Modul (Mathematik)

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Ein Modul [ˈmoːdʊl] (Maskulinum, Plural: Moduln [ˈmoːdʊln], die Deklination ist ähnlich wie die von Konsul; von lateinisch modulus, Verkleinerungsform von modus, „Maß“, „Einheit“) ist eine algebraische Struktur, die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums darstellt.

Ähnlich wie bei Ringen wird je nach Teilgebiet und Lehrbuch unter einem Modul etwas Unterschiedliches verstanden. Ebenfalls leicht abweichend sind dann die Definitionen von Morphismen sowie Unter- und Oberstrukturen. Mathematisch ausgedrückt handelt es sich bei diesen unterschiedlichen Modulbegriffen um unterschiedliche Kategorien.

Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement

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Ein Modul über einem kommutativen Ring oder kurz -Modul ist eine additive abelsche Gruppe zusammen mit einer Abbildung

          (genannt Multiplikation mit Skalaren, Skalarmultiplikation[1]),

so dass gilt:

Fordert man zusätzlich noch für ein Einselement mit

,

so nennt man den -Modul unitär (englisch: unital). Manche Autoren verlangen für Ringe grundsätzlich die Existenz eines Einselements, und dann ebenfalls für Moduln über Ringen.[2] Ist ein Körper, bildet also zusätzlich eine abelsche Gruppe, so sind die unitären Moduln über gerade die Vektorräume über .

Bemerkung: Der Begriff des Vektorraums ist also eigentlich überflüssig, da er ein Spezialfall des allgemeineren Begriffs des unitären Moduls ist. Tatsächlich ermöglicht aber die Zusatzbedingung, dass ein Körper ist, so viele Ergebnisse, die in der allgemeinen Situation nicht richtig sind, dass es üblich ist, den Spezialfall durch einen eigenen Begriff vom allgemeinen Fall abzugrenzen.

Das Studium von Moduln über kommutativen Ringen ist Gegenstand der kommutativen Algebra.

Abelsche Gruppen

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Jede additive abelsche Gruppe ist auf eindeutige Weise ein unitärer -Modul, d. h. ein unitärer Modul über dem kommutativen Ring der ganzen Zahlen. Sei . Wegen

muss für mit gelten:

und analog:

 [3]

Da diese einzig mögliche Verknüpfung aber die Modulaxiome erfüllt, folgt die Behauptung.[4] Folgende Zahlenbereiche sind additive Gruppen und damit -Moduln:

Oberringe als Moduln

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Ist ein Oberring von , so ist definitionsgemäß eine abelsche Gruppe.

Schränkt man die Ringmultiplikation von auf die Menge ein, so definiert dies die nötige Skalarmultiplikation, um in natürlicher Weise als Modul über zu betrachten. Besitzen und dasselbe Einselement, so ist der Modul unitär.

Sind und sogar Körper, so spricht man in dieser Situation von einer Körpererweiterung. Die Modulstruktur wird dann, wie oben beschrieben, zu einer Vektorraumstruktur. Die Betrachtung dieser Vektorraumstruktur ist ein unverzichtbares Hilfsmittel bei der Untersuchung von Körpererweiterungen.

Bemerkung: Die im vorherigen Kapitel genannten Zahlbereiche sind alle Oberringe von , was ebenfalls zeigt, dass sie in natürlicher Weise -Moduln sind.

Vektorräume mit einer linearen Abbildung in sich selbst

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Sei der Polynomring über einem Körper . Dann entsprechen die -Moduln eins-zu-eins den Paaren bestehend aus einem -Vektorraum und einem Endomorphismus auf :

  • Sei ein -Modul. Wir stellen fest, dass auch ein -Vektorraum ist, da in eingebettet ist. Sei dieser Vektorraum. Das zu gehörige Paar ist nun , wobei durch
gegeben ist.
  • Zu einem Paar definieren wir eine -Modulstruktur durch
und setzen das -linear auf fort, d. h., für alle
setzen wir
.

Jeder Ring ist ein Modul über sich selbst mit der Ringmultiplikation als Operation. Die Untermoduln entsprechen dann genau den Idealen von (da in diesem Abschnitt kommutativ ist, brauchen wir nicht zwischen Links- und Rechtsidealen zu unterscheiden).

Moduln über einem beliebigen Ring

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Es sei ein Ring. Ist dieser Ring nicht (unbedingt) kommutativ, so muss man zwischen Links- und Rechtsmoduln unterscheiden.

Ein -Linksmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einem Ring und einer Abbildung

die in beiden Argumenten additiv ist, d. h. für alle gilt

  • und

und für die

  • für alle

gilt.

Wird vorausgesetzt, dass ein unitärer Ring mit einem Einselement ist, so fordert man meist auch, dass der -Linksmodul unitär (englisch: unital) ist, d. h.

  • für alle .

Manche Autoren verlangen für Ringe und Moduln grundsätzlich die Existenz eines Einselements.[2]

Ein Rechtsmodul wird ähnlich definiert, außer dass die Skalare des Rings von rechts auf die Elemente von wirken:
Ein -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einer in beiden Argumenten additiven Abbildung

so dass

für alle

Ein Rechtsmodul über einem unitären Ring mit Einselement ist unitär, wenn

für alle gilt.

Ist kommutativ, so stimmen die Begriffe Links- und Rechtsmodul (bis auf die Schreibweise) überein, und man spricht einfach von -Moduln. Üblicherweise wird die obige Notation für Linksmoduln verwendet.

Alternative Definitionen

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  • Ein -Linksmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus
Dabei ist der Ring der Endomorphismen von mit der Verkettung als Produkt:
für
  • Ein -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus
Dabei sei der Gegenring des Endomorphismenrings, das heißt der Ring der Endomorphismen von mit der Rechtsverkettung als Produkt:
für

Es seien und Ringe. Dann ist ein --Bimodul eine abelsche Gruppe zusammen mit einer -Linksmodul- und einer -Rechtsmodulstruktur, so dass

für

gilt.

Für unitäre Ringe und lässt sich ein unitärer --Bimodul (d. h. mit für alle ) alternativ beschreiben als eine abelsche Gruppe zusammen mit einem unitären Ringhomomorphismus

Das heißt: Ein unitärer --Bimodul ist nichts anderes als ein unitärer -Linksmodul.

Wechsel des Rings

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und seien Ringe und sei ein Ringhomomorphismus. Für jeden -Modul definiert die Vorschrift

eine -Modulstruktur auf , die die mit und der -Modulstruktur assoziierte genannt wird. Dieser -Modul wird mit oder mit bezeichnet. Ist insbesondere ein Unterring von und die kanonische Einbettung, dann wird der durch Einschränkung der Skalare von auf erhaltene -Modul genannt.

Ist ein Untermodul von , dann ist ein Untermodul von und [5]

Moduln über einer assoziativen Algebra

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Ist ein kommutativer Ring und eine assoziative R-Algebra, so ist ein -Linksmodul ein -Modul zusammen mit einem -Modulhomomorphismus

so dass

für

gilt.

Ein -Rechtsmodul ist ein -Modul zusammen mit einem -Modulhomomorphismus

so dass

für

gilt.

Unitäre Moduln und Bimoduln sind analog zum Fall der Ringe definiert.

Moduln über einer Lie-Algebra

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Es sei eine Lie-Algebra über einem Körper . Ein -Modul oder eine Darstellung von ist ein -Vektorraum zusammen mit einer -bilinearen Abbildung

so dass

für

gilt.

Alternativ ist ein -Modul ein -Vektorraum zusammen mit einem Homomorphismus von Liealgebren über

dabei ist die -Algebra der Endomorphismen von mit dem Kommutator als Lieklammer.

-Moduln sind dasselbe wie Moduln unter der universellen einhüllenden Algebra von .

Moduln über einer Gruppe

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Es sei eine Gruppe. Ein -Modul oder genauer -Linksmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einer äußeren zweistelligen Verknüpfung

,

so dass

für alle

und

für alle

sowie

für das neutrale Element von und für alle

gilt.

Ein -Rechtsmodul ist analog definiert; die zweite Bedingung ist durch

für alle

zu ersetzen.

Alternativ dazu ist ein -(Links-)Modul eine abelsche Gruppe zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

dabei ist die Gruppe der Automorphismen von mit der Verknüpfung

für

Ein -Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

das Produkt auf ist durch

für

gegeben.

Ist weiter ein Ring, so ist ein --Modul eine abelsche Gruppe mit einer -Modul- und einer -Modulstruktur, die in dem folgenden Sinne kompatibel sind:

für

Alternativ ist ein --Modul ein -Modul zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

dabei ist die Gruppe der Automorphismen von als -Modul.

--Moduln sind dasselbe wie Moduln über dem Gruppenring .

Ist speziell ein Körper, so stimmt der Begriff des --Moduls mit dem der -linearen Darstellung von überein.

Wiktionary: Modul – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Alexander von Felbert: Einführung in die Modultheorie.

Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. nicht zu verwechseln mit Skalarprodukt
  2. a b David S. Dummit, Richard M. Foote: Abstract Algebra. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, NJ 2004, ISBN 978-0-471-43334-7.
  3. Hier wurde die abelsche Gruppe additiv geschrieben.
  4. Ein solcher -Modul muss keine Basis haben, nämlich bei Moduln mit Torsionselementen.
  5. Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics, Algebra I, Chapters 1–3. 2. Auflage. Springer, 1998, ISBN 3-540-64243-9, § 3. Tensor products, 2., S. 221 (Internet Archive).