Arkusfunktion

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Die Funktionsgraphen aller Arkusfunktionen. Y-Achse im Bogenmaß

Arkusfunktionen (von lat. arcusBogen“), auch zyklometrische Funktionen genannt, sind, wie es ihre alternative Bezeichnung als inverse Winkelfunktionen andeutet, Umkehrfunktionen trigonometrischer Funktionen - die Arkusfunktionen liefern also zu einem gegebenen Winkelfunktionswert den zugehörigen Winkel.

Zu jeder der sechs Winkelfunktionen gibt es eine Arkusfunktion, die in mathematischen Formeln und Gleichungen durch ein vorangestelltes \operatorname{arc} oder \operatorname{a} vom Kürzel der zugehörigen trigonometrischen Funktion unterschieden wird. Vor allem im englischsprachigen Raum, aber auch auf den Tastaturen der meisten Taschenrechner, findet sich immer häufiger eine Schreibweise mit dem Exponenten -1, der signalisieren soll, dass es sich um die Umkehrfunktion (aber nicht um den Kehrwert) der besagten Winkelfunktion handelt:

Winkelfunktion Arkusfunktion Kürzel alternatives
Kürzel
Sinus Arkussinus \arcsin oder \operatorname{asin} \sin^{-1}
Kosinus Arkuskosinus \arccos oder \operatorname{acos} \cos^{-1}
Tangens Arkustangens \arctan oder \operatorname{atan} \tan^{-1}
Kotangens Arkuskotangens \arccot oder \operatorname{acot} \cot^{-1}
Sekans Arkussekans \arcsec \sec^{-1}
Kosekans Arkuskosekans \arccsc \csc^{-1}

Da die trigonometrischen Funktionen periodische Funktionen sind, sind sie zunächst einmal nicht invertierbar. Beschränkt man sich jedoch auf ein Monotonieintervall der jeweiligen Ausgangsfunktion, z. B. auf das Intervall [-\pi/2,\pi/2] oder [0,\pi], kann die so erhaltene eingeschränkte Funktion sehr wohl invertiert werden.

Für die Umrechnung vom Grad- ins Bogenmaß eines Winkels ist der Funktionsname \operatorname{arc} oder \operatorname{arcus} ohne weitere Zusätze üblich: \operatorname{arc} \alpha bzw. \operatorname{arcus} \alpha bezeichnen damit das Bogenmaß des im Gradmaß angegebenen Winkels \alpha.

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