Zylinderkondensator

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Ein idealer Zylinderkondensator ist ein Kondensator, der aus zwei elektrisch leitenden Zylindermänteln besteht, zwischen welchen sich ein Dielektrikum (Isolator) befindet. Die Zylindermäntel sind koaxial, gleich hoch, und die Grundflächen der zugehörigen Zylinder liegen in derselben Ebene.

Im Folgenden bedeuten E elektrische Feldstärke im Kondensator, U zwischen den Zylindermänteln anliegende elektrische Spannung, Q im Kondensator gespeicherte elektrische Ladung, R_1 Radius des inneren Zylindermantels,  R_2 Radius des äußeren Zylindermantels,  l Höhe der Zylindermäntel,  \varepsilon_0 elektrische Feldkonstante und \varepsilon_r relative Permittivität des Dielektrikums.

Ein realer Zylinderkondensator kann aus zwei Rohren bestehen (deren Wände im Gegensatz zum Zylindermantel nicht unendlich dünn sind), wobei dann R_1 Außenradius des inneren Rohrs und  R_2 Innenradius des äußeren Rohres sind. Die folgenden Formeln gelten im Idealfall. Praktische Anwendungen des Zylinderkondensators sind die Leidener Flasche und das Koaxialkabel.

Kapazität des Zylinderkondensators[Bearbeiten]

Schematische Darstellung eines Zylinderkondensators
C = 2\pi \varepsilon_0\varepsilon_r \frac{l}{\ln{\frac{R_2}{R_1}}}

Die Kapazität kann aus dem Elektrischen Feld wie folgt hergeleitet werden:

 C = \frac{Q}{U} = \frac{Q}{\int \vec{E}(\vec{r})d\vec{r}} = \frac{Q}{\int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{Q}{2\pi l\varepsilon_0\varepsilon_r  r}dr} = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r l}{\int\limits_{R_1}^{R2} \frac{1}{r}dr} 
= 2\pi \varepsilon_0\varepsilon_r \frac{l}{\ln{\frac{R_2}{R_1}}}

Elektrisches Feld im Zylinderkondensator[Bearbeiten]

Das Feld zwischen den Zylindermänteln ist nicht homogen, sondern nimmt radial ab. Es kann nach dem Gaußschen Gesetz hergeleitet werden. Dazu wählt man die geschlossene Fläche eines Zylinders mit Radius  \quad R_1 < r < R_2. Der Einheitsvektor \vec {\mathrm e_r} zeigt in radiale Richtung der Zylinderkoordinaten.

 \frac{Q}{\varepsilon } =\oint_A \vec E \; \cdot \mathrm d \vec A =\oint_A E \vec {\mathrm e_r} \cdot d \vec A =\oint_A E dA =\int_{0}^{r} E 2\pi l dr'= E 2\pi l r
E(r) = \frac{Q}{2\pi r l \varepsilon} \quad ,\quad \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r

Die mittlere elektrische Feldstärke entspricht der eines Plattenkondensators.

 \bar{E} = \frac{1}{R_2-R_1} \int_{R_1}^{R_2} E(r) \,\mathrm{d} r = \frac{U}{R_2-R_1}

Außerhalb des Kondensators existiert im Idealfall kein von ihm verursachtes elektrisches Feld.

Spannung am Zylinderkondensator[Bearbeiten]

zwischen innerem und äußerem Zylindermantel

 U = \int_{R1}^{R2} \vec E \;(r) \cdot d \vec r = \int_{R1}^{R2} E(r) \vec {\mathrm e_r} \cdot d \vec r = \int_{R1}^{R2} E(r)dr = \int_{R1}^{R2} \frac{Q}{2\pi r l \varepsilon} dr
U = \frac{Q}{2\pi l \varepsilon}\ln{\frac{R_2}{R_1}} \quad ,\quad \varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r