Transformationssatz

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Der Transformationssatz (auch Transformationsformel) beschreibt in der Analysis das Verhalten von Integralen unter Koordinatentransformationen. Er ist somit die Verallgemeinerung der Integration durch Substitution auf Funktionen höherer Dimensionen. Der Transformationssatz wird als Hilfsmittel bei der Berechnung von Integralen verwendet, wenn sich das Integral nach Überführung in ein anderes Koordinatensystem leichter berechnen lässt.

Formulierung des Satzes

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Es sei eine offene Menge und ein Diffeomorphismus. Dann ist die Funktion auf genau dann integrierbar, wenn die Funktion auf integrierbar ist. In diesem Fall gilt:

Dabei ist die Jacobi-Matrix und die Funktionaldeterminante von .

  • Wählt man für die konstante Funktion 1, so stellt die linke Seite der Formel einfach das Volumen bzw. -dimensionale Lebesgue-Maß der Bildmenge dar:
  • Ist außerdem die Abbildung linear oder affin, , wobei eine -Matrix ist und , so ist . Somit gilt

Um zu zeigen, dass das Integral über die Gauß-Glocke

gleich 1 ist, genügt es, die Aussage

zu beweisen. Da die Funktion rotationssymmetrisch ist, liegt die Berechnung des Integrals in Polarkoordinaten statt kartesischen Koordinaten nahe:

Es sei und

Dann ist die Funktionaldeterminante

Das Komplement von ist eine Nullmenge, mit ergibt sich also

Die Auswertung des inneren Integrals in der vorletzten Zeile kann beispielsweise durch eine Substitution begründet werden.