Rayleigh-Verteilung

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Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in Abhängigkeit von

In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik wird mit Rayleigh-Verteilung (nach John William Strutt, 3. Baron Rayleigh) oder Betragsverteilung 2. Art eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet.

Wenn die Komponenten eines zweidimensionalen Zufallsvektors normalverteilt und stochastisch unabhängig sind, dann ist der Betrag Rayleigh-verteilt. Dies tritt zum Beispiel in einem funktechnisch genutzten Übertragungskanal bei Mobilfunksystemen auf, wenn zwischen dem Sender, wie einer Basisstation, und dem Empfänger, beispielsweise einem Mobiltelefon, kein direkter Sichtkontakt besteht. Der durch die Mehrwegeausbreitung über verschiedene, zufällige Reflexion und Streuungen, beispielsweise an Gebäudewänden und anderen Hindernissen, beeinträchtigte Übertragungskanal lässt sich dann mit Hilfe der Rayleigh-Verteilung als sogenannter Rayleigh-Kanal modellieren.

Die Verteilung von 10-Minutenmittelwerten der Windgeschwindigkeit werden ebenfalls des Öfteren durch eine Rayleigh-Verteilung beschrieben, wenn nicht eine zweiparametrige Weibull-Verteilung gewählt werden soll.

Eine stetige Zufallsvariable heißt Rayleigh-verteilt mit Parameter , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

besitzt. Daraus ergibt sich die Verteilungsfunktion

Die Momente beliebiger Ordnung können über folgende Formel errechnet werden:

,

wobei die Gammafunktion darstellt.

Der Erwartungswert ergibt sich zu

.

Die Varianz der Verteilung ist

.

Somit ist das Verhältnis zwischen Erwartungswert und Standardabweichung bei dieser Verteilung konstant:

.

Für die Schiefe erhält man

.

Wölbung (Kurtosis)

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Die Wölbung ergibt sich zu

.

Charakteristische Funktion

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Die charakteristische Funktion ist

.

wobei die komplexe Fehlerfunktion ist.

Momenterzeugende Funktion

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Die momenterzeugende Funktion ist gegeben durch

,

wobei wiederum die Fehlerfunktion ist.

Die Entropie, ausgedrückt in nats, ergibt sich zu

,

wobei die Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.

Das Maximum erreicht die Rayleigh-Verteilung für , denn für gilt

.

Damit ist der Modus der Rayleigh-Verteilung.

Im Maximum hat den Wert

.

Parameterschätzung

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Die Maximum-Likelihood-Schätzung von aus Messwerten erfolgt über:

Beziehungen zu anderen Verteilungen

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Die Chi-Verteilung, Weibull-Verteilung und Rice-Verteilung sind Verallgemeinerungen der Rayleigh-Verteilung.

Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung

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Wenn , dann ist Chi-Quadrat-verteilt mit zwei Freiheitsgraden:

Beziehung zur Weibull-Verteilung

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Beziehung zur Rice-Verteilung

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Beziehung zur Exponentialverteilung

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Wenn exponentialverteilt mit ist, dann ist .

Beziehung zur Gammaverteilung

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Wenn , dann ist gammaverteilt mit den Parametern und : .

Beziehung zur Normalverteilung

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ist Rayleigh-verteilt, wenn und zwei stochastisch unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen sind.

  • Edgar Dietrich, Alfred Schulze: Statistische Verfahren zur Maschinen- und Prozessqualifikation. 6. Auflage. Carl Hanser Verlag, 2009, ISBN 978-3-446-41525-6.