Relativierung (Mengenlehre)

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Im mathematischen Gebiet der Mengenlehre bedeutet Relativierung, dass man mengentheoretische Aussagen in Bezug auf eine Eigenschaft, die die insgesamt betrachteten Mengen einschränkt, betrachtet. Derartige Relativierungen spielen eine wichtige Rolle in der Modelltheorie der Mengenlehre.

Wir betrachten in diesem Kapitel die Mengenlehre in der Sprache der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (kurz ZF), diese besteht aus für die Elementbeziehung, der Gleichheit von Mengen und den üblichen logischen Symbolen sowie Variablen für Mengen. Die daraus korrekt gebildeten Formeln bzw. Aussagen sind Untersuchungsgegenstand der Mengenlehre. Alle anderen Symbole der Mengenlehre sind darauf aufbauend definierbar, so zum Beispiel die Teilmengenbeziehung

Ferner sei ein Prädikat gegeben, das heißt eine mengentheoretische Aussage mit einer freien Variablen. Ist eine Menge, so kann man diese an die Stelle der freien Variablen setzen, und wir schreiben einfach , wenn daraus eine auf zutreffende Aussage entsteht. Ein einfaches und zugleich wichtiges Beispiel ist das Prädikat , wobei eine gegebene Klasse oder Menge und die freie Variable ist. In diesem Fall bedeutet einfach, dass ein Element von ist.

Wir wollen nun mengentheoretische Formeln bzgl. relativieren, das heißt auf alle mit einschränken, indem wir zu einer Formel übergehen, die genau diese Einschränkung vornimmt und die -Relativierung von heißt. Wir definieren wie folgt über den Aufbau der Formel aus oben genannten Symbolen[1]:

Dabei sind und mengentheoretische Formeln, die auch Parameter, das heißt weitere freie Variablen, enthalten dürfen. So sind die letzten beiden Definitionen nur für solche sinnvoll, die als freie Variable enthalten (sollte in auch als gebundene Variable auftreten, so ist diese entsprechend umzubenennen, diese übliche Vereinbarung wird hier stillschweigend angenommen). Wie obige Definition zeigt, sind nur die Quantoren und von der -Relativierung betroffen, was der intuitiven Vorstellung einer Einschränkung auf entgegenkommt.

Als Prädikat nehmen wir , also die Zugehörigkeit zu einer Klasse . Wir wollen die -Relativierung auf die Formel

anwenden. Dies ist übrigens eine im ZF-Mengenuniversum wahre Aussage, wenn man für den Parameter die leere Menge nimmt, denn es wird dann ausgesagt, dass jede von der leeren Menge verschiedene Menge ein Element enthält, aber das spielt für die folgende Relativierung keine Rolle. Das ist natürlich als zu übersetzen. Als erstes müssen wir die Regel für den Allquantor anwenden und erhalten

Auf den noch zu relativierenden Teil der Formel wird nun die Regel für angewendet:

Nun haben wir noch zwei zu relativierende Formelteile. Der linke Teil bereitet wegen der -Regel keine Schwierigkeiten, der rechte Teil enthält wieder einen Quantor und ist entsprechend zu behandeln:

und in einem letzten Schritt erhalten wir

Abhängig von muss diese Aussage nicht mehr wahr sein, selbst wenn man wählt, denn die relativierte Aussage behauptet, dass jedes von verschiedene Element aus ein Element aus enthält, und das hängt natürlich von ab.

Mengentheoretische Symbole

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Um auch Formeln relativieren zu können, die neben den oben genannten Symbolen auch sogenannte definierte Symbole wie Teilmenge , kartesisches Produkt , Durchschnitt und so weiter enthalten, muss man zunächst die Rückübersetzung in die Symbole der oben festgelegten Sprache vornehmen und dann relativieren. Dadurch lässt sich der Begriff -Relativierung auch auf solche Formeln ausdehnen, zum Beispiel

wobei die letzte Gleichheit eine rein logische Umformung ist. Auch dieses Beispiel zeigt, dass sich Aussagen, wie hier eine Teilmengenbeziehung, bei Relativierungen durchaus ändern können. Ein weiteres Beispiel ist

Ist zum Beispiel , das Prädikat und setzt man , so sind die Aussagen und im ZF-Mengenuniversum falsch, die -Relativierungen hingegen sind wahr, denn enthält keine Elemente, auf die das Prädikat zutrifft.

Wir haben gesehen, dass sich der Wahrheitswert einer Aussage durchaus ändern kann, wenn man zu einer -Relativierung übergeht. Aussagen, bei denen das nicht der Fall ist, heißen -absolut. Ist eine Aussage mit Parametern (und keinen weiteren), so sagt man[2]

ist -absolut, falls

das heißt, der Wahrheitswert der Aussage bleibt bei -Relativierung für alle Parameter , die dem Prädikat genügen, erhalten. Entsprechend heißt ein Satz, das heißt eine Aussage ohne Parameter, -absolut, wenn .

Für „ ist -absolut“ sagt man auch „ spiegelt “. Ein wichtiger Satz ist das sogenannte Reflexionsprinzip, nach dem jede Aussage bereits durch eine Stufe der Von-Neumann-Hierarchie gespiegelt wird, wobei hier natürlich das Prädikat „“ gemeint ist.

Eine Formel heißt aufwärts absolut für eine Menge , falls

und abwärts absolut, falls die umgekehrte Implikation

gilt. Offenbar ist eine Formel genau dann absolut für eine Menge, wenn sie zugleich aufwärts und abwärts absolut ist.

Transitive Prädikate

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Eine Klasse heißt transitiv, falls für alle auch . Die Stufen der Von-Neumann-Hierarchie sind Beispiele transitiver Mengen. Für transitive Klassen lassen sich weitere Absolutheitsaussgen beweisen. Die -Formeln in der Levy-Hierarchie sind alle mengentheoretischen Formeln (der oben festgelegten Sprache), die durch folgende Regeln gebildet werden können

  • Jede Formel ohne Quantoren ist eine -Formel
  • Sind und -Formeln, so auch und .
  • Ist eine -Formel, so auch und .

Mit diesen Begriffsbildungen gilt folgender Satz[3]:

  • Ein transitives Prädikat spiegelt jede -Formel.

Beispiele solcher -Formeln sind

  • , das heißt
  • , das heißt
  • ist Nachfolger von , das heißt bzw.

Derartige Aussagen sind also -absolut für jede transitive Klasse . Man kann zeigen, dass Aussagen der Art „ ist Potenzmenge von “ oder „ ist eine Kardinalzahl“ nicht von diesem Typ sind. Daher spielen transitive Relativierungen, das heißt Relativierungen nach transitiven Prädikaten, eine wichtige Rolle in der Modelltheorie der Mengenlehre.

Einzelnachweise

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  1. Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre, Spektrum Verlag 2003, ISBN 3-8274-1411-3, Kap X, Definition 1.1
  2. Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre, Spektrum Verlag 2003, ISBN 3-8274-1411-3, Kap X, Definition 1.3
  3. Thomas Jech: Set Theory, Springer-Verlag (2003), ISBN 3-540-44085-2, Lemma 12.9