n=0\\ \sum_l \Theta(E-E_l) \frac{V_k}{\Omega_k} & \mathrm{wenn} \quad n=1,2\\ \frac{V_k}{\Omega_k} & \mathrm{wenn} \quad n=3 \end{cases}
Im n-dimensionalen k-Raum beschreibt Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V_k
das Gesamtvolumen aller Zustände, die bei der verbleibenden Energie Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): E-E_l zugänglich sind; Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \Omega_k ist das Volumen eines solchen Zustandes.
In der folgenden Tabelle sind die Werte für verschieden dimensionale Elektronengase angegeben:
| Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): V_k | Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): {\Omega_k} | Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): D(E) | |
| 3D - Bulk | Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{4}{3}\pi k^3 | Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{(2\pi)^3}{L_x L_y L_z} | Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{(2m)^\frac{3} {2}} {2\pi^2\hbar^3}\sqrt{E} |
| 2D - Quantentopf | Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \pi k^2 | Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{(2\pi)^2}{L_x L_y} | Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{m} {\pi\hbar^2 L_x}\sum_l \Theta(E-E_l) |
| 1D - Quantendraht | Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): 2k | Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{2\pi}{L_x} | Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{\sqrt{2m}}{\pi\hbar L_x L_y}\sum_l \frac{1}{\sqrt{E-E_l}} |
| 0D - Quantenpunkt | Parser-Fehler (Das Zielverzeichnis für mathematische Formeln kann nicht angelegt oder beschrieben werden.): \frac{2}{ L_x L_y L_z}\sum_l \delta (E-E_l) |
[Bearbeiten] Die Zustandsdichte im Halbleiter
In Halbleitermaterialien wird wegen der periodisch auftretenden Atomkerne ein ähnlicher Ansatz für das Leitungs- und Valenzband gemacht (siehe Bändermodell). Den frei beweglichen Ladungsträgern in den beiden Bändern, also Elektronen und Löchern, wird eine effektive Masse zugewiesen und die Zustandsdichten für die beiden Bänder wie oben als quadratisch angenommen. Den Abstand der Extrema dieser beiden Zustandsdichten bezeichnet man als Bandlücke. Dabei wird bei einer Versetzung der Extrema im k-Raum (Impulsraum) von einem indirekten, bei gleichem Impulsunterschied von einem direkten Halbleiter gesprochen.
Die Elektronen und Löcher versuchen, in diesen möglichen Zuständen ein Minimum der Energie einzunehmen und streben zur Bandkante hin, also zu den Extrema. Es treten also, soweit möglich, tatsächlich besetzte Zustände vermehrt dort auf.
Bei dotierten Halbleitern treten zu diesen möglichen Zuständen noch Zustände in der Bandlücke auf. Diese sind bei n-Dotierung nahe am Leitungsband und bei p-Dotierung nahe am Valenzband. Durch Zuführen von Energie kann die Aktivierungsenergie überwunden werden und es bilden sich vermehrt besetzte Zustände in Leitungs- bzw. Valenzband. Darüber hinaus ändert sich durch Dotierung die Lage des Ferminiveaus: es wird bei n-Dotierung angehoben, bzw. senkt sich bei p-Dotierung zum Valenzband hin ab. Bei einer n-Dotierung sind damit bereits bei Raumtemperatur wegen der thermischen Energie weit mehr Zustände im Leitungsband besetzt als bei einem undotierten Material. Die zusätzlichen freien Ladungsträger können damit den Stromtransport erhöhen.
