Angeordnete Gruppe

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In der Gruppentheorie, einer Teildisziplin der Mathematik, ist eine angeordnete Gruppe (engl. left-orderable group) eine Gruppe zusammen mit einer totalen Ordnung“, die mit der durch die Multiplikation gegebenen Linkstranslation verträglich ist. Bekannte Beispiele sind die Gruppen der ganzen und reellen Zahlen.

Sei eine Gruppe. Eine links-invariante Anordnung auf ist eine totale Ordnung, so dass für alle gilt:

.

Eine angeordnete Gruppe ist eine Gruppe mit einer links-invarianten Ordnung.

Äquivalent kann man eine links-invariante Ordnung charakterisieren durch eine disjunkte Zerlegung

mit und .

Die Anordnung ergibt sich aus der Zerlegung via

.
  • und sind angeordnete Gruppen.
  • Wenn es in einer Gruppe Torsionselemente (d. h. Elemente endlicher Ordnung) gibt, dann kann die Gruppe keine links-invariante Anordnung haben.
  • Jede torsionsfreie abelsche Gruppe ist eine angeordnete Gruppe.
  • Freie Gruppen sind angeordnet.
  • und besitzen keine links-invariante Anordnung.
  • Satz von Dehornoy: Zopfgruppen sind angeordnet.
  • Satz von Rourke-Wiest: Abbildungsklassengruppen von Flächen mit nichtleerem Rand sind angeordnet.
  • Satz von Boyer-Rolfsen-Wiest: Fundamentalgruppen von kompakten, -irreduziblen 3-Mannigfaltigkeiten mit sind angeordnet.
  • Wenn und angeordnete Gruppen sind und
eine kurze exakte Sequenz ist, dann besitzt eine links-invariante Anordnung, die mit der von kompatibel ist und für die die Abbildung monoton ist.
  • Satz von Burns-Hale: Eine Gruppe besitzt eine links-invariante Anordnung, wenn es zu jeder endlich erzeugten Untergruppe einen surjektiven Homomorphismus auf eine angeordnete Gruppe gibt. Insbesondere besitzt eine links-invariante Anordnung, wenn für jede endlich erzeugte Untergruppe gilt: .
  • Die universelle Überlagerung von ist eine angeordnete Gruppe, obwohl für alle ihre endlich erzeugten Untergruppen gilt.
  • Eine abzählbare Gruppe besitzt eine links-invariante Anordnung dann und nur dann, wenn sie isomorph zu einer Untergruppe von , der Gruppe der orientierungs-erhaltenden Homöomorphismen des , ist.
  • Satz von Hölder: Eine Gruppe besitzt eine links-invariante archimedische Anordnung dann und nur dann, wenn sie isomorph zu einer Untergruppe von ist.

Bi-invariante Anordnungen

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Eine rechts-invariante Anordnung auf einer Gruppe ist eine totale Ordnung, so dass für alle gilt:

.

Jede angeordnete Gruppe besitzt auch eine rechts-invariante Anordnung, die aber im Allgemeinen nicht mit der links-invarianten Anordnung übereinstimmt.

Eine bi-invariante Anordnung ist eine Anordnung, die gleichzeitig links- und rechts-invariant ist. Zum Beispiel besitzen torsionsfreie abelsche Gruppen oder die reine Zopfgruppe eine bi-invariante Anordnung.

  • Robert G. Burns, V. W. D. Hale: A note on group rings of certain torsion-free groups. In: Canadian Mathematical Bulletin. Bd. 15, Nr. 3, 1972, S. 441–445, doi:10.4153/CMB-1972-080-3.
  • Danny Calegari: Circular groups, planar groups, and the Euler class. In: Cameron Gordon, Yoav Rieck (Hrsg.): Proceedings of the Casson Fest (Arkansas and Texas 2003) (= Geometry & Topology Monographs. Bd. 7, ISSN 1464-8989). University of Warwick – Mathematics Institute, Coventry 2004, S. 431–491, doi:10.2140/gtm.2004.7.431.
  • Patrick Dehornoy, Ivan Dynnikov, Dale Rolfsen, Bert Wiest: Why are braids orderable? (= Panoramas et Synthèses. Bd. 14). Société Mathématique de France, Paris 2002, ISBN 2-85629-135-X.