Simson-Identität

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Die Cassini-Identität oder Simson-Identität beschreibt eine Beziehung dreier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen. Sie ist nach Giovanni Domenico Cassini (1625–1712) beziehungsweise Robert Simson (1687–1768) benannt, die sie unabhängig voneinander bewiesen, und zudem ein Spezialfall der allgemeineren Identität von Catalan.

Identität und Verallgemeinerungen

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Für drei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen mit gilt:[1]

Dies ist ein Spezialfall der Identität von Catalan ()[2]

,

die sich wiederum zur Identität von Vadja () verallgemeinern lässt: [3]

.

Ein sehr kurzer Beweis der Cassini-Identität ergibt sich aus der Matrixdarstellung der Fibonacci-Zahlen:[4]

Der französische Astronom und Mathematiker Cassini bewies die Identität 1680 und der schottische Mathematiker Simson unabhängig davon 1753.[2] Allerdings war die Identität vermutlich auch schon Johannes Kepler um 1608 bekannt.[5] Der belgische Mathematiker Eugène Charles Catalan (1814–1894) publizierte die nach ihm benannte Identität 1879.[2] Der britische Mathematiker Steven Vajda (1901–1995) schrieb ein Buch über Fibonaccizahlen (Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section: Theory and Applications, 1989), in dem die nach ihm benannte Identität enthalten ist.[3][6] Allerdings wurde diese Identität auch schon 1960 von Dustan Everman im The American Mathematical Monthly veröffentlicht.[2]

Einzelnachweise

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  1. Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt. Spektrum, Heidelberg/Berlin/Oxford 1996. ISBN 3-86025-404-9, S. 91–93
  2. a b c d Thomas Koshy: Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. Wiley, 2001, ISBN 9781118031315, S. 74–75, 83, 88
  3. a b Douglas B. West: Combinatorial Mathematics. Cambridge University Press, 2020, S. 61
  4. Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms. Addison-Wesley, ISBN 0-201-89683-4, S. 81
  5. Miodrag Petkovic: Famous Puzzles of Great Mathematicians. AMS, 2009, ISBN 9780821848142, S. 30–31
  6. Steven Vadja: Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section: Theory and Applications. Dover, 2008, ISBN 978-0486462769, S. 28 (Erstpublikation 1989 bei Ellis Horwood)