Lage-Skalen-Familie

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
(Weitergeleitet von Lagefamilie)
Zur Navigation springen Zur Suche springen

In der Statistik ist eine Lage-Skalen-Familie[1] bzw. Lage- und Skalenfamilie[2] eine Familie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen parametrisiert durch einen Lageparameter und einen nichtnegativen Skalenparameter.

Sei eine reelle Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion , und für und sei[1]

.

Die auf diese Art entstehende Familie von Verteilungen heißt eine von induzierte Lage-Skalen-Familie mit Lageparameter und Skalenparameter . Für spricht man von einer (reinen) Skalenfamilie. Für spricht man von einer Lagefamilie mit dem Lageparameter .

Zusammenhang zwischen den Verteilungsfunktionen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen kann durch die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen ausgedrückt werden. Es gilt

da

Die durch erzeugte Lage-Skalen-Familie mit dem Lageparameter und dem Skalenparamater kann damit durch die zweiparametrige Menge von Verteilungsfunktionen

charakterisiert werden.

Zusammenhang zwischen den Quantilfunktionen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist auf stetig und streng monoton, dann ist auch die Verteilungsfunktion von auf stetig und streng monoton und es gilt:[1]

.

Im Fall einer reinen Skalenfamilie gilt

.
  • Die Normalverteilungen bilden eine Lage-Skalen-Familie mit dem Lageparameter und dem Skalenparamater . Die zugehörige Menge der Verteilungsfunktionen ist
,
wobei die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet. Dabei ist zugleich der Erwartungswert und ist zugleich die Standardabweichung von .
für bilden eine Skalen-Familie mit dem Skalenparameter . Dabei ist zugleich die Standardabweichung von .
  • Aus der Standard-Cauchyverteilung mit der Verteilungsfunktion
.
kann die Lage-Skalen-Familie gebildet werden, indem ausgehend von die Verteilungen von für und gebildet werden. Die Verteilungsfunktion von ist
.
Für die Cauchyverteilungen sind weder Erwartungswert noch Varianz definiert, so dass der Lageparameter und der Skalenparameter bei dieser Lage-Skalen-Familie nicht als Erwartungswert und Standardabweichung interpretiert werden dürfen.
  • Torsten Becker, Richard Herrmann, Viktor Sandor, Dominik Schäfer, Ulrich Wendisch: Stochastische Risikomodellierung und statistische Methoden – Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch für Aktuare. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-49406-6, Kap. 12.1: Lage-Skalen-Familien, doi:10.1007/978-3-662-49407-3.

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. a b c Torsten Becker et al., S. 357.
  2. location-scale family. Glossary of statistical terms. In: International Statistical Institute. 1. Juni 2011, abgerufen am 19. Mai 2020 (englisch).