Zwischenwertsatz

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In der reellen Analysis ist der Zwischenwertsatz ein wichtiger Satz über den Wertebereich stetiger Funktionen.

Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion f, die auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b] stetig ist, jeden Wert zwischen f(a) und f(b) annimmt. Haben insbesondere f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle von f im abgeschlossenen Intervall [a,b]. Dieser Sonderfall ist als Nullstellensatz von Bolzano bekannt und nach Bernard Bolzano benannt. Andererseits kann der Zwischenwertsatz aber auch aus dem Nullstellensatz hergeleitet werden. Die beiden Formulierungen sind also äquivalent.

Zwischenwertsatz

Satz[Bearbeiten]

Es sei f: [a,b] \to \R eine stetige reelle Funktion, die auf einem Intervall definiert ist. Dann existiert zu jedem u\in [f(a), f(b)] (falls f(a)\leq f(b)) bzw. u\in [f(b), f(a)] (falls f(b)< f(a)) ein c\in [a,b] mit f\left(c\right)=u.

Beweis[Bearbeiten]

Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass f(a)<f(b) gilt und es sei u\in [f(a), f(b)].

Die Funktion

  g\colon [a,b] \to \R,\quad x\mapsto g(x)=f(x) - u

ist stetig auf [a,\,b] und es gilt g(a)<g(b) sowie g(a)\leq 0\leq g(b). Durch Bisektion wird ein Punkt c\in [a,\,b] mit g(c)=0 konstruiert, für diesen gilt dann f(c)=u.

Wir bilden eine Intervallschachtelung [a_k,\,b_k],\; k \in \N mit a_1:=a,\; b_1:=b und konstruieren für jedes k \in \N aus dem gegebenen Intervall den Mittelpunkt c_k=\frac{a_k + b_k}{2} und mit diesem das neue, verkleinerte Intervall


[a_{k+1},\,b_{k+1}]
= \begin{cases}
  \left[c_k,\, b_k\right] & \mbox{falls } g(c_k) < 0\\
  \left[a_k,\, c_k\right] & \mbox{sonst }
\end{cases}

Falls g(c_k)=0 ist, ist c = c_k schon der gesuchte Punkt, und man kann die Folgen der a_n,\,b_n konstant mit dem Wert c fortsetzen. Ansonsten wird das neue Intervall weiter verkleinert.

Bricht die Konstruktion nicht nach endlich vielen Schritten ab, so gibt es nach dem Intervallschachtelungsprinzip eine gemeinsame Zahl c\in [a,b] in allen Intervallen, \bigcap_{k \in \N} [a_k, b_k] = \{ c \}.

Offensichtlich ist a_k monoton steigend und nach oben beschränkt und b_k monoton fallend und nach unten beschränkt, beide Folgen haben den gemeinsamen Grenzwert c.

Aus der Stetigkeit von g im Punkt c folgt

\lim_{k \to \infty}g(a_k) = g(c) = \lim_{k \to \infty}g(b_k).

Wegen g(a_k)\leq 0 für alle k\in\N gilt auch g(c)\leq 0, und wegen g(b_k)\geq 0 folgt analog g(c)\geq 0. Damit ist g(c) = 0 bewiesen.

Beispiel[Bearbeiten]

Die Kosinus-Funktion \cos\left(x\right) ist im Intervall [0, 2] stetig, es ist \cos\left(0\right)=1 und \cos\left(2\right) \approx -0,4161 < 0. Der Zwischenwertsatz besagt dann, dass der Cosinus mindestens eine Nullstelle im Intervall (0, 2) hat. Tatsächlich gibt es in dem Intervall genau eine Nullstelle, die den Wert π/2 hat.

Verallgemeinerung[Bearbeiten]

Der Zwischenwertsatz ist ein Spezialfall des folgenden Satzes aus der Topologie: Das Bild einer zusammenhängenden Teilmenge eines topologischen Raumes bezüglich einer stetigen Abbildung ist wieder zusammenhängend.

Um daraus wieder den Zwischenwertsatz zu erhalten, benötigt man noch die Aussage, dass eine Teilmenge der reellen Zahlen genau dann zusammenhängend ist, wenn sie ein Intervall ist (jeglicher Art, d.h. beschränkt oder unbeschränkt; offen, halboffen oder abgeschlossen).

Zwischenwertsatz für Ableitungen (Satz von Darboux)[Bearbeiten]

Eine zum obigen Zwischenwertsatz analoge Aussage gilt für Ableitungsfunktionen[1][2]:

Für eine auf dem Intervall [a,b] \subseteq \R (a < b )   gegebene differenzierbare Funktion   f\colon [a,b] \to \R, welche f'(a) \neq f'(b) erfüllt, nimmt die Ableitungsfunktion f' stets jeden Wert des offenen Intervalls \left]f'(a), f'(b)\right[ im offenen Teilintervall \left]a,b\right[ an.

Man beachte, dass dies auch gilt, wenn die Ableitungsfunktion nicht stetig ist.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Fichtenholz: S. 206.
  2.  Köhler: S. 196.