Gumbel-Verteilung

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Die Gumbel-Verteilung (nach Emil Julius Gumbel), die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Extremal–I–Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie die Fréchet-Verteilung zu den Extremwertverteilungen gehört. Die Verteilung heißt auch doppelte Exponentialverteilung.[1]

Dichtefunktion f(x) der Gumbel-Verteilung

Eine stetige Zufallsgröße genügt einer Gumbel-Verteilung mit Skalenparameter und Lageparameter , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

und damit die Verteilungsfunktion

besitzt.

Werden keine Parameter angegeben, so sind die Standard-Parameter und gemeint. Dieser Spezialfall wird manchmal auch als Doppelexponentialverteilung bezeichnet.[2] Damit ergibt sich die Dichte

und die Verteilungsfunktion

Durch die affin-linearen Transformationen mit erhält man die oben angegebene Lage-Skalen-Familie von Verteilungen mit den Eigenschaften

  • ,
  • ,
  • und

Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert

.

Dabei ist die Euler-Mascheroni-Konstante.

Die Varianz einer Gumbelverteilung ist

.

Standardabweichung

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Die Standardabweichung einer Gumbelverteilung ist

.

Sie wird u. a. in folgenden Bereichen benutzt:

Beziehung zu anderen Verteilungen

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Beziehung zur Extremwertverteilung

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Die Gumbel-Verteilung mit den Parametern und ist eine Extremwertverteilung vom Typ I[1] und ergibt sich als Spezialfall für aus der verallgemeinerten Extremwertverteilung, die die Extremwertverteilungen der Typen I, II und III und die zugehörigen Verteilungstypen in einer Verteilungsfamilie zusammenfasst.

Einzelnachweise

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  1. a b P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Exponentialverteilung, doppelte, S. 111-112.
  2. Hans-Otto Georgii: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 5. Auflage. De Gruyter, Berlin / Boston 2015, ISBN 978-3-11-035969-5, S. 166, doi:10.1515/9783110359701.