Formhypothesen

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Als Formhypothesen bezeichnet man in der mathematischen Statistik eine Erweiterung des Standardformalismus bei Konfidenzbereichen. Dabei wird durch die Formhypothesen vorgegeben, welche Werte im Konfidenzbereich enthalten sein sollen und welche nicht. Dies ermögliche die Formulierung von Optimalitätsbegriffen für Konfidenzbereich wie beispielsweise gleichmäßig beste Konfidenzbereiche. Über das duale Konzept der zugehörigen Testhypothesen lässt sich dann eine Beziehung von Konfidenzbereichen und Tests herstellen, mit der sich Konfidenzintervalle aus Test konstruieren lassen und umgekehrt.

Gegeben sei ein statistisches Modell , wobei die Indexmenge der Wahrscheinlichkeitsmaße ist. Des Weiteren sei eine zu schätzende Funktion

gegeben, die im parametrischen Fall meist als Parameterfunktion bezeichnet wird und in den Entscheidungsraum abbildet.

Als Formhypothesen zu wird dann eine Familie bezeichnet, so dass und ist sowie

für alle

Anschaulich enthält alle „korrekten“ Werte, welche von dem Konfidenzbereich möglichst überdeckt werden sollen. Analog enthält alle „inkorrekten“ Werte, die möglichst nicht im Konfidenzbereich enthalten sein sollen.

Gegeben sei ein einfaches statistisches Modell , wobei die Normalverteilung mit Varianz eins ist. Geschätzt werden soll der Mittelwert, also ist

.

Somit sind die Indexmenge und der Entscheidungsraum beide gleich, es ist .

Mögliche Formhypothesen wären

sowie für alle .

Diese sagen aus, dass der Bereich, welcher symmetrisch um den Mittelwert liegt möglichst überdeckt werden soll, wohingegen alles außerhalb möglichst nicht überdeckt werden soll. Zu beachten ist, dass in der Definition nicht gefordert wird, dass , die Hypothesen also für jedes den Entscheidungsraum disjunkt zerlegen. So wäre in diesem Beispiel durchaus möglich, oder zu wählen.

Konfidenzbereiche zu Formhypothesen

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Ist ein Konfidenzbereich

gegeben sowie Formhypothesen , so heißt ein Konfidenzbereich für zum Konfidenzniveau , wenn für alle gilt:

für alle .

Wählt man als Formhypothesen

,

und beliebig (aber disjunkt), so lautet der Konfidenzbereich zu den Formhypothesen

für alle

und entspricht somit genau der klassischen Formulierung eines Konfidenzbereiches zum Konfidenzniveau .

Analog zu den Formhypothesen werden die Testhypothesen zu gegebenen Formhypothesen definiert. Im Gegensatz zu diesen sind sie Teilmengen der Indexmenge statt des Entscheidungsraumes .

Gegeben seien Formhypothesen . Dann heißt , definiert durch

und

die Testhypothesen zu den Formhypothesen.

Führt man das obige Beispiel fort, so erhält man

und

In diesem Beispiel sind die Formhypothesen und die Testhypothesen identisch, auch wenn sie formell auf verschiedenen Mengen definiert sind: Einmal auf der Indexmenge und einmal auf dem Entscheidungsraum . Im Allgemeinen stimmen diese beiden Mengen nicht überein.