Zweipol

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Als einen Zweipol (auch Eintor oder engl. One Port Devices genannt) bezeichnet man in der Elektrotechnik allgemein ein elektrisches Bauelement oder eine elektrische Schaltung mit zwei „Anschlüssen“ (Klemmen). Die Erweiterung ist der Vierpol (Zweitor).

Symbol eines Eintors (Zweipol)

Eigenschaften[Bearbeiten]

Nach dem Klemmenverhalten bei sinusförmiger Wechselspannung unterteilt man Zweipole in drei Kategorien:

  • resistiv: Der Strom ist der Spannung proportional, Strom und Spannung sind stets in Phase.
  • induktiv: Die Spannung ist der zeitlichen Änderung des Stroms proportional, die Spannung eilt dem Strom voraus
  • kapazitiv: Der Strom ist der zeitlichen Änderung der Spannung proportional, der Strom eilt der Spannung voraus

Es gibt Mischformen aus den oben genannten Kategorien: resistiv-induktiv, resistiv-kapazitiv. Ein Beispiel für einen resistiv-induktiven Zweipol ist ein Elektromotor. Ein Schwingkreis kann frequenzabhängig alle drei Verhalten zeigen. Ein Schwingkreis wird häufig durch seine Resonanzkurve normiert über die Verstimmung, statt durch ein U-I-Diagramm dargestellt.

Neben diesen drei Kategorien lassen sich weitere Eigenschaften eines Zweipols bestimmen:

  • passiv: Der Zweipol gibt (im zeitlichen Mittel) in keinem Betriebszustand elektrische Leistung über die Klemmen ab.
  • aktiv: Es gibt mindestens einen Betriebszustand in dem der Zweipol (im zeitlichen Mittel) Leistung über die Klemmen abgibt.
  • linear: Für den Zusammenhang zwischen Klemmenstrom und Klemmenspannung gilt der Überlagerungssatz.
  • zeitinvariant: Das Verhalten des Zweipols ist nicht explizit von der Zeit abhängig.

Ersatzschaltungen linearer Zweipole[Bearbeiten]

Wenn nur das Klemmenverhalten eines linearen Zweipols und nicht sein exakter interner Aufbau von Interesse ist, kann dieser durch eine kompaktere Ersatzschaltung dargestellt werden. Die Ersatzschaltung besitzt dabei das gleiche Strom-Spannungs-Verhalten an den Klemmen wie die ursprüngliche Schaltung.

Passive Zweipole[Bearbeiten]

Stern-Dreieck-Transformation von Widerständen

Wenn Zweipole aus rein passiven Elementen bestehen, sind diese meist durch Kombinationen von Parallelschaltungen und Reihenschaltungen miteinander verschaltet und können leicht zusammengefasst werden. In seltenen Fällen kommt es jedoch vor, dass drei Elemente einen sogenannten Stern oder ein Dreieck bilden und ein direktes Zusammenfassen verhindern. Eine Stern-Dreieck-Transformation kann jedoch so eine Problemstelle auflösen, wodurch ein weiteres Zusammenfassen ermöglicht wird. Bilden mehr als drei Schaltelemente eine dieser Problemstellen, spricht man von Sternen und Polygonen sowie folglich der verallgemeinerten Stern-Polygon-Transformation.

Die Zweipolgleichung für passive Zweipole lautet:

U_{out} = R_{Ersatz} \cdot I_{out} \!\,

Aktive Zweipole[Bearbeiten]

Einfacher Spannungsteiler
Ersatzspannungsquelle bzw. Thévenin-Äquivalent
UI-Kennlinie des Ausgangs
Thévenin-Norton-Äquivalent-Umwandlung

Eine Ersatzschaltung für einen aktiven Zweipol besteht aus einer Ersatzspannungsquelle oder Ersatzstromquelle sowie einem Innenwiderstand. Im Bild rechts ist ein einfacher Spannungsteiler als Beispiel für einen einfachen aktiven Zweipol aus einer Spannungsquelle U und zwei Widerständen R1, R2 in Reihenschaltung dargestellt. Die Ausgangsspannung U2 fällt über die Parallelschaltung aus R2 und einem eventuell angeschlossenen Lastwiderstand RL ab. Der Wert der im nächsten Bild rechts gezeigten Ersatzspannungsquelle, die sogenannte Leerlaufspannung, kann am Ausgang im unbelasteten Zustand ohne RL (R_L = \infty) entweder mit einem Spannungsmessgerät gemessen oder über die Spannungsteilerregel bestimmt werden. Für das Beispiel ergibt sich der Wert der Ersatzspannungsquelle zu:

U_{2,LL} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} \cdot U

Zur Bestimmung des Innenwiderstandes wird noch der Kurzschlussstrom benötigt. Dazu wird der Ausgang kurzgeschlossen (R_L = 0). Für eine Strommessung erfolgt dies mit einem Strommessgerät. Bei einer Berechnung stellt man fest, dass durch den Kurzschluss keine Spannung mehr über R2 abfällt und sich folgender Kurzschlussstrom für das Beispiel ergibt:

I_K = \frac{U}{R_1}

Mit beiden Werten ergibt sich der Innenwiderstand der Ersatzschaltung zu:

R_i = \frac{U_{2,LL}}{I_K} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} = R_1 \parallel R_2

Rein mathematisch ergibt sich diese Lösung für den Innenwiderstand auch, wenn die Spannungsquelle kurzgeschlossen und der Ausgang im Leerlauf ist. Von den Ausgangsklemmen aus betrachtet, entspricht der Innenwiderstand der Parallelschaltung der beiden Teilerwiderstände. Im zweiten Bild ist die Ersatzschaltung zu sehen.

Leerlaufspannung Kurzschlussstrom Innenwiderstand
Messung Rechnung Messung Rechnung
Messtechnische Bestimmung von U2,LL Mathematische Bestimmung von U2,LL Messtechnische Bestimmung von IK Mathematische Bestimmung von IK direkte Bestimmung von RI

Der Lastwiderstand RL bleibt von der Umstellung unbeeinflusst. Er bildet nun eine Reihenschaltung bzw. Spannungsteiler mit Ri und seine Wirkung auf die Ausgangsspannung tritt deutlich hervor. Je größer er ist (R_L \to \infty), desto mehr nähert sich die Ausgangsspannung der Leerlaufspannung und der Ausgangsstrom geht gegen Null. Je kleiner er ist (R_L \to 0), desto mehr nähert sich die Ausgangsspannung dem Wert 0 und der Ausgangsstrom dem Kurzschlussstrom. Die Ausgangsspannung in Abhängigkeit vom Ausgangsstrom drückt die Zweipolgleichung aus:

U_{2} = U_{2,LL} - R_i \cdot I_{L} \!\,

Die Ersatzschaltung kann nach dem Norton-Theorem in eine äquivalente Schaltung mit Ersatzstromquelle und Innenleitwert umgeformt werden. Die Zweipolgleichung abhängig von U2 lautet dann:

I_L = I_K - G_i \cdot U_2 \!\,

Leistung und Wirkungsgrad aktiver Zweipole[Bearbeiten]

Die Ausgangsleistung wird bestimmt durch:

P_L = U_2 \cdot I_L = \frac{R_L \cdot U_{2,LL}}{R_i + R_L} \cdot \frac{U_{2,LL}}{R_i + R_L} = \frac{R_L}{(R_i + R_L)^2} \cdot U_{2,LL}^2

Die Gesamtleistung beträgt:

P_{ges} = U_{2,LL} \cdot I_L = \frac{1}{R_i + R_L} \cdot U_{2,LL}^2

Der Wirkungsgrad wird berechnet durch:

\eta =\frac{P_L}{P_{ges}} = \frac{R_L}{R_i + R_L}

Je größer RL, desto größer ist der Wirkungsgrad. Er kann Werte zwischen 0 (R_L = 0) und 1 (R_L \to \infty) annehmen. Bei Leistungsanpassung (maximal mögliche Verbraucherleistung) (R_i = R_L) beträgt er 0,5.

Zweipoltheorie[Bearbeiten]

Die Zweipoltheorie befasst sich mit der theoretischen Betrachtung und Berechnung von Zweipolen. Dabei wird das Klemmverhalten über den Zusammenhang von Strom und Spannung beschrieben, das frequenzabhängig sein kann. Wird dieser Zusammenhang in einem zweidimensionalen Diagramm eingetragen, entstehen je nach Bauteil unterschiedliche Graphen. Es entstehen Kennlinien, Kennflächen oder einzelne Punkte. Ein Strom-Spannungs-Diagramm lässt sich jedoch nicht für alle Elemente zeichnen.

Literatur[Bearbeiten]

  • Lorenz-Peter Schmidt, Gerd Schaller, Siegfried Martius: Grundlagen der Elektrotechnik 3. Netzwerke. Pearson Studium, München 2006, ISBN 3-8273-7107-4.