Komplexe Fläche

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Mathematik sind komplexe Flächen lokal nach modellierte -dimensionale Mannigfaltigkeiten, deren Kartenwechsel holomorph sind.

Eine projektive analytische Fläche ist eine komplexe Fläche, die in einen komplex-projektiven Raum eingebettet werden kann. Eine komplexe algebraische Fläche ist eine komplexe Fläche, die durch polynomielle Gleichungen in einem komplex-projektiven Raum definiert wird. Nach dem Satz von Chow sind alle projektiven analytischen Flächen algebraisch. Die Hopf-Fläche ist ein Beispiel einer komplexen Fläche, die nicht projektiv analytisch ist.

Kurven auf Flächen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine irreduzible Kurve auf einer komplexen Fläche ist eine (evtl. singuläre) geschlossene, komplex -dimensionale Untermannigfaltigkeit, die nicht als Vereinigung zweier solcher Untermannigfaltigkeiten zerlegt werden kann. Nach dem Satz von Lefschetz über -Klassen ist eine Kohomologieklasse in genau dann eine ganzzahlige Linearkombination von Kurven, wenn sie zu gehört.

Für nichtsinguläre Kurven gilt die Adjunktionsformel .

Geradenbündel auf Flächen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede Klasse in entspricht einem glatten komplexen Geradenbündel, aber nur Klassen in sind Chern-Klassen holomorpher Geradenbündel. Wenn ist, dann ist die Isomorphieklasse eines holomorphen Geradenbündels durch seine Chern-Klasse festgelegt.

Für einen meromorphen Schnitt bezeichnen und die aus den Null- bzw. Polstellen bestehenden Kurven, dann repräsentiert die Linearkombination die Chern-Klasse des Geradenbündels. Das holomorphe Geradenbündel hat genau dann einen holomorphen Schnitt, wenn die Chern-Klasse eine Linearkombination mit positiven Koeffizienten aus Kurven in der Fläche ist. Die Dimension des Raums der holomorphen Schnitte lässt mit dem Satz von Riemann-Roch abschätzen.

Für das kanonische Bündel einer komplexen Fläche folgt aus dem Signatursatz von Hirzebruch .

Ein Geradenbündel heißt nef („numerically eventually free“), wenn für alle Kurven gilt.

Enriques-Kodaira-Klassifikation

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine einfach zusammenhängende komplexe Fläche. Dann gibt es eine Folge von Blow-Downs so dass entweder

  • ist nef (in diesem Fall heißt das minimale Modell von ), oder
  • ist ein -Bündel über (in diesem Fall ist eine Regelfläche), oder
  • (in diesem Fall ist eine rationale Fläche).

Für die minimalen Modelle, also für einfach zusammenhängende komplexe Flächen, deren kanonisches Bündel nef ist, hat man:

  • wenn für jede Kurve gilt, dann ist eine K3-Fläche,
  • wenn es eine Kurve mit und gibt, dann ist eine elliptische Fläche,
  • andernfalls heißt Fläche allgemeinen Typs.
  • A. Scorpan: The wild world of 4-manifolds. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2005, ISBN 0-8218-3749-4/hbk