Zyklische Zahl

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Eine zyklische Zahl (auch: Phönixzahl[1][2]) ist eine n-stellige natürliche Zahl mit folgender Eigenschaft: Wird diese Zahl mit einer natürlichen Zahl von 1 bis n multipliziert, so enthält das Produkt die gleichen Ziffern wie die Ausgangszahl in derselben zyklischen Reihenfolge.

Die zyklische Zahl 142857 multipliziert mit den Zahlen 1 bis 6

Die kleinste nichttriviale zyklische Zahl ist die 142857:

 1 \cdot 142.857 = 142.857
 2 \cdot 142.857 = 285.714
 3 \cdot 142.857 = 428.571
 4 \cdot 142.857 = 571.428
 5 \cdot 142.857 = 714.285
 6 \cdot 142.857 = 857.142
 7 \cdot 142.857 = 999.999

Generierung[Bearbeiten]

Leonard E. Dickson fand heraus, dass alle zyklischen Zahlen Perioden von periodischen Zahlen sind, die man als Kehrwert bestimmter Primzahlen gewinnen kann. So ist der Kehrwert von 7 gleich 0,142857142857… und enthält genau die erste zyklische Zahl als Periode: \scriptstyle \overline{142857}. Solche Zahlen, die Perioden einer zyklischen Zahl erzeugen, werden auch Generatorzahlen genannt:

7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313 … (Folge A001913 in OEIS)

Bedingung ist, dass die Primzahlen p die Zahlenbasis, z. B. 10, nicht teilen und dass es für sie kein natürliches n<p-1 gibt, sodass 10^n\equiv 1\pmod p.[3]

Die 486-stellige zyklische Zahl, die bei 487 entsteht, ist (bisher) die einzige, die selber durch ihre Generatorzahl teilbar ist. Damit hat die Periode vom \frac 1{487^2} auch nur so viele Stellen wie die von \frac 1{487}, eben 486 und nicht die sonst zu erwartenden 486 × 487 = 236682. Dementsprechend erscheint auch bei der Primfaktorzerlegung der Zahl mit 486 Neunen bzw. Einsen (Repunitzahl) der Faktor 487 im Quadrat.[4]

Werte[Bearbeiten]

Die ersten zyklischen Zahlen sind:

  1. 0   (1-stellig)
  2. 142857   (6-stellig, erzeugt aus 1/7)
  3. 5882352941176470   (16-stellig, erzeugt aus 1/17)
  4. 526315789473684210   (18-stellig, erzeugt aus 1/19)
  5. 4347826086956521739130   (22-stellig, erzeugt aus 1/23)

(Folge A004042 in OEIS)

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Jede Zyklische Zahl ist durch 9 teilbar, z. B. 142857 / 9 = 15873.
  • Multiplikation mit der Generatorzahl ergibt eine Folge von Neunen, z. B. 142857 × 7 = 999999.
  • Gruppenweises Summieren ergibt eine Folge von Neunen, z. B. 14 + 28 + 57 = 99 und 142 + 857 = 999 (Midy's Theorem[5])
  • Der Anteil der zyklischen Zahlen an der Menge aller Primzahlen ist die Artin-Konstante C = 0,3739558136192… (Folge A005596 in OEIS)
  • In Zahlensystemen mit quadratischer Basis existieren keine zyklischen Zahlen.

Andere Zahlenbasen[Bearbeiten]

Zyklische Zahlen lassen sich in fast allen Zahlensystemen bilden, sofern deren Zahlenbasis keine Quadratzahl ist; im Quaternärsystem (Basis 4 = 2²) oder im Hexadezimalsystem (Basis 16 = 4²) gibt es daher keine zyklischen Zahlen.

Beispiel: Zyklische Zahl im Binärsystem

  1. 0001011101 × 0001 = 0001011101
  2. 0001011101 × 0010 = 0010111010
  3. 0001011101 × 0011 = 0100010111
  4. 0001011101 × 0100 = 0101110100
  5. 0001011101 × 0101 = 0111010001
  6. 0001011101 × 0110 = 1000101110
  7. 0001011101 × 0111 = 1010001011
  8. 0001011101 × 1000 = 1011101000
  9. 0001011101 × 1001 = 1101000101
  10. 0001011101 × 1010 = 1110100010
  11. 0001011101 × 1011 = 1111111111

Literatur[Bearbeiten]

  • Manfred Scholtyssek: Hexeneinmaleins, 3. Auflage 1984, Kinderbuchverlag Berlin (DDR)
  • L. E. Dickson: History of the Theory of Numbers, Washington 1932.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Endre Hódi (Hrsg.): Mathematisches Mosaik, Urania, Leipzig 1977
  2. Manfred Scholtyssek: Hexeneinmaleins, 3. Auflage 1984, Kinderbuchverlag Berlin (DDR)
  3. Eric W. Weisstein: Full Reptend Prime. In: MathWorld (englisch).
  4. Factorizations of 11…11 (Repunit)
  5. Eric W. Weisstein: Midy's Theorem. In: MathWorld (englisch).