Satz von Miljutin

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Der Satz von Miljutin (englisch Miljutin's theorem oder Milyutin's theorem oder Milutin's theorem) ist ein bedeutender Satz aus der Theorie der banachschen Funktionenräume stetiger reellwertiger Funktionen und gehört als solcher dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis an. Er geht auf eine Publikation des Mathematikers Alexej Alexejewitsch Miljutin (1925–2001) aus dem Jahre 1966 zurück und liefert eine grundlegende Isomorphieaussage für eine gewisse Klasse dieser Funktionenräume.[1][2][3]

Darstellung des Satzes

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Er besagt folgendes:[4][2]

Gegeben seien das reelle Einheitsintervall mit dem zugehörigen -Banachraum der stetigen reellen Funktionen und in gleicher Weise ein weiterer kompakter, metrischer Raum mit dem zugehörigen -Banachraum der stetigen reellen Funktionen , beide jeweils versehen mit der Supremumsnorm .[A 1]
Dann gilt:
Ist als Menge überabzählbar, so ist zu isomorph.
Insbesondere gilt weiter:
Für je zwei überabzählbare kompakte metrische Räume und sind die zugehörigen banachschen Funktionenräume und stets isomorph.

Es wird berichtet, dass Miljutin seinen Satz schon im Jahre 1952 im Rahmen seiner Dissertation vorgetragen, jedoch zunächst nicht in einer Fachzeitschrift veröffentlicht hätte. Erst Aleksander Pełczyński soll anlässlich eines Aufenthalts in Moskau in den 1960er Jahren Miljutin gedrängt haben, den Satz zu publizieren, woraufhin er in 1966 zur Veröffentlichung kam.[5] Hinsichtlich des Hintergrunds ist zu erwähnen, dass schon im Jahre 1932 Stefan Banach in seinem Werk Théorie des opérations linéaires die Frage aufgeworfen hatte, ob eine Isomorphie der beiden Funktionenräume und gegeben sei.[6][A 2]

Verwandter Satz

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Auf den polnischen Mathematiker Karol Borsuk geht ein verwandter Satz aus dem Jahre 1933 zurück:[7][2][A 3]

Gegeben seien ein unendlicher, kompakter, metrischer Raum mit dem zugehörigen -Banachraum der stetigen reellen Funktionen sowie eine abgeschlossener Unterraum mit dem zugehörigen -Banachraum der stetigen reellen Funktionen , beide jeweils versehen mit der Supremumsnorm .
Dann gilt:
Es existiert ein stetiger linearer Operator mit folgenden Eigenschaften:
(i)
(ii) [A 4]
(iii) [A 5]

Einzelnachweise

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  1. Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. 2006, S. 73, S. 87–88, S. 93–94
  2. a b c Graham R. Allan: Introduction to Banach Spaces and Algebras. 2011, S. 149
  3. Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. 2007, S. 137, S. 658
  4. Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. 2006, S. 73, S. 94
  5. Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. 2006, S. 88
  6. Albrecht Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. 2007, S. 137
  7. Fernando Albiac, Nigel J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. 2006, S. 89
  1. Nach dem Weierstraß'schen Satz vom Maximum stimmt hier die Supremumsnorm mit der Maximumsnorm überein.
  2. Albrecht Pietsch verweist allerdings in seiner History of Banach Spaces and Linear Operators von 2007 nicht auf Pełczyńskis Rolle, sondern auf die Einflussnahme eines Mathematikers namens Wladimir Gurarij bzw. Vladimir I. Gurarii (1935–2005).
  3. Die dem borsukschen Satz zu Grunde liegende Fragestellung ähnelt, wie Graham R. Allan (vgl. Oxford 2011) anmerkt, der des tietzeschen Fortsetzungssatzes, wobei es Borsuk darum ging, eine lineare Fortsetzung zu gewinnen.
  4. Hier steht die für die jeweilige konstante Funktion, deren jeweilige Bildmenge exakt aus der Zahl besteht.
  5. ist die Operatornorm.