Zwischenwertsatz
In der reellen Analysis ist der Zwischenwertsatz ein wichtiger Satz über den Wertebereich stetiger Funktionen.
Der Zwischenwertsatz sagt aus, dass eine reelle Funktion
, die auf einem abgeschlossenen Intervall
stetig ist, jeden Wert zwischen
und
annimmt. Haben insbesondere
und
verschiedene Vorzeichen, so garantiert der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle von
im abgeschlossenen Intervall
. Dieser Sonderfall ist als Nullstellensatz von Bolzano bekannt und nach Bernard Bolzano benannt. Andererseits kann der Zwischenwertsatz aber auch aus dem Nullstellensatz hergeleitet werden. Die beiden Formulierungen sind also äquivalent.
Inhaltsverzeichnis |
Satz [Bearbeiten]
Es sei
eine stetige reelle Funktion, die auf einem Intervall definiert ist. Dann existiert zu jedem
(falls
) bzw.
(falls
) ein
mit
.
Beweis [Bearbeiten]
Wir nehmen ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass
gilt und es sei
.
Die Funktion
ist stetig auf
und es gilt
sowie
. Durch Bisektion wird ein Punkt
mit
konstruiert, für diesen gilt dann
.
Wir bilden eine Intervallschachtelung
mit
und
Falls
ist, ist
der gesuchte Punkt.
Alternativ gilt nach dem Intervallschachtelungsprinzip
für eine Zahl
, für den die gesuchte Eigenschaft
gilt.
Offensichtlich ist
monoton steigend und nach oben beschränkt und
monoton fallend und nach unten beschränkt, so dass die Grenzwerte beider Folgen existieren. Nach der Konstruktion der Intervallschachtelung ist
und
.
Aus der Stetigkeit von
im Punkt
folgt
und
.
Wegen
für alle
gilt auch
, und wegen
folgt analog
. Damit ist
bewiesen.
Beispiel [Bearbeiten]
Die Kosinus-Funktion
ist im Intervall [0, 2] stetig, es ist
und
. Der Zwischenwertsatz besagt dann, dass der Cosinus mindestens eine Nullstelle im Intervall (0, 2) hat. Tatsächlich gibt es in dem Intervall genau eine Nullstelle, die den Wert π/2 hat.
Verallgemeinerung [Bearbeiten]
Der Zwischenwertsatz ist ein Spezialfall des folgenden Satzes aus der Topologie: Das Bild einer zusammenhängenden Teilmenge eines topologischen Raumes bezüglich einer stetigen Abbildung ist wieder zusammenhängend.
Um daraus wieder den Zwischenwertsatz zu erhalten, benötigt man noch die Aussage, dass eine Teilmenge der reellen Zahlen genau dann zusammenhängend ist, wenn sie ein Intervall ist (jeglicher Art, d.h. beschränkt oder unbeschränkt; offen, halboffen oder abgeschlossen).
Zwischenwertsatz für Ableitungen (Satz von Darboux) [Bearbeiten]
Ein mit dem obigen Zwischenwertsatz verwandter Satz der Differentialrechnung ist der folgende [1][2]:
Für eine auf dem Intervall
(
) gegebene differenzierbare Funktion
, welche
erfüllt, nimmt die Ableitungsfunktion
stets jeden Wert des offenen Intervalls
im offenen Teilintervall
an.
Literatur [Bearbeiten]
- G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung I. 8. Auflage. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973.
- Günter Köhler: Analysis. Heldermann Verlag, Lemgo (u. a.) 2006, ISBN 3-88538-114-1.
- Konrad Königsberger: Analysis 1. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-41282-4
- Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg-Verlag, 8. Aufl. 2006, ISBN 3-528-67224-2

![g: [a,b] \to \R, x\mapsto f(x) - u](http://upload.wikimedia.org/math/c/c/e/cceedcb6754f1f00291f85cb2a703cb6.png)
![[a_{k+1},b_{k+1}] = \begin{cases} [\frac{a_k + b_k}{2}, b_k] & \mbox{falls } g(\frac{a_k + b_k}{2}) < 0\\ \left[a_k, \frac{a_k + b_k}{2}\right] & \mbox{sonst }\end{cases}](http://upload.wikimedia.org/math/1/1/3/11333692c158037c666dfca3731f47f6.png)
und
.
und
.