Satz vom Dreizack

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Satz vom Dreizack:
Alle roten Strecken sind gleich lang, vor allem:
(Dreizack).

Der Satz vom Dreizack (nach den russischen Bezeichnungen лемма о трезубце (wörtlich: Lemma über den Dreizack)[1][2] und теорема трилистника (wörtlich: Satz vom Trillium)[3]) ist eine Aussage aus der Elementargeometrie, die eine Eigenschaft von Umkreis und Inkreis eines Dreiecks beschreibt.

In einem Dreieck sei der Mittelpunkt seines Inkreises und der Schnittpunkt von (Winkelhalbierende in ) mit seinem Umkreis, dann besagt der Satz vom Dreizack:[4]

  • Die Strecken , und sind gleich lang, das heißt .
  • liegen auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt ist. Insbesondere liegt damit der Mittelpunkt des Kreises durch und auf dem Umkreis des Dreiecks .

Betrachtet man zusätzlich den Mittelpunkt .des Ankreises der Seite , so liegt dieser auf demselben Kreis wie sowie auf der Geraden , so dass Strecke der Durchmesser dieses Kreises ist.[5] Die Länge des Durchmessers beträgt dabei:

[6]

Hierbei steht für den Radius des Umkreises des Dreiecks .

Der Mittelpunkt des gemeinsamen Kreises von entspricht zudem dem Südpol im Südpolsatz.

Einzelnachweise

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  1. Р. Н. Карасёв, В. Л. Дольников, И. И. Богданов, А. В. Акопян: Задачи для школьного математического кружка. Problem 1.2, S. 4 (rkarasev.ru [PDF]).
  2. 6. Лемма о трезубце. (PDF) СУНЦ МГУ им. М. В. Ломоносова – школа им. А.Н. Колмогорова, 29. Oktober 2014;.
  3. И. А. Кушнир: Это открытие – золотой ключ Леонарда Эйлера. (PDF; 186 kB) Ф7 (Теорема трилистника), S. 34; Beweis auf S. 36
  4. Alexey A. Zaslavsky, Mikhail B. Skopenkov: Mathematics via Problems: Part 2: Geometry. AMS, 2021, ISBN 978-1-4704-4879-0. S. 15
  5. Evan Chen: Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. AMS, 2021, ISBN 978-1-4704-6620-6, S. 9–10 (Auszug Google)
  6. Eric W. Weisstein: Incenter-Excenter Circle. In: MathWorld (englisch).