Ohmsches Gesetz

Das ohmsche Gesetz beschreibt einen bei bestimmten elektrischen Leitern vorliegenden proportionalen Zusammenhang zwischen Spannungsabfall $U$ und hindurchfließendem elektrischen Strom $I$ bei konstanter Temperatur. Die Bezeichnung ehrt Georg Simon Ohm, welcher diesen Zusammenhang erstmals in seinem Buch Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet im Jahr 1826 beschrieb. Das Gesetz wurde jedoch erst später nach ihm benannt.

Beschreibung

Mathematisch wird zunächst die Proportionalität von Stromstärke I und Spannung U zur Definition der Größe elektrischer Widerstand benutzt, einer Größe, die mit dem Formelzeichen $R$ bezeichnet wird. Also:

$R={\frac {U}{I}}=\mathrm {const.}$

Das ohmsche Gesetz soll aber mehr sein als nur eine Definitionsgleichung: Der wesentliche Punkt ist die Aussage, dass vielfach der Widerstandes keine Funktion von U bzw. I ist,– zumindest in einem gewissen Spannungs- bzw. Stromstärkebereich, dem jeweiligen Bereich mit „ohmschem Verhalten“ (linearer elektrischer Widerstand → ohmscher Widerstand). Auch bei nicht ohmschem Systemverhalten kann man noch eine Größe „Widerstand“ als Verhältnis U/I definieren, bekommt aber eine Abhängigkeit dieser Größe z. B. von U, was u. a. in Verstärkerschaltungen ausgenutzt wird. Oft verwendet man hier allerdings den differentiellen Widerstand, der den Zusammenhang zwischen einer kleinen Spannungsänderung ΔU und der zugehörigen Stromänderung ΔI beschreibt.

Merkhilfe für die drei Schreibweisen des ohmschen Gesetzes mit dem Wort Uri

Das ohmsche Gesetz stellt sich in drei Schreibweisen dar:

$R={\frac {U}{I}}\ ;\quad U=R\cdot I\ ;\quad I={\frac {U}{R}}$

Lokale Betrachtungsweise/​maxwellsche Materialgleichung

In einer lokalen Betrachtung wird das ohmsche Gesetz durch den linearen Zusammenhang zwischen dem Stromdichte-Vektorfeld $\mathbf {\vec {J}} _{m}$ und dem elektrischen Feldstärke-Vektorfeld $\mathbf {\vec {E}} _{n}$ mit der elektrischen Leitfähigkeit $\mathbf {\sigma }$ als Proportionalitätsfaktor beschrieben, also

$\mathbf {\vec {J}} _{m}=\mathbf {\sigma } _{mn}\,\mathbf {\vec {E}} _{n}\,.$

In isotropen Materialien kann der Tensor $\sigma _{mn}$ durch einen Skalar ersetzt werden, und es gilt:

${\vec {J}}=\mathbf {\sigma } \,{\vec {E}}\,.$

Wenn man die Bewegung freier Elektronen wie die ungeordnete Molekülbewegung eines Gases betrachtet, kann man Konstanz der elektrischen Leitfähigkeit plausibel machen. Die Zähldichte $n$ der Elektronen ist dann innerhalb des Leiters konstant. Die mittlere Geschwindigkeit ${\bar {v}}$ der Elektronen ist

${\bar {v}}=10{,}6\cdot 10^{6}\,{\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}$.

Die mittlere Wegstrecke $\lambda$ zwischen zwei Stößen an Ionen im Metall wird in einer typischen Zeit $\tau _{s}$ zurückgelegt:

$\lambda ={\bar {v}}\,\tau _{s}$.

In dieser Zeit erfahren die Elektronen eine Beschleunigung $a$ durch das angelegte elektrische Feld mit

$a={\frac {e\,E}{m_{e}}}\,,$

wobei $e$ die Elementarladung und $m_{e}$ die Elektronenmasse ist. Die Elektronen erreichen somit eine Driftgeschwindigkeit $v_{d}$ mit $v_{d}=a\tau _{s}$. Setzt man dieses in die Gleichung für $\sigma$ ein, so erhält man:

$\sigma ={\frac {J}{E}}={\frac {n\,e\,v_{d}}{E}}={\frac {n\,e\,a\,\tau _{s}}{E}}={\frac {n\,e^{2}\tau _{s}}{m_{e}}}={\frac {n\,e^{2}\lambda }{m_{e}\,{\bar {v}}}}$.

Die Größen $\lambda$ und ${\bar {v}}$ hängen nur von der Geschwindigkeitsverteilung innerhalb der „Elektronenwolke“ ab. Da die Driftgeschwindigkeit aber circa 10 Größenordnungen kleiner ist als die mittlere Geschwindigkeit ${\bar {v}}$, ändert sich die Geschwindigkeitsverteilung durch das Anlegen eines elektrischen Feldes nicht, und $\lambda$ und $\tau _{s}$ und somit der ganze Ausdruck für $\sigma$ sind konstant.

Ohmscher Widerstand eines Drahtstücks

Man bezeichnet die Größe σ auch als spezifische Leitfähigkeit und ihren Kehrwert κ=(σ)⁻¹ als spezifischen Widerstand. Für den ohmschen Widerstand eines Metalldrahtes der Länge l und der Querschnittsfläche q gilt beispielsweise: $R=\kappa \,{\frac {l}{q}}\,.$

Literatur

• Georg Simon Ohm: Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet. T. H. Riemann, Berlin 1827 (PDF [abgerufen am 7. September 2010]). 

Weblinks

Commons: Ohm's law – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

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