π-System
Ein -System, auch durchschnittstabiles Mengensystem oder kurz schnittstabiles System genannt, ist ein spezielles Mengensystem, das im axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Maßtheorie verwendet werden kann.
Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Gegeben sei ein Mengensystem , also eine Teilmenge der Potenzmenge einer Grundmenge . heißt ein -System, durchschnittstabiles Mengensystem oder schnittstabiles System, wenn für beliebige zwei Mengen aus dem Mengensystem gilt, dass ist.
Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für eine beliebige Grundmenge sei das Mengensystem
aller endlichen Teilmengen gegeben. Für zwei beliebige ist nun , der Schnitt endlicher Mengen ist immer endlich. Also ist auch , es handelt sich somit um ein schnittsstabiles System.
Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Ist das Mengensystem stabil unter Komplementbildung, so ist es genau dann durchschnittsstabil, wenn es vereinigungsstabil ist. Dies folgt direkt aus den de Morganschen Gesetzen.
- Ist das Mengensystem stabil unter Differenzmengenbildung, dann ist es auch ein π-System. Dies folgt aus .
Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Durchschnittsstabile Mengensysteme treten an einigen Stellen in der Wahrscheinlichkeitstheorie und Stochastik auf. So ist die Durchschnittsstabilität eine wichtige Voraussetzung an den Erzeuger einer σ-Algebra, um nur auf diesem Erzeuger die stochastische Unabhängigkeit der Zufallsvariablen überprüfen zu müssen.
Wichtigste Anwendung ist der sogenannte dynkinsche π-λ Satz. Ist ein -System, dann stimmen die von erzeugte -Algebra und das erzeugte Dynkin-System überein, es gilt also
- .
Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, S. 20, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.
- Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2., überarbeitete Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-11-013626-0.
- Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.