Ward-Takahashi-Identität

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Die Ward-Takahashi-Identität, benannt nach dem britischen Physiker John Clive Ward und dem japanischen Physiker Yasushi Takahashi, ist eine Relation zwischen Korrelationsfunktionen in der Quantenelektrodynamik. Ihre allgemeine Form erhielten sie 1957 durch Takahashi[1]; der Spezialfall der Ward-Identität war bereits 1950 durch Ward aufgestellt worden.[2]

Der Fall nichtabelscher Eichtheorien ist verwickelter, hier hat man die Slawnow-Taylor-Identitäten.[3]

Die Ward-Takahashi-Identität lässt sich aus den Dyson-Schwinger-Gleichungen herleiten und lautet:

Dabei ist

  • die Fourier-Transformierte einer Korrelationsfunktion, die den Dirac-Strom enthält:
  • die Korrelationsfunktionen, in denen der Impuls des Dirac-Stroms zum Impuls eines ein- bzw. ausgehenden Fermions addiert/subtrahiert wurde:

Ward-Identität

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Aus der Ward-Takahashi-Identität lässt sich der Spezialfall der Ward-Identität ableiten, wenn

  • ein Matrixelement der Streumatrix ist sowie
  • auf der rechten Seite alle ein- und auslaufenden Fermionen on shell sind, also real, beobachtbar und der Energie-Impuls-Relation gehorchend.

Dann heben sich die beiden Terme auf der rechten Seite der Identität unter Zuhilfenahme der LSZ-Reduktionsformel weg, und nur die linke Seite bleibt übrig:

Die Ward-Identität liefert einen wichtigen Beitrag zur Renormierung der Quantenelektrodynamik, da sie als symmetrieerhaltende Eigenschaft den Divergenzgrad von Photonenschleifen herabsetzt. Dies führt dazu, dass in der Quantenelektrodynamik kein Hierarchieproblem auftritt.

Einzelnachweise

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  1. Yasushi Takahashi, Nuovo Cimento, Ser 10, 6 (1957) 370.
  2. J.C. Ward, Phys. Rev. 78, (1950) 182
  3. Andrei Slavnov: Slavonov Taylor Identities, Scholarpedia