Kreiszahl

Kreiszahl

Die Kreiszahl $\pi$ – auch bezeichnet als Ludolphsche (Ludolfsche) Zahl oder Archimedes-Konstante – ist eine reelle mathematische Konstante.

Die Bezeichnung $\pi$ (gelesen 'pi') als Anfangsbuchstabe des griechischen Worts περίμετρος – perímetros, „Umfang“ oder περιφέρεια – zu lateinisch peripheria, „Randbereich“ nimmt Bezug darauf, dass die Kreiszahl das Verhältnis der Länge einer Kreislinie (des Umfangs eines Kreises) zu seinem Durchmesser angibt. Die Zahl $\pi$ hat in allen Stellenwertsystemen unendlich viele, nicht-periodisch auftretende Nachkommastellen – ihre Dezimaldarstellung bis zur 50. Nachkommastelle lautet:

$\pi =3{,}14159\,26535\,89793\,23846\,26433\,83279\,50288\,41971\,69399\,37510\,\dots$ 

Wo keine besondere Genauigkeit erforderlich ist, wird gerne mit dem Näherungswert 3,14 für $\pi$ gerechnet.

Die Zahl $\pi$ hat eine Reihe besonderer Eigenschaften, insbesondere ist sie transzendent und somit auch irrational, das heißt, sie kann nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen ausgedrückt werden. Die enorme Bedeutung der Zahl $\pi$ liegt darin begründet, dass sie in vielen ganz unterschiedlichen mathematischen Teilgebieten und Theorien auftritt: neben der Geometrie etwa in der Analysis, der Kombinatorik, der Topologie, der Zahlentheorie und der Wahrscheinlichkeitstheorie sowie in der Physik.

Geschichte

Die Erforschung der Kreiszahl hat eine sehr lange mathematische Tradition. Der Mathematiker Archimedes konnte um das Jahr 250 v. Chr. Pi bis auf zwei Nachkommastellen berechnen. Obwohl die Chinesen Liu Hui bzw. Zu Chongzhi im Zeitraum 300 bis 500 schon 6 bis 7 Nachkommastellen kannten, verblieben die Berechnungen des Archimedes in den westlichen Kulturen lange der Status quo. Ab dem 16. Jahrhundert wurden in Europa die Forschungen zur Kreiszahl erneut aufgenommen, wobei sich seit dieser Zeit ein gewisser Wettlauf hinsichtlich der Berechnungsgenauigkeit einstellte. Geometrische Verfahren, die auf der Annäherung des Kreises durch Vielecke basierten, wurden zunehmend durch Methoden der Analysis ersetzt, vornehmlich Berechnungen über unendliche Reihen, die seit Begründung einer rigorosen Trigonometrie zur Verfügung standen. Für heutige Berechnungen ist die Anwendung des Chudnovsky-Algorithmus gängige Praxis.

Im Zeitraum 1761 bis 1767 konnte Johann Heinrich Lambert den mathematischen Beweis erbringen, dass $\pi$ eine irrationale Zahl ist. Dieses Ergebnis wurde 1882 von Ferdinand von Lindemann durch den Beweis, dass $\pi$ eine transzendente Zahl ist, verschärft. Damit grenzt sich die Kreiszahl auch von irrationalen Zahlen ab, die als Lösungen einfacher Gleichungen „sichtbar“ werden. Damit sind Gleichungen gemeint, die nur aus ganzen Zahlen und einer endlichen Abfolge der vier Grundrechenarten aufgebaut sind (triviale Beispiele wie $1=1$ ausgenommen): Beispielsweise ist ${\sqrt {2}}$ zwar irrational, aber nicht transzendent, da es Lösung der Gleichung $x^{2}-2=0$ ist. Allerdings verbleiben viele Fragen weiterhin offen. Es wird zum Beispiel vermutet, dass $\pi$ eine normale Zahl ist, seine Dezimalentwicklung also einem pseudozufälligen Verhalten unterworfen ist.

Herkunft der Bezeichnung

Die Bezeichnung Pi ($\pi$) wurde erstmals von William Oughtred in seiner 1647 veröffentlichten Schrift Theorematum in libris Archimedis de Sphæra & Cylyndro Declaratio verwendet. Darin drückte er mit ${\tfrac {\pi }{\delta }}$ das Verhältnis von halbem Kreisumfang (semiperipheria) zu Halbmesser (semidiameter) aus, d. h. ${\tfrac {\pi }{\delta }}=3{,}1415\ldots$. Dieselben Bezeichnungen benutzte um 1664 auch der englische Mathematiker Isaac Barrow. Im Jahr 1697 nahm David Gregory ${\tfrac {\pi }{\rho }}$ für das Verhältnis von Umfang zu Radius.

59 Jahre später als Oughtred, nämlich im Jahr 1706, setzte der walisische Mathematiker William Jones in seiner Synopsis Palmariorum Matheseos als Erster den griechischen Kleinbuchstaben $\pi$ ein, um das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser auszudrücken. Erst im 18. Jahrhundert wurde $\pi$ durch Leonhard Euler populär. Er verwendete 1737 erstmals $\pi$ für die Kreiszahl, nachdem er zuvor $p$ verwendet hatte. Seitdem ist aufgrund der Bedeutung Eulers diese Bezeichnung allgemein üblich.

Definition

Es existieren mehrere gleichwertige Ansätze, die Kreiszahl $\pi$ zu definieren. Dass die erste und die zweite Definition dieselbe Zahl definieren, bewies bereits Archimedes von Syrakus (vergleiche Kreisfläche):

• Die erste (klassische!) Definition in der Geometrie beruht auf der Proportionalität von Umfang und Durchmesser eines Kreises. Entsprechend lässt sich die Kreiszahl definieren als das Verhältnis von Umfang $U$ zum Durchmesser $d$ des Kreises. Die Kreiszahl entspricht demnach dem Quotienten und Proportionalitätsfaktor $\pi ={\tfrac {U}{d}}$.
• Der zweite geometrische Ansatz (siehe Bild) fußt auf dem Vergleich des Flächeninhalts $A$ eines Kreises mit dem Flächeninhalt des Quadrats über seinem Kreisradius (auch: Halbmesser) $r$, also seinem halben Durchmesser. Aus Gründen der Ähnlichkeit sind diese beiden Flächeninhalte ebenfalls proportional. Entsprechend lässt sich die Kreiszahl $\pi$ definieren als der Quotient bzw. der Proportionalitätsfaktor $\pi ={\tfrac {A}{r^{2}}}$. Man fasst diese zweite Definition in den Merksatz, dass sich eine Kreisfläche zur umgebenden Quadratfläche wie $\pi :4$ verhält.

• 
  Ein Kreis mit dem Durchmesser $1$ hat den Umfang $\pi$

• 
  Kreis mit Mittelpunkt $M$, Durchmesser $d$ und Radius $r$
• 
  Zweiter geometrischer Ansatz:  $\pi ={\frac {A_{Kreis}}{A_{Quadrat}}}$
• 
  $\pi$ als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus

• In der Analysis geht man (nach Edmund Landau) oft so vor, zunächst die reelle Kosinusfunktion $\cos(x)$ über ihre Taylorreihe zu definieren und dann die Kreiszahl als das Doppelte der kleinsten positiven Nullstelle des Kosinus festzulegen.
• Weitere analytische Ansätze gehen auf John Wallis und Leonhard Euler zurück.

Mithin verhält sich also der Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser genauso wie die Fläche des Kreises zum Quadrat des Radius, sprich $U:d=A:r^{2}$. Das jeweilige Verhältnis – der Proportionalitätsfaktor – ist in beiden Fällen die Kreiszahl $\pi$.

Eigenschaften

Irrationalität und Transzendenz

Die Kreiszahl $\pi$ ist transzendent und hat damit unendlich viele Nachkommastellen. Darin sind bislang keine vorhersagbaren Muster erkennbar, die Ziffernfolge erscheint chaotisch.

Die Zahl $\pi$ ist eine irrationale Zahl, also eine reelle, aber keine rationale Zahl. Das bedeutet, dass sie nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen $p,q\in \mathbb {Z}$, also nicht als Bruch ${\tfrac {p}{q}}$, dargestellt werden kann. Das wurde 1761 (oder 1767) von Johann Heinrich Lambert bewiesen.

Tatsächlich ist die Zahl $\pi$ sogar transzendent, was bedeutet, dass es kein vom Nullpolynom verschiedenes Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, das $\pi$ zur Nullstelle hat. So ist auch jede Zahl, die durch algebraische Operationen wie Addition und Multiplikation mit sich selbst und mit ganzen Zahlen aus $\pi$ erzeugt wird, wiederum transzendent. Das wurde erstmals von Ferdinand von Lindemann 1882 bewiesen.

Als Konsequenz ergibt sich daraus, dass es unmöglich ist, $\pi$ nur mit ganzen Zahlen oder Brüchen und Wurzeln auszudrücken, und dass die exakte Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal nicht möglich ist.

Die ersten 100 Nachkommastellen

Da $\pi$ eine irrationale Zahl ist, lässt sich ihre Darstellung in keinem Stellenwertsystem vollständig angeben: Die Darstellung ist stets unendlich lang und nicht periodisch. Bei den ersten 100 Nachkommastellen in der Dezimalbruchentwicklung

$\pi =3{,}14159\;26535\;89793\;23846\;26433\;83279\;50288\;41971\;69399\;37510\;58209\;74944\;59230\;78164\;06286\;20899\;86280\;34825\;34211\;70679\ldots$(Folge A000796 in OEIS)

ist keine Regelmäßigkeit ersichtlich. Auch weitere Nachkommastellen genügen statistischen Tests auf Zufälligkeit (siehe auch Frage der Normalität).

Darstellung zu anderen Zahlenbasen

Im Binärsystem ausgedrückt ist

$\pi =11{,}0010\;0100\;0011\;1111\;0110\;1010\;1000\;1000\;1000\;0101\;1010\;0011\;0000\;1000\;1101\;0011\;0001\;0011\;0001\;1001\;1000\;1010\;0010\;1110\dots$ (Siehe OEIS-Folge OEIS:A004601).

In OEIS sind auch die Zahlen der Darstellungen zu den Basen 3 bis 16 und 60 angegeben.

Kettenbruchentwicklung

Eine alternative Möglichkeit, reelle Zahlen darzustellen, ist die Kettenbruchentwicklung. Da $\pi$ irrational ist, ist diese Darstellung unendlich lang, und, da es keine quadratisch irrationale Zahl ist, ist sie nicht periodisch. Der reguläre Kettenbruch der Kreiszahl beginnt so:

$\pi =3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15+{\frac {1}{1+{\frac {1}{292+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}$

Eine mit der regulären Kettenbruchentwicklung verwandte Entwicklung von $\pi$ ist diejenige als negativ-regelmäßiger Kettenbruch (Folge A280135 in OEIS):

$\pi =4-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{2-{\frac {1}{17-{\frac {1}{294-\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}$

Anders als bei der Eulerschen Zahl $e$ konnten bislang (2000) bei der regulären Kettenbruchdarstellung von $\pi$ keine Muster oder Gesetzmäßigkeiten festgestellt werden.

Jedoch gibt es nicht-reguläre Kettenbruchdarstellungen von $\pi$, bei denen einfache Gesetzmäßigkeiten erkennbar sind:

$\pi =3+{\frac {1^{2}}{\scriptstyle 6+{\frac {3^{2}}{6+{\frac {5^{2}}{6+{\frac {7^{2}}{6+{\frac {9^{2}}{6+{\frac {11^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}}}={\frac {4}{1+{\frac {1^{2}}{2+{\frac {3^{2}}{2+{\frac {5^{2}}{2+{\frac {7^{2}}{2+{\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\frac {4}{\scriptstyle 1+{\frac {1^{2}}{3+{\frac {2^{2}}{5+{\frac {3^{2}}{7+{\frac {4^{2}}{9+{\frac {5^{2}}{11+\ddots }}}}}}}}}}}}$

Näherungsbrüche der Kreiszahl

Aus ihrer regulären Kettenbruchdarstellung ergeben sich als beste Näherungsbrüche der Kreiszahl (Zähler Folge A002485 in OEIS bzw. Nenner Folge A002486 in OEIS) die folgenden:

Lambert publizierte einige Näherungsbrüche der Kreiszahl und sagte voraus, dass ein exakter Bruch, wenn er denn existiere, sehr „groß“ sein (also aus großem Zähler und Nenner bestehen) müsse.

Schritt	Kettenbruch	Näherungsbruch	Dezimaldarstellung (falsche Ziffern in rot)	Absoluter Fehler mittels Umfangsberechnung eines Kreises mit 1000 km Durchmesser
${\frac {m_{0}}{n_{0}}}$	$[3]$	${\frac {3}{1}}$	$3{,}{\color {red}0}$	−141,59 km
${\frac {m_{1}}{n_{1}}}$	$[3;7]$	${\frac {22}{7}}$	$3{,}14{\color {red}2\ldots }$	+1,26 km
${\frac {m_{2}}{n_{2}}}$	$[3;7,15]$	${\frac {333}{106}}$	$3{,}141\;5{\color {red}0\ldots }$	−83,22 m
${\frac {m_{3}}{n_{3}}}$	$[3;7,15,1]$	${\frac {355}{113}}$	$3{,}141\;592\;{\color {red}9\ldots }$	+26,68 cm
${\frac {m_{4}}{n_{4}}}$	$[3;7,15,1,292]$	${\frac {103993}{33102}}$	$3{,}141\;592\;653\;{\color {red}0\ldots }$	−0,58 mm
${\frac {m_{5}}{n_{5}}}$	$[3;7,15,1,292,1]$	${\frac {104348}{33215}}$	$3{,}141\;592\;653\;{\color {red}9\ldots }$	+0,33 mm
$\vdots$
${\frac {m_{10}}{n_{10}}}$	$[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3]$	${\frac {4272943}{1360120}}$	$3{,}141\;592\;653\;589\;{\color {red}3\ldots }$	−0,4 µm (Wellenlänge blauen Lichts)
$\vdots$
${\frac {m_{20}}{n_{20}}}$	$[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1]$	${\frac {21053343141}{6701487259}}$	$3{,}141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;{\color {red}3\ldots }$	−2,6 · 10−16 m (kleiner als ein Proton)

Der absolute Fehler in der Praxis wird dabei schnell vernachlässigbar: Mit der 20. Näherung $\left({\tfrac {m_{20}}{n_{20}}}\right)$ stimmen 21 Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl $\pi$ überein. Mit diesem Näherungsbruch wäre erst der Umfang eines Kreises von etwa 3,8 Billiarden Kilometer Durchmesser (das entspricht der Entfernung zum Polarstern) um einen Millimeter falsch (nämlich zu kurz) berechnet.

Sphärische Geometrie

→ Hauptartikel: Sphärische Geometrie

In der Kugelgeometrie ist der Begriff Kreiszahl nicht gebräuchlich, da das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser in diesem Fall nicht mehr für alle Kreise gleich, sondern von deren Größe abhängig ist. Für einen Kreis mit einem sehr viel kleineren Durchmesser als dem der Kugel, auf deren Oberfläche er „gezeichnet“ wird (etwa ein Kreis mit 1 m Durchmesser auf der kugeligen Erdoberfläche), ist die Krümmung der Kugelfläche gegenüber der euklidischen Kreisebene meist vernachlässigbar klein, bei größeren Kreisen oder hoher Präzisionsanforderung muss sie berücksichtigt werden.

Normalität

Es ist noch ungeklärt, ob $\pi$ eine normale Zahl ist, das heißt, ob ihre binäre (oder jede andere n-äre) Zahlendarstellung jede mögliche endliche Binär- bzw. sonstige Zifferngruppe gleichermaßen enthält – so wie es die Statistik erwarten ließe, wenn man eine Zahl vollkommen nach dem Zufall erzeugte. Umgekehrt wäre es beispielsweise auch denkbar, dass irgendwann nur noch zwei Ziffern in unregelmäßiger Folge auftreten.

Wenn $\pi$ eine normale Zahl ist, dann enthält ihre (nur theoretisch mögliche) vollständige Stellenwertdarstellung alle nur denkbaren Muster, zum Beispiel sämtliche bisher und zukünftig geschriebenen Bücher in codierter Binärform (analog zum Infinite-Monkey-Theorem).

Bailey und Crandal zeigten im Jahr 2000 mit der Bailey-Borwein-Plouffe-Formel, dass die Normalität von $\pi$ zur Basis 2 auf eine Vermutung der Chaostheorie reduziert werden kann.

Physiker der Purdue-Universität haben im Jahre 2005 die ersten 100 Millionen Dezimalstellen von $\pi$ auf ihre Zufälligkeit hin untersucht und mit kommerziellen Zufallszahlengeneratoren verglichen. Der Forscher Ephraim Fischbach und sein Mitarbeiter Shu-Ju Tu konnten dabei keinerlei verborgene Muster in der Zahl $\pi$ entdecken. Demnach sei nach Ansicht Fischbachs die Zahl $\pi$ tatsächlich eine gute Quelle für Zufälligkeit. Allerdings schnitten einige Zufallszahlengeneratoren noch besser als $\pi$ ab.

Feynman-Punkt

Die auffälligste und bekannteste „Unzufälligkeit“ in den ersten 1000 Dezimalstellen ist der Feynman-Punkt, eine Folge von sechs Neunen ab der 762-sten Stelle. Das wirkt deshalb erstaunlich, weil es unter den ersten 1000 Dezimalstellen nur fünf genaue Dreifachfolgen und überhaupt keine genauen Vier- oder Fünffachfolgen gibt. Die zweite Sechsfachfolge beginnt bei der 193.034-sten Dezimalstelle und besteht wieder aus Neunen.

Entwicklung von Berechnungsverfahren

Die Notwendigkeit, den Umfang eines Kreises aus seinem Durchmesser zu ermitteln oder umgekehrt, stellt sich im ganz praktischen Alltag: Man braucht solche Berechnungen zum Beschlagen eines Rades, zum Einzäunen runder Gehege, zum Berechnen der Fläche eines runden Feldes oder des Rauminhalts eines zylindrischen Getreidespeichers. Daher suchten Buchhalter und Wissenschaftler, vor allem Mathematiker und Astronomen, seit der Antike nach immer genaueren Näherungswerten für die Kreiszahl. Wesentliche Beiträge lieferten etwa ägyptische, babylonische und griechische Wissenschaftler, im Mittelalter vor allem chinesische und persische Wissenschaftler, in der Neuzeit französische, englische, schottische, deutsche und schweizerische Wissenschaftler. In der jüngeren Geschichte gerieten die Bestrebungen zur größtmöglichen Annäherung an $\pi$ phasenweise zu einer regelrechten Rekordjagd, die zuweilen skurrile und auch aufopfernde Züge annahm.

Erste Näherungen

Berechnungen und Schätzungen in den vorchristlichen Kulturen

Die Kreiszahl und einige ihrer Eigenschaften waren bereits in der Antike bekannt. Das älteste bekannte Rechenbuch der Welt, der altägyptische Papyrus Rhind aus der Mitte der 16. Jahrhundert v. Chr., nennt den Wert  $\left({\tfrac {16}{9}}\right)^{2}=3{,}16049\ldots =\pi +0,0189\ldots$,, was vom tatsächlichen Wert nur um rund 0,60 % abweicht. Dieser Wert wurde gefunden (siehe Bild), als die Annäherung des Flächeninhalts eines Kreises über ein unregelmäßiges Achteck zu einem Quadrat (rot) mit nahezu gleichem Flächeninhalt führte. Bei einem Kreis mit Durchmesser $d=2$ ist der Flächeninhalt dieses Quadrats  $\left({\tfrac {8}{9}}\cdot 2\right)^{2}={\tfrac {256}{81}}=3{,}16049\ldots \approx \pi .$

Die Babylonier benutzten als Näherung für $\pi$ $3+{\tfrac {1}{8}}=3{,}125$ oder einfach nur 3, solange dessen Abweichung von gut 4,5 % nicht ins Gewicht fiel. Den Wert 3 nutzte man auch im alten China, und er findet sich auch in der biblischen Beschreibung des Wasserbeckens, das für den Jerusalemer Tempel geschaffen wurde:

„Dann machte er das Meer. Es wurde aus Bronze gegossen und maß 10 Ellen von einem Rand zum anderen; es war völlig rund und 5 Ellen hoch. Eine Schnur von 30 Ellen konnte es rings umspannen.“

– Jeremia: Bibel, 1. Buch der Könige, Kapitel 7 Ausstattung des Tempels, Vers 23, König Salomo, Hiram aus Tyrus formte das Meer, ein Wasserbecken aus Bronze.

In Indien nahm man für die Kreiszahl in den Sulbasutras, den Schnurregeln zur Konstruktion von Altären, den Wert $\left({\tfrac {26}{15}}\right)^{2}\approx 3{,}0044$ und wenige Jahrhunderte v. Chr. in der Astronomie den Näherungswert ${\sqrt {10}}\approx 3{,}1623$.

Näherungen für den praktischen Alltag

Handwerker benutzten in Zeiten vor Rechenschieber und Taschenrechner die Näherung ${\tfrac {22}{7}}\approx 3{,}142857$ und berechneten damit vieles im Kopf. Der Fehler gegenüber $\pi$ beträgt etwa 0,04 %. In den meisten Fällen liegt das innerhalb der möglichen Fertigungsgenauigkeit und ist damit völlig ausreichend.

Eine andere oft genutzte Näherung ist der Bruch ${\tfrac {355}{113}}\approx 3{,}1415929$, immerhin auf sieben Stellen genau. Allen diesen rationalen Näherungswerten für $\pi$ ist gemeinsam, dass sie partiellen Auswertungen der Kettenbruchentwicklung von $\pi$ entsprechen, z. B.:

${\frac {22}{7}}=3+{\frac {1}{7}}=[3;7],\quad {\frac {355}{113}}=3+{\frac {1}{7+{\frac {1}{15+{\frac {1}{1}}}}}}=[3;7,15,1]$

Archimedes von Syrakus

Die Frage, ob die Kreiszahl rational ist

Die Flächensumme der Möndchen des Hippokrates (dunkelgrau) entspricht der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks. Ein Beispiel für eine rationale Darstellbarkeit von Kreisausschnitten, weshalb es lange für möglich gehalten wurde, dass auch die Kreiszahl selbst rational ist.

Für den griechischen Mathematiker Archimedes und viele nach ihm war unklar, ob die Berechnung von $\pi$ nicht doch irgendwann zum Abschluss käme, ob $\pi$ also eine rationale Zahl sei, was die jahrhundertelange Jagd auf die Zahl verständlich werden lässt. Zwar war den griechischen Philosophen mit der Irrationalität von ${\sqrt {2}}$ die Existenz derartiger Zahlen bekannt, dennoch hatte Archimedes keinen Grund, bei einem Kreis von vornherein eine rationale Darstellbarkeit der Flächenberechnung auszuschließen. Denn es gibt durchaus allseitig krummlinig begrenzte Flächen, die sich als rationale Zahl darstellen lassen, sogar von Kreisteilen eingeschlossene wie die Möndchen des Hippokrates.

Annäherung durch Vielecke

Annäherung an einen Kreis durch Um- und Einbeschreiben von Fünfecken, Sechsecken und Achtecken

Archimedes gelang es um 250 v. Chr., die Kreiszahl mathematisch einzugrenzen, d. h. eine Ober- und Unterschranke anzugeben. Hierzu näherte er sich wie auch andere Mathematiker mit regelmäßigen Vielecken dem Kreis an, um Näherungswerte für $\pi$ zu gewinnen. Mit umbeschriebenen und einbeschriebenen Vielecken, beginnend bei Sechsecken, durch wiederholtes Verdoppeln der Eckenzahl bis zu 96-Ecken, berechnete er obere und untere Schranken für den Kreisumfang. Er kam zu der Abschätzung, dass das gesuchte Verhältnis etwas kleiner als $3+{\tfrac {10}{70}}$ sein müsse, jedoch größer als $3+{\tfrac {10}{71}}$:

$3{,}1408450\approx 3+{\frac {10}{71}}<\pi <3+{\frac {10}{70}}\approx 3{,}1428571$

Laut Heron besaß Archimedes eine noch genauere Abschätzung, die aber falsch überliefert ist:

$3+{\frac {9552}{67441}}<\pi <3+{\frac {10835}{62351}}\qquad (3{,}1416349<\pi <3{,}1737743)$

Wilbur Knorr korrigierte zu:

$3+{\frac {8915}{62991}}<\pi <3+{\frac {9552}{67441}}\qquad (3{,}1415281<\pi <3{,}1416349)$

In den westlichen Kulturen stellten diese Berechnungen von Archimedes über eine sehr lange Zeit – wie in manchen anderen gesellschaftlichen und kulturellen Bereichen auch – den Status quo in Bezug auf die Genauigkeit der Kenntnis von $\pi$ dar. Erst im 16. Jahrhundert erwachte das Interesse wieder.

3. bis 15. Jahrhundert

Fortschritte in der Annäherung an $\pi$ erzielten in der Zeit des 3. bis 15. Jahrhunderts vor allem chinesische und persische Wissenschaftler:

Im dritten Jahrhundert bestimmte Liu Hui aus dem 192-Eck die Schranken 3,141024 und 3,142704 sowie später aus dem 3072-Eck den Näherungswert 3,1416.

Um 480 berechnete der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi (429–500) für die Kreiszahl $3{,}1415926<\pi <3{,}1415927$, also die ersten 7 Dezimalstellen. Er kannte auch den fast genauso guten Näherungsbruch ${\tfrac {355}{113}}$ (das ist der dritte Näherungsbruch der Kettenbruchentwicklung von $\pi$), der in Europa erst im 16. Jahrhundert gefunden wurde (Adriaan Metius, deshalb auch Metius-Wert genannt). Im 14. Jahrhundert berechnete Zhao Youqin die Kreiszahl über ein 16384-Eck auf sechs Dezimalstellen genau.

Der indische Mathematiker und Astronom Aryabhata gibt im Jahre 498 das Verhältnis des Kreisumfangs zum Durchmesser mit ${\tfrac {62832}{20000}}=3{,}1416$ an, was nur um rund 0,00023 % zu hoch liegt.

In seinem 1424 abgeschlossenen Werk Abhandlung über den Kreis berechnete der persische Wissenschaftler Dschamschid Masʿud al-Kaschi mit einem 3×2²⁸-Eck $2\pi$ bereits auf 16 Stellen genau.

16. bis 19. Jahrhundert

Allgemeiner Verlauf

John Wallis

William Jones bezeichnete 1706, wie zuvor William Oughtred 1647, die Kreiszahl mit $\pi$

Leonhard Euler (Pastell von Emanuel Handmann, 1753)

In Europa gelang es Ludolph van Ceulen 1596, die ersten 35 Dezimalstellen von $\pi$ zu berechnen. Angeblich opferte er 30 Jahre seines Lebens für diese Berechnung. Van Ceulen steuerte allerdings noch keine neuen Gedanken zur Berechnung bei. Er rechnete einfach nach der Methode des Archimedes weiter, aber während Archimedes beim 96-Eck aufhörte, setzte Ludolph die Rechnungen bis zum einbeschriebenen $2^{62}$-Eck fort.

Der französische Mathematiker François Viète variierte 1593 die Archimedische Exhaustionsmethode, indem er den Flächeninhalt eines Kreises durch eine Folge einbeschriebener $2^{n}$-Ecke annäherte. Daraus leitete er als Erster eine geschlossene Formel für $\pi$ in Form eines unendlichen Produktes ab:

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \dots$

${\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdot \dots$

Der englische Mathematiker John Wallis, der 1655 das nach ihm benannte wallissche Produkt entwickelte, zeigte im gleichen Jahr die Viète-Reihe Lord Brouncker, dem ersten Präsidenten der „Royal Society“, der die Gleichung als Kettenbruch wie folgt darstellte:

${\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}$

Gottfried Wilhelm Leibniz steuerte 1682 folgende Reihendarstellung bei:

${\frac {\pi }{4}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}\mp \dotsb$

Siehe auch Kreiszahlberechnung nach Leibniz.

Diese war indischen Mathematikern bereits im 15. Jahrhundert bekannt. Leibniz entdeckte sie für die europäische Mathematik neu und bewies die Konvergenz dieser unendlichen Summe. Die obige Reihe ist wegen $\arctan 1={\tfrac {\pi }{4}}$ auch ein Spezialfall ($\theta =1$) der Reihenentwicklung des Arkustangens, die der indische Mathematiker Madhava um ca. 1400 fand und auf die der schottische Mathematiker James Gregory in den 1670er Jahren zurückkam:

$\arctan \theta ={\frac {\theta ^{1}}{1}}-{\frac {\theta ^{3}}{3}}+{\frac {\theta ^{5}}{5}}-{\frac {\theta ^{7}}{7}}\pm \dotsb$

Sie war in der Folgezeit Grundlage vieler Approximationen von $\pi$, die alle lineare Konvergenzgeschwindigkeit haben.

Im Jahr 1706 beschrieb William Jones in seinem Werk Synopsis palmariorum matheseos die von ihm entwickelte Reihe, mit der er 100 Nachkommastellen von $\pi$ bestimmte.

„Let $\alpha =2{\sqrt {3}}$. […] Then $\pi =\alpha -{\frac {1}{3}}{\frac {3\alpha }{9}}+{\frac {1}{5}}{\frac {\alpha }{9}}-{\frac {1}{7}}{\frac {3\alpha }{9^{2}}}+{\frac {1}{9}}{\frac {\alpha }{9^{2}}}-{\frac {1}{11}}{\frac {3\alpha }{9^{3}}}+{\frac {1}{13}}{\frac {\alpha }{9^{3}}}$, &c.“

Im selben Jahr 1706 berechnete John Machin mit seiner Formel

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$

gleichfalls die ersten 100 Dezimalstellen von $\pi$. Die Formel ist über das Additionstheorem des Arkustangens zu gewinnen – oder gleichwertig durch Betrachtung der komplexen Zahl, bestehend aus Potenzen ganzzahliger, so genannter Gaußscher Zahlen, mit ganzzahligen Exponenten

$(5+\mathrm {i} )^{4}\cdot (239-\mathrm {i} )=114244+114244\;\mathrm {i} =(1+\mathrm {i} )\cdot 114244$

und dem Argumentwert; $\arg(1+\mathrm {i} )={\tfrac {\pi }{4}}$.

Im Laufe der Zeit wurden viele Formeln dieser Art gefunden. Eine Formel mit sehr guter Konvergenz der taylorschen Reihen stammt von Carl Størmer (1896):

${\frac {\pi }{4}}=44\,\arctan {\frac {1}{57}}+7\,\arctan {\frac {1}{239}}-12\,\arctan {\frac {1}{682}}+24\,\arctan {\frac {1}{12943}}$,

welche gleichbedeutend damit ist, dass Real- und Imaginärteil der Gaußschen Zahl

$(57+\mathrm {i} )^{44}\cdot (239+\mathrm {i} )^{7}\cdot (682-\mathrm {i} )^{12}\cdot (12943+\mathrm {i} )^{24}=(1+\mathrm {i} )\cdot n$ mit $n\in \mathbb {Z}$

gleich sind.

Leonhard Euler führte in seiner im Jahre 1748 erschienenen Introductio in analysin infinitorum im ersten Bande $\pi$ bereits auf 148 Stellen genau an. Von Euler entdeckte Formeln (siehe auch Riemannsche ζ-Funktion):

$\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\dotsb ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ = $\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n^{2}}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }n^{(-2)}=\left({\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)$

$\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}},\quad \zeta (6)={\frac {\pi ^{6}}{945}},\quad \dotsc$

${\frac {\pi ^{2}}{8}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}+\dotsb$

${\frac {\pi -3}{4}}={\frac {1}{2\cdot 3\cdot 4}}-{\frac {1}{4\cdot 5\cdot 6}}+{\frac {1}{6\cdot 7\cdot 8}}\mp \dotsb$

Irrationalität

Johann Heinrich Lambert

Johann Heinrich Lambert bewies 1761/1767 die Irrationalität der Kreiszahl. Damit stand erstmalig fest, dass eine exakte oder abschließende Berechnung nicht möglich ist.

1770 publizierte Lambert einen Kettenbruch, der heute meist in der Form

${\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\textstyle {\frac {5^{2}}{11+\textstyle {\frac {6^{2}}{\;\,\ddots }}}}}}}}}}}}$

geschrieben wird. Bei der Berechnung der Kreiszahl liefert er pro Schritt im Mittel etwa 0,76555 Dezimalstellen, im Vergleich zu anderen Kettenbrüchen relativ viel.

Numerische Verfahren ab dem 20. Jahrhundert

Neue Algorithmen

Im 20. Jahrhundert wurden Iterationsverfahren entwickelt, die eine deutlich effizientere Berechnung „neuer“ Nachkommastellen von $\pi$ gestatten.

1914 fand der indische Mathematiker Srinivasa Ramanujan bei Untersuchungen von elliptischen Funktionen und Modulfunktionen die folgende Formel:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {8}}{9801}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(4n)!\cdot (1103+26390n)}{(n!)^{4}\cdot 396^{4n}}}$

Die ersten Iterationen dieses Verfahrens liefern folgende Ergebnisse:

Iterationen	ergibt Ausdruck ($\pi \approx ...$)	entspricht dezimal (falsche Ziffern in rot)
$n=0$	${\sqrt {2}}\cdot {\frac {9\;801}{4\;412}}$	$3{,}141\;592\;{\color {red}7\ldots }$
$n=0\ldots 1$	${\sqrt {2}}\cdot {\frac {2\;510\;613\;731\;736}{1\;130\;173\;253\;125}}$	$3{,}141\;592\;653\;589\;793\;{\color {red}8\ldots }$
$n=0\ldots 2$	${\sqrt {2}}\cdot {\frac {2\;286\;635\;172\;367\;940\;241\;408}{1\;029\;347\;477\;390\;786\;609\;545}}$	$3{,}141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;64{\color {red}9\ldots }$
$n=0\ldots 3$	${\sqrt {2}}\cdot {\frac {17\;252\;765\;328\;978\;109\;815\;564\;789\;153\;792}{7\;766\;473\;062\;254\;307\;011\;793\;347\;201\;855}}$	$3{,}141\;592\;653\;589\;793\;238\;462\;643\;383\;279\;5{\color {red}5\ldots }$

Es wird also die Quadratwurzel aus 2 mit immer „längeren“ Näherungsbrüchen multipliziert. Pro Iteration liefert dieses Verfahren etwa 8 weitere korrekte Nachkommastellen.

Diese hocheffizienten Verfahren wurden erst mit der Entwicklung von Computern mit Langzahlarithmetik interessant, durch die der reine Rechenaufwand immer weniger ins Gewicht fiel, so dass komplizierte Iterationsverfahren mit quadratischer oder noch höherer Konvergenz praktisch durchführbar wurden.

• ${\frac {4}{\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(21460n+1123)\cdot (4n)!}{882^{2n+1}(4^{n}n!)^{4}}}$

Chudnovsky-Algorithmus

→ Hauptartikel: Chudnovsky-Algorithmus

Der 1988 veröffentlichte Chudnovsky-Algorithmus wurde in allen aktuellen Rekordberechnungen eingesetzt. Er wurde aus dem Ramanujan-Ansatz entwickelt, arbeitet jedoch etwa 50 Prozent schneller, und basiert auf der Konvergenz einer verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{\sqrt {640320^{3}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!\cdot (545140134k+13591409)}{(3k)!\cdot (k!)^{3}\cdot (-640320)^{3k}}}$

Eine technische Implementation beider Iterationsverfahren (Ramanujan und Chudnovsky) bietet die Software y-cruncher.

BBP-Reihen

→ Hauptartikel: Bailey-Borwein-Plouffe-Formel

1995 entdeckte Simon Plouffe zusammen mit Peter Borwein und David Harold Bailey eine neuartige Reihendarstellung für $\pi$:

$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\dfrac {1}{16^{k}}}\left({\dfrac {4}{8k+1}}-{\dfrac {2}{8k+4}}-{\dfrac {1}{8k+5}}-{\dfrac {1}{8k+6}}\right)$

Diese Reihe (auch Bailey-Borwein-Plouffe-Formel genannt) ermöglicht es, die $n$-te Stelle einer binären, hexadezimalen oder beliebigen Darstellung zu einer Zweierpotenz-Basis von $\pi$ zu berechnen, ohne dass zuvor die $n-1$ vorherigen Ziffernstellen berechnet werden müssen.

Später wurden für $\pi$ weitere BBP-Reihen gefunden:

${\begin{aligned}\pi &={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\\&={\frac {1}{4}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+1}}+{\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}-{\frac {2}{8k+5}}-{\frac {2}{8k+6}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)\\&=\;\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)\end{aligned}}$

Tröpfelalgorithmus

→ Hauptartikel: Tröpfelalgorithmus

Eng verwandt mit den Verfahren zur Ziffernextraktion sind Tröpfelalgorithmen, bei denen die Ziffern eine nach der anderen berechnet werden. Den ersten solchen Algorithmus zur Berechnung von $\pi$ fand Stanley Rabinowitz. Seitdem sind weitere Tröpfelalgorithmen zur Berechnung von $\pi$ gefunden worden.

Methode von Gauß, Brent und Salamin

Die Berechnung der Bogenlänge einer Lemniskate über elliptische Integrale und deren Approximation über das Arithmetisch-geometrische Mittel nach Gauß liefert das schnell konvergierende Verfahren von Salamin und Brent zur numerischen Berechnung. Grundlage hierfür ist die folgende zuerst von Gauß vermutete Darstellung von $\pi$:

${\frac {1}{\pi }}=\mathrm {AGM} (1,{\sqrt {2}})\int _{0}^{1}{\frac {2\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{4}}}}$

Letzteres Integral ist auch als lemniskatische Konstante bekannt. Es gilt dann

$\pi ={\frac {4\mathrm {AGM} (1,{\frac {1}{\sqrt {2}}})^{2}}{1-\sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}}$,

wobei sich das arithmetisch-geometrische Mittel über die Iteration

$a_{n}={\frac {a_{n-1}+b_{n-1}}{2}},\qquad b_{n}={\sqrt {a_{n-1}b_{n-1}}}$

mit zwei initialen Argumenten $a_{0},b_{0}>0$ berechnet und $c_{n}^{2}=a_{n}^{2}-b_{n}^{2}$ gesetzt wird.

Nichtnumerische Berechnungsverfahren

Berechnung mittels Flächenformel

In ein Quadrat einbeschriebener Kreis für die Berechnung mittels Flächenformel

Diese Berechnung nutzt den Zusammenhang aus, dass $\pi$ in der Flächenformel des Kreises enthalten ist, dagegen nicht in der Flächenformel des umschreibenden Quadrats.

Die Formel für den Flächeninhalt des Kreises mit Radius $r$ lautet

$A_{K}=\pi r^{2}$,

der Flächeninhalt des Quadrates mit Seitenlänge $2r$ errechnet sich als

$A_{Q}=(2r)^{2}$.

Für das Verhältnis der Flächeninhalte eines Kreises und seines umschreibenden Quadrats ergibt sich also

${\frac {A_{K}}{A_{Q}}}={\frac {\pi r^{2}}{(2r)^{2}}}={\frac {\pi }{4}}$.

Damit lässt sich $\pi$ als das Vierfache dieses Verhältnisses schreiben:

$\pi =4\,{\frac {A_{K}}{A_{Q}}}$.

Programm

Viertelkreis, mit Flächenraster 10×10 angenähert, innerhalb 79 Punkte (rot), außerhalb 21 Punkte (blau)

Als Beispiel ist ein Algorithmus angegeben, in dem die Flächenformel demonstriert wird, mit der $\pi$ näherungsweise berechnet werden kann.

Man legt dazu über das Quadrat ein Gitter und berechnet für jeden einzelnen Gitterpunkt, ob er auch im Kreis liegt. Das Verhältnis der Gitterpunkte innerhalb des Kreises zu den Gitterpunkten innerhalb des Quadrats wird mit 4 multipliziert. Die Genauigkeit der damit gewonnenen Näherung von $\pi$ hängt von der Gitterweite ab und wird mittels $r$ kontrolliert. Mit $r=10$ erhält man z. B. 3,16 und mit $r=100$ bereits 3,1428. Für das Ergebnis 3,14159 ist allerdings schon $r=10000$ zu setzen, was sich durch den zweidimensionalen Lösungsansatz auf die Zahl der notwendigen Rechenvorgänge in quadratischer Form niederschlägt.

 r = 10000
 kreistreffer = 0
 quadrattreffer = r ^ 2
 for i = 0 to r - 1
   x = i + 0.5
   for j = 0 to r - 1
     y = j + 0.5
     if x ^ 2 + y ^ 2 <= r ^ 2 then
       kreistreffer = kreistreffer + 1
 return 4 * kreistreffer / quadrattreffer

Anmerkung: Das obige Programm ist nicht für die schnellstmögliche Ausführung auf einem realen Computersystem optimiert, sondern aus Gründen der Verständlichkeit so klar wie möglich formuliert worden. Weiterhin ist die Kreisfläche insofern unpräzise bestimmt, als nicht die Koordinaten der Mitte für die jeweiligen Flächeneinheiten benutzt werden, sondern der Flächenrand. Durch die Betrachtung eines Vollkreises, dessen Fläche für die erste und letzte Zeile gegen Null geht, ist die Abweichung für großes $r$ marginal.

Die Konstante Pi ist für den Alltagsgebrauch in Computerprogrammen typischerweise bereits vorberechnet vorhanden, üblicherweise ist der zugehörige Wert dabei mit etwas mehr Stellen angegeben, als ihn die leistungsfähigsten Datentypen dieser Computersprache aufnehmen können.

Alternatives Programm

Kreisflächen-Integration

Dieses Programm summiert die Fläche des Kreises aus im Verhältnis zum Radius sehr schmalen Streifen. Es verwendet die Gleichungen
$y=\pm {\sqrt {r^{2}-x^{2}}}$ und $\pi ={\frac {A_{K}}{r^{2}}}$ sowie $\pi =\int _{-1}^{1}2{\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x$.

n := 1000000 // Halbe Anzahl der Streifen
s := 0       // Summe der Flächeninhalte

for x := -1 to +1 step 1/n:
    // Flächeninhalt des Streifens an der Stelle x hinzuaddieren.
    // Die Höhe des Streifens wird exakt in der Mitte des Streifens gemessen.
    // Die 2 steht für die obere plus die untere Hälfte.
    // Der Faktor 1/n ist die Breite des Streifens.
    s += 2 * sqrt(1 - x*x) * 1/n

pi := s

Die x-Koordinaten der untersuchten Fläche gehen von $-1$ bis $+1$. Da Kreise rund sind und dieser Kreis sein Zentrum auf den Koordinaten $0,0$ hat, liegen die y-Koordinaten ebenfalls im Bereich von $-1$ bis $+1$. Das Programm teilt die zu untersuchende Fläche in 2 Millionen schmale Streifen auf. Jeder dieser Streifen hat dieselbe Breite, nämlich $1/n$. Die Oberkante eines jeden Streifens ist jedoch unterschiedlich und ergibt sich aus der obigen Formel zu ${\sqrt {1-x^{2}}}$, im Code wird das als sqrt(1 - x*x) geschrieben. Die Höhe eines jeden Streifens geht von der Oberkante bis zur Unterkante. Da die beiden Kanten bei Kreisen gleich weit von der Mittellinie entfernt sind, ist die Höhe genau das Doppelte der Kantenlänge, daher die 2 im Code.

Nach dem Durchlaufen der for-Schleife befindet sich in der Variablen s der Flächeninhalt des Kreises mit Radius 1. Um aus dieser Zahl den Wert von Pi zu ermitteln, muss diese Zahl gemäß der Formel $A=\pi \cdot r^{2}$ noch durch $r^{2}$ geteilt werden. In diesem Beispiel ist $r=1$, daher ist das im Programmcode weggelassen.

Statistische Bestimmung

Berechnung mit einem Monte-Carlo-Algorithmus

Viertelkreis, dessen Fläche durch die Monte-Carlo-Methode angenähert wird

Eine Methode zur Bestimmung von $\pi$ ist die statistische Methode. Für die Berechnung lässt man zufällige Punkte auf ein Quadrat „regnen“ und berechnet, ob sie innerhalb oder außerhalb eines einbeschriebenen Kreises liegen. Der Anteil der innen liegenden Punkte ist approximiert ${\tfrac {\pi }{4}}$.

Diese Methode ist ein Monte-Carlo-Algorithmus; die Genauigkeit der nach einer festen Schrittzahl erreichten Näherung von $\pi$ lässt sich daher nur mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit angeben. Durch das Gesetz der großen Zahlen steigt jedoch im Mittel die Genauigkeit mit der Schrittzahl.

Der Algorithmus für diese Bestimmung ist:

function approximiere_pi(tropfenzahl)

    innerhalb := 0   // Zählt die Tropfen innerhalb des Kreises

    // So oft wiederholen, wie es Tropfen gibt:
    for i := 1 to tropfenzahl do

        // Zufälligen Tropfen im Quadrat [0,0] bis (1,1) erzeugen
        x := random(0.0 ..< 1.0)
        y := random(0.0 ..< 1.0)

        // Wenn der Tropfen innerhalb des Kreises liegt …
        if x * x + y * y <= 1.0
            innerhalb++   // Zähler erhöhen

    return 4.0 * innerhalb / tropfenzahl

Die 4.0 im Code ergibt sich daraus, dass in der Tröpfchensimulation nur die Anzahl für einen Viertelkreis berechnet wurde. Um daraus die (hochgerechnete) Anzahl für einen ganzen Kreis zu bekommen, muss die berechnete Anzahl noch mit 4 multipliziert werden. Da die Zahl Pi das Verhältnis zwischen der Kreisfläche und dem Quadrat des Radius ist, muss die so erhaltene Zahl noch durch das Quadrat des Radius geteilt werden. Der Radius ist in diesem Fall 1, daher kann das Teilen weggelassen werden.

Buffonsches Nadelproblem

→ Hauptartikel: Buffonsches Nadelproblem

Eine weitere auf Wahrscheinlichkeiten beruhende und ungewöhnliche Methode ist das Buffonsche Nadelproblem, von Georges-Louis Leclerc de Buffon (1733 vorgetragen, 1777 veröffentlicht). Buffon warf Stöcke über die Schulter auf einen gekachelten Fußboden. Anschließend zählte er, wie oft sie die Fugen trafen. Eine praktikablere Variante beschrieb Jakow Perelman im Buch Unterhaltsame Geometrie. Man nehme eine ca. 2 cm lange Nadel – oder einen anderen Metallstift mit ähnlicher Länge und Durchmesser, am besten ohne Spitze – und zeichne auf ein Blatt Papier eine Reihe dünner paralleler Striche, die um die doppelte Länge der Nadel voneinander entfernt sind. Dann lässt man die Nadel sehr häufig (mehrere hundert- oder tausendmal) aus einer beliebigen, aber konstanten Höhe auf das Blatt fallen und notiert, ob die Nadel eine Linie schneidet oder nicht. Es kommt nicht darauf an, wie man das Berühren eines Striches durch ein Nadelende zählt. Die Division der Gesamtzahl $N$ der Nadelwürfe durch die Zahl $P$ der Fälle, in denen die Nadel eine Linie geschnitten hat, nähert sich (stochastisch) mit zunehmender Zahl der Würfe an die Formel

${\frac {N}{P}}={\frac {\pi }{2}}{\frac {d}{\ell }}$

an, wobei $\ell$ die Länge der Nadeln und $d$ den Abstand der Linien auf dem Papier bezeichnet. Daraus ergibt sich leicht eine Näherung für $\pi$. Die Nadel kann dabei auch gebogen oder mehrfach geknickt sein, wobei in diesem Fall auch mehr als ein Schnittpunkt pro Wurf möglich ist und entsprechend mehrfach gezählt werden muss. In der Mitte des 19. Jahrhunderts kam der Schweizer Astronom Rudolf Wolf durch 5000 Nadelwürfe auf einen Wert von $\pi =3{,}1596\pm 0{,}0518$.

Rekorde der Berechnung von π

durchgeführt von	Jahr	Dezimalstellen	Methode / Hilfsmittel	Rechenzeit Tag d,  Stunde h
Jordan Ranous / StorageReview	2024	105.000.000.000.000	Berechnung: y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel), Verifikation: Plouffes und Bellards Formel	75 d
Google LLC	2022	100.000.000.000.000		157 d
FH Graubünden	2021	62.831.853.071.796		108 d
Timothy Mullican	2020	50.000.000.000.000		303 d
Emma Haruka Iwao / Google LLC	2019	31.415.926.535.897		121 d
Peter Trüb / DECTRIS	2016	22.459.157.718.361		105 d
Sandon Van Ness (Houkouonchi)	2014	13.300.000.000.000		208 d
Shigeru Kondo, Alexander Yee	2013	12.100.000.000.050		82 d

weitere Berechnungen
durchgeführt von	Jahr	Dezimalstellen	Methode / Hilfsmittel	Rechenzeit Tag d,  Stunde h
Shigeru Kondo, Alexander Yee	2011	10.000.000.000.050	Berechnung: y-cruncher Software (Chudnovsky-Formel), Verifikation: Plouffes und Bellards Formel	191 d
Shigeru Kondo, Alexander Yee	2010	5.000.000.000.000		90 d
Fabrice Bellard	2010	2.699.999.990.000	Berechnung: TachusPi Software (Chudnovsky-Formel), Verifikation: Bellards Formel	131 d
Daisuke Takahashi	2009	2.576.980.370.000	Berechnung: Gauß-Legendre-Algorithmus
Yasumasa Kanada	2002	1.241.100.000.000	Berechnung: $\pi =48\arctan {\tfrac {1}{49}}+128\arctan {\tfrac {1}{57}}-20\arctan {\tfrac {1}{239}}+48\arctan {\tfrac {1}{110443}}$ Verifikation: $\pi =176\arctan {\tfrac {1}{57}}+28\arctan {\tfrac {1}{239}}-48\arctan {\tfrac {1}{682}}+96\arctan {\tfrac {1}{12943}}$
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1999	206.158.430.000
Yasumasa Kanada, Daisuke Takahashi	1997	51.539.600.000
David und Gregory Chudnovsky	1989	1.011.196.691
Yasumasa Kanada, Yoshiaki Tamura, Yoshinobu Kubo	1987	134.217.700
Yasumasa Kanada, Sayaka Yoshino, Yoshiaki Tamura	1982	16.777.206	HITAC M-280H	< 30 h
Yoshiaki Tamura, Yasumasa Kanada	1982	8.388.576	HITAC M-280H	6:52 h
Yoshiaki Tamura, Yasumasa Kanada	1982	4.194.288	HITAC M-280H	2:21 h
Yoshiaki Tamura	1982	2.097.144	MELCOM 900II	7:14 h
Jean Guilloud	1981	2.000.050
Kazunori Miyoshi, Yasumasa Kanada	1981	2.000.036	FACOM M-200	137:18 h
Jean Guilloud, Martin Boyer	1973	1.001.250	CDC 7600	23:18 h
Jean Guilloud, M. Dichampt	1967	500.000	CDC 6600	28:10 h
Jean Guilloud, J. Filliatre	1966	250.000	IBM 7030	41:55 h
Daniel Shanks, John W. Wrench	1961	100.265	mit dem Transistoren-Computer IBM 7090	8:43 h
Jean Guilloud	1959	16.167	IBM 704	4:18 h
George E. Felton	1958	10.021	Pegasus	33 h
F. Genuys	1958	10.000	mit dem Magnetkernspeicher-Rechner IBM 704, per Machin-Formel	10 h
George E. Felton	1957	7.480	Pegasus	33 h
S.C. Nicholson, J. Jeenel	1954	3.093	Naval Ordnance Research Calculator	0:13 h
G. Reitwiesner	1949	2.037	mit dem Röhren-Rechner ENIAC	70 h
Levi B. Smith, John W. Wrench	1949	1.120	mechanische Rechenmaschine
William Shanks	1853	(527)	Reihenentwicklung von $\arctan {\tfrac {1}{5}}$ und $\arctan {\tfrac {1}{239}}$. Berechnung der ersten 707 Dezimalstellen von $\pi$ von Hand. Im Jahr 1945 stellte John W. Wrench fest, dass die letzten 180 Stellen falsch waren.
Jurij Vega	1794	126
John Machin	1706	100	Reihenentwicklung ${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$
William Jones	1706	100	Reihenentwicklung $\pi =2{\sqrt {3}}\;{\Bigl (}1-{\frac {1}{3}}{\frac {3}{9}}+{\frac {1}{5}}{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{7}}{\frac {3}{9^{2}}}+{\frac {1}{9}}{\frac {1}{9^{2}}}-{\frac {1}{11}}{\frac {3}{9^{3}}}+{\frac {1}{13}}{\frac {1}{9^{3}}}\mp \ldots {\Bigr )}$
Ludolph van Ceulen	1610	35	262-Eck
Ludolph van Ceulen	1596	20
Dschamschid Masʿud al-Kaschi	ca. 1424	15	3·228-Eck
Zu Chongzhi	ca. 480	6
Liu Hui	nach 263	5	3072-Eck
Archimedes	ca. 250 v. Chr.	2	96-Eck

Geometrische Konstruktionen

Aufgrund der Transzendenz von $\pi$ ist es nicht möglich, durch eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal eine Strecke mit der exakten Länge von $\pi$ Längeneinheiten zu erstellen. Es existieren jedoch sowohl eine Reihe von Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen, die sehr gute Näherungen liefern, als auch Konstruktionen, die dank eines weiteren Hilfsmittels – zusätzlich zu Zirkel und Lineal – eine exakte Konstruktion ermöglichen. Als ein solches weiteres Hilfsmittel kommen dabei insbesondere als Quadratrizes bezeichnete Kurven zum Einsatz, die z. B. mit Hilfe einer sogenannten Dynamische-Geometrie-Software (DGS) erzeugt und als Ausdruck u. a. auf Papier Verwendung finden. Zudem gibt es einige spezielle mechanische Zeichengeräte und eventuell eigens angefertigte Kurvenlineale, mit denen sich solche Kurven zeichnen lassen.

Ohne direkten praktischen Nutzen, doch geometrisch anschaulich, lässt sich $\pi$ als Flächeninhalt eines angepassten Sierpinski-Teppiches konstruieren.

Näherungskonstruktionen

Zur geometrischen Konstruktion der Zahl $\pi$ gibt es die Näherungskonstruktion von Kochański aus dem Jahr 1685, mit der man einen Näherungswert der Kreiszahl mit einem Fehler von weniger als 0,002 Prozent bestimmen kann. Es handelt sich also um eine Näherungskonstruktion für die (exakt nicht mögliche) Quadratur des Kreises.

Kreiszahl π, Annäherungskonstruktion nach C. G. Specht, 1828.
Der Flächeninhalt des ergänzten Dreiecks $AEM$ (hellblau) ist nahezu gleich dem des Kreises.

143 Jahre später, nämlich 1828, veröffentlichte C. G. Specht seine Zweite Annäherungs-Construction des Kreis-Umfanges im Journal für die reine und angewandte Mathematik. Für die Annäherung fand er den Wert

$5\cdot {\sqrt {\frac {439}{278}}}=6{,}28318528\ldots$

Halbiert man diesen Wert, ergibt sich eine Dezimalzahl, bei der sieben Nachkommastellen mit denen der Kreiszahl $\pi$ übereinstimmen:

$3{,}141\;592\;6{\color {red}40\;1\ldots }\;\approx \pi$

Bei einem Kreis mit Radius $r=1$ ist dieser Wert auch gleich dem Flächeninhalt des Dreiecks $AEM$, mit anderen Worten, der Flächeninhalt des Dreiecks ist nahezu gleich dem des Kreises.

Beachtenswert ist, erst im Jahr 1914, d. h. 86 Jahre später, verbesserte Srinivasa Ramanujan – in seiner zweiten Quadratur des Kreises – die Genauigkeit des nahezu flächengleichen Quadrats um eine auf acht gemeinsame Nachkommastellen mit der Kreiszahl $\pi$.

Eine zeichnerische Darstellung wird in dem oben angeführten Journal nicht erfasst; hierzu die Anmerkung des Herausgebers:

„Es wird dem Leser leicht sein, die Figur nach der Beschreibung zu entwerfen.“

– A. L. Crelle (HRSG.): 40. Zweite Annäherungs-Construction des Kreis-Umfanges (Von Herrn C. G. Specht zu Berlin)

Die nachfolgende Beschreibung der nebenstehenden Konstruktion ist eine Anlehnung an das Original der Konstruktionsbeschreibung.

Zeichne zuerst den Einheitskreis um den Punkt $A$ und dann ab $A$ eine gerade Linie; dabei ergibt sich $a$. Anschließend wird in $A$ eine Senkrechte zur Geraden errichtet; sie erzeugt $M$. Es folgen auf der Geraden ab $a$ hintereinander vier Halbkreise mit dem Radius ${\overline {Aa}}$ jeweils um den sich neu ergebenden Schnittpunkt, dabei entstehen die Punkte $m,p,q$ und $B$. Nach der Dreiteilung der Strecken ${\overline {mp}}$ in $n$ und $o$ sowie ${\overline {qB}}$ in $r$ und $s$, wird nun der Punkt $M$ mit $m$ verbunden. Die dabei entstandene Strecke ${\overline {Mm}}$ auf die Senkrechte ab $A$ abgetragen ergibt $R$. Verbinde auch den Punkt $R$ mit $r$ und übertrage die neue Strecke ${\overline {Rr}}$ ab $A$ auf die Senkrechte; es ergibt sich $C$. Es geht weiter mit den Verbindungen der Punkte $C$ mit $o$ sowie $C$ mit $B$. Beim Übertragen der Strecke ${\overline {AB}}$ auf die Strecke ${\overline {Co}}$ ab $C$ ergibt sich $c$. Abschließend zeichne ab $c$ eine Parallele zur Strecke ${\overline {AB}}$, die ${\overline {CB}}$ in $d$ schneidet. Die somit entstandene Strecke ${\overline {Cd}}$ entspricht annähernd dem Wert $2\pi$.

Die Annäherung an die Kreiszahl $\pi ={\tfrac {U}{d}}$ kann z. B. auf folgende Art und Weise verdeutlicht werden:

Wäre der Durchmesser $d$ eines Kreises $200\;\mathrm {km}$, würde sein angenäherter Umfang $U=d\pi$ nur um ca. $2{,}7\;\mathrm {mm}$ kürzer als sein theoretischer Wert sein.

Mithilfe der Quadratrix des Hippias

Kreiszahl $\pi$ als exakte Konstruktion mithilfe der Quadratrix $(a=1)$

Die nebenstehende Darstellung zeigt die Kreiszahl $\pi$ als Strecke, erstellt mit Hilfe der Quadratrix des Hippias.

Es beginnt mit einer Geraden ab dem Punkt $A$ und einer Senkrechten auf diese Gerade durch $A$. Anschließend wird der Halbkreis mit dem Radius ${\overline {AB}}=1$ um $A$ gezogen; dabei ergeben sich die Schnittpunkte $B,D$ und $E$. Nun konstruiert man das Quadrat $ABCD$ mit der Seitenlänge 1. Es folgt die Festlegung der Quadratrix, ohne „Lücke“ auf der $x$-Achse. Hierfür wird der Bezug der Kurve nicht auf die $x$-Achse, sondern auf die $y$-Achse gewählt. Die Quadratrix (rot) verläuft somit durch $D$ und $E$. Für diese Lage der Quadratrix ($a=1$) gilt die kartesische Gleichung:

$x=y\cdot \cot \left({\frac {\pi }{2a}}\cdot y\right)$

Die Quadratrix schneidet nach dem Satz des Dinostratos die Seite ${\overline {AB}}$ ihres zugehörigen Quadrates im Punkt $F$ und generiert damit auf der Geraden, nun als Zahlengerade genutzt, den Wert ${\tfrac {2}{\pi }}$. Das Errichten der Senkrechten auf die Strecke ${\overline {AB}}$ ab ${\tfrac {2}{\pi }}$ bis zum Halbkreis ergibt den Schnittpunkt $G$. Nach der Verlängerung der Strecke ${\overline {BC}}$ über $C$ hinaus und dem Zeichnen einer geraden Linie ab $A$ durch $G$ bis zur Verlängerung ergibt sich der Schnittpunkt $H$. Eine Möglichkeit u. a. ist nun, die Länge der Strecke ${\overline {AH}}$ mit Hilfe des Strahlensatzes zu bestimmen. In der Zeichnung ist ersichtlich, dass ${\tfrac {2}{\pi }}$ der Strecke ${\overline {AF}}$ entspricht. Infolgedessen sind nach dem ersten Strahlensatz die Verhältnisse der Abschnitte

$|AF|:|AB|=|AG|:|AH|$,

umgeformt und die entsprechenden Werte eingesetzt ergibt sich

$|AH|={\frac {\frac {1}{1}}{\frac {2}{\pi }}}\cdot 1={\frac {\pi }{2}}$.

Nun wird der Kreisbogen mit dem Radius ${\overline {AH}}$ um $A$ bis auf die Zahlengerade gezogen; es entsteht der Schnittpunkt ${\tfrac {\pi }{2}}$. Der abschließende Thaleskreis über ${\tfrac {\pi }{2}}$ ab dem Punkt $A$ ergibt somit exakt die Kreiszahl $\pi$.

Mithilfe der archimedischen Spirale

Eine sehr einfache Konstruktion der Kreiszahl $\pi$ zeigt das folgende Bild, erzeugt mithilfe der archimedischen Spirale.

Wird als Windungsabstand (mit $a=2$) $a\cdot {\tfrac {\pi }{2}}$ gewählt, so schneidet der Graph der Spirale die $y$-Achse in $B$ und liefert somit bereits nach einer Vierteldrehung ${\overline {OB}}=\pi .$

Der auf die $y$-Achse projizierte Halbkreis mit Radius $r=1$ sowie die Strecke ${\overline {OC}}=\pi$ (grüne Linien) dienen lediglich der Verdeutlichung des Ergebnisses.

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  Kreiszahl $\pi$ mithilfe der archimedischen Spirale
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  Kreiszahl $\pi$ mithilfe der Sinuslinie

Mithilfe der Sinuslinie

Die Konstruktion der Kreiszahl $\pi$ mithilfe des Graphen der Sinusfunktion $f(x)=\mathrm {sin} (x)$, auch als Sinuslinie bezeichnet, ist eine der einfachsten ihrer Art. Die Sinuskurve wird mittels Schablone oder einer sogenannten Dynamische-Geometrie-Software (DGS) auf einer Zahlengeraden eingezeichnet. Sie durchläuft zuerst den Punkt $0$ und liefert schließlich beim zweiten Überqueren der Zahlengerade (Winkel $\alpha =180^{\circ }$) die Kreiszahl $\pi$ als Länge, d. h. den halben Umfang des Einheitskreises.

Experimentelle Konstruktion

Kreiszahl $\pi$ als experimentelle Konstruktion

Die folgende Methode nutzt die in der Kreisfläche „versteckte“ Kreiszahl $\pi$, um mit Hilfe experimenteller Physik den Wert von $\pi$ als messbare Größe darzustellen.

Ein Zylinder mit dem Radius $r=1$ und der Gefäßhöhe $h_{GZ}\approx 1{,}5$ wird bis auf die Höhe $h_{Z}=1$ mit Wasser gefüllt. Die so bestimmte Wassermenge wird nun vom Zylinder in einen Quader umgefüllt, der eine quadratische Grundfläche mit Seitenlänge $a=1$ und eine Gefäßhöhe von $h_{GQ}\approx 4$ aufweist.

Wassermenge im Zylinder $V_{Z}$ in Volumeneinheiten [VE]:

$V_{Z}=r^{2}\pi h_{Z}=1^{3}\cdot \pi =3{,}14159\dotso \,\mathrm {[VE]}$

Wasserstand im Quader $h_{\text{Q}}$ in Längeneinheiten [LE]:

$V_{Q}=a^{2}h_{Q}=1^{2}h_{Q}=V_{Z}$, daraus $h_{Q}$

$h_{Q}={\frac {1^{3}\pi }{1^{2}}}=\pi =3{,}14159\dotso \,\mathrm {[LE]}$

Das Ergebnis zeigt: Eine Wassermenge, die in einem Zylinder mit dem Radius $r=1$ den Wasserstand $1\;\mathrm {[LE]}$ hat, liefert – umgefüllt in den Quader $(a=1)$ – den Wasserstand $\pi \,\mathrm {[LE]}$.

Formeln und Anwendungen

Formeln, die π enthalten

Carl Friedrich Gauß

Jean Baptiste Joseph Fourier

Formeln der Geometrie

In der Geometrie treten die Eigenschaften von $\pi$ als Kreiszahl unmittelbar hervor.

• Umfang eines Kreises mit Radius $r$: $U=2\pi r$
• Fläche eines Kreises mit Radius $r$: $A=\pi r^{2}$
• Volumen einer Kugel mit Radius $r$: $V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}$
• Oberfläche einer Kugel mit Radius $r$: $A_{O}=4\pi r^{2}$
• Volumen eines Zylinders mit Radius $r$ und Höhe $a$: $V=r^{2}\pi a$
• Volumen eines durch die Rotation des Graphen $y=f(x)$ um die $x$-Achse definierten Rotationskörpers mit den Grenzen $a$ und $b$: $V=\pi \int _{a}^{b}f(x)^{2}\mathrm {d} x$

Formeln der Analysis

Im Bereich der Analysis spielt $\pi$ ebenfalls in vielen Zusammenhängen eine Rolle, zum Beispiel bei

• der Integraldarstellung $\pi =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}=2\cdot \int _{-1}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{1+x^{2}}}$, die Karl Weierstraß 1841 nutzte, um $\pi$ zu definieren,
• der unendlichen Reihe: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (Euler, siehe Basler Problem und auch Riemannsche Zetafunktion),
• der gaußschen Normalverteilung: $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\mathrm {d} x={\sqrt {\pi }}$ oder in anderer Darstellung: $\int _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-|x|^{2}}\mathrm {d} x=\pi$,
• der Stirling-Formel als Näherung der Fakultät für große $n$: $n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$,
• der Fourier-Transformation: $F(\omega )={\mathcal {F}}\{f\}(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t$.
• den Formeln der Funktionentheorie: Wie für alle Teilgebiete der Analysis ist auch für die Funktionentheorie (und darüber hinaus für die gesamte komplexe Analysis) die Kreiszahl von grundlegender Bedeutung. Als herausragende Beispiele sind hier
  • die Euler-Identität $e^{\mathrm {i} \pi }+1=0$ zu nennen sowie
  • die Integralformel von Cauchy $f(z)={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{\gamma }{\frac {f(\zeta )}{\zeta -z}}\mathrm {d} \zeta$.

Darüber hinaus wird die Bedeutung der Kreiszahl ebenfalls augenfällig in den Formeln zur Partialbruchzerlegung der komplexwertigen trigonometrischen Funktionen, die im Zusammenhang mit dem Satz von Mittag-Leffler stehen. Hier sind vor allem

• die Partialbruchzerlegung des Kotangens:

${\begin{aligned}\pi \cot(\pi z)&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{z+n}}\\&={\frac {1}{z}}+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z-n}}+{\frac {1}{z+n}}\right)\\&={\frac {1}{z}}+2z\cdot \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}\\&=z\cdot \sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{z^{2}-n^{2}}}\quad (z\in {\mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} })\\\end{aligned}}$

zu erwähnen sowie die daraus – neben weiteren! – zu gewinnenden

• Partialbruchzerlegungen zu Sinus und Kosinus:

${\begin{aligned}\left({\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}\right)^{2}&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{(z-n)^{2}}}\quad (z\in {\mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} })\\\left({\frac {\pi }{\cos(\pi z)}}\right)^{2}&=\sum _{n={-\infty }}^{+\infty }{\frac {1}{(z-{\tfrac {2n-1}{2}})^{2}}}\quad \left(z\in \mathbb {C} \setminus \left\{{\frac {2n-1}{2}}\colon n\in \mathbb {Z} \right\}\right)\\\end{aligned}}$

Die obige Partialbruchreihe zum Sinus liefert dann durch Einsetzen von $z={\frac {1}{2}}$ die bekannte Reihendarstellung

${\frac {{\pi }^{2}}{8}}=1+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{25}}+{\frac {1}{49}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}$,

die ihrerseits direkt zu der eulerschen Reihendarstellung

${\frac {{\pi }^{2}}{6}}=1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

führt, siehe Basler Problem.

Neben diesen von den Partialbruchreihen herrührenden π-Formeln kennt die Funktionentheorie noch eine große Anzahl weiterer davon, die statt der Darstellung mit unendlichen Reihen eine Darstellung mittels unendlicher Produkte aufweisen. Viele von ihnen gehen auf das Werk von Leonhard Euler zurück (s. u.).

Formeln der Zahlentheorie

• Die relative Häufigkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen, die unterhalb einer Schranke $M$ liegen, teilerfremd sind, strebt mit $M\rightarrow \infty$ gegen ${\frac {6}{\pi ^{2}}}$ (Satz von Ernesto Cesàro, 1881).
• Nimmt man eine ganze Zahl z, deren Dezimaldarstellung aus $n$ Fünfen besteht, und berechnet das $10^{n+2}$-Fache des Sinus des z-ten Teils eines Grades, dann strebt das Resultat mit wachsendem $n$ gegen π:

$\lim _{n\to \infty }10^{n+2}\sin {\bigg (}{\frac {1^{\circ }}{\underbrace {55\dots 5} _{n-{\text{mal}}}}}{\bigg )}=\lim _{n\to \infty }10^{n+2}\sin {\bigg (}{\frac {{\tfrac {\pi }{180}}\,\mathrm {rad} }{{\big \lfloor }{\tfrac {5}{9}}\cdot 10^{n}{\big \rfloor }}}{\bigg )}=\pi .$

Dabei ist $\lfloor \cdot \rfloor$ die Gaußklammer. Dies entspricht letztlich der Konvergenz $\lim _{x\to \infty }x\cdot \sin {\tfrac {\pi }{x}}=\lim _{x\to \infty }x\cdot {\tfrac {\pi }{x}}=\pi$.

Formeln der Physik

In der Physik spielt $\pi$ neben

• der Kreisbewegung: $\omega =2\pi f$ (Winkelgeschwindigkeit gleich $2\pi$ mal Umlauffrequenz)

vor allem bei Wellen eine Rolle, da dort $\pi$ über die Sinus- und Kosinusfunktion eingeht; somit also zum Beispiel

• in der Quantenmechanik: $\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$ (Heisenbergsche Unschärferelation),

außerdem

• in der Berechnung der Knicklast $F_{K}={\frac {\pi ^{2}EI}{s^{2}}}$
• und bei der Reibung von Partikeln in Flüssigkeiten (Gesetz von Stokes) $F_{R}=6\,\pi \,\eta \,r\,v$.

Produktformeln von Leonhard Euler

• Wird die Folge der Primzahlen mit ${\bigl (}p_{k}{\bigr )}_{k\in \mathbb {N} }={\bigl (}2,3,5,\dots {\bigr )}$ bezeichnet, so gilt:

unendliches Produkt				endliche Approximation (3 Faktoren)		ihre Abweichung von $\pi$
${\frac {{\pi }^{2}}{6}}$	$=\zeta (2)$	$={\frac {{\pi }^{2}}{2\cdot 3}}$	$=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{2}}{{p_{k}}^{2}-1}}$	$\textstyle {}_{\approx }^{>}{\frac {2^{2}}{2^{2}-1}}\cdot {\frac {3^{2}}{3^{2}-1}}\cdot {\frac {5^{2}}{5^{2}-1}}={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {9}{8}}\cdot {\frac {25}{24}}$	$\textstyle =:a_{2}$	${\frac {\sqrt[{2}]{a_{2}\cdot 6}}{\pi }}$	$\approx 0{,}974621$
${\frac {{\pi }^{4}}{90}}$	$=\zeta (4)$	$={\frac {{\pi }^{4}}{2\cdot 3^{2}\cdot 5}}$	$=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{4}}{{p_{k}}^{4}-1}}$	$\textstyle {}_{\approx }^{>}{\frac {2^{4}}{2^{4}-1}}\cdot {\frac {3^{4}}{3^{4}-1}}\cdot {\frac {5^{4}}{5^{4}-1}}={\frac {16}{15}}\cdot {\frac {81}{80}}\cdot {\frac {625}{624}}$	$\textstyle =:a_{4}$	${\frac {\sqrt[{4}]{a_{4}\cdot 90}}{\pi }}$	$\approx 0{,}99986312$
${\frac {{\pi }^{6}}{945}}$	$=\zeta (6)$	$={\frac {{\pi }^{6}}{3^{3}\cdot 5\cdot 7}}$	$=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{6}}{{p_{k}}^{6}-1}}$	$\textstyle {}_{\approx }^{>}{\frac {2^{6}}{2^{6}-1}}\cdot {\frac {3^{6}}{3^{6}-1}}\cdot {\frac {5^{6}}{5^{6}-1}}={\frac {64}{63}}\cdot {\frac {729}{728}}\cdot {\frac {15625}{15624}}$	$\textstyle =:a_{6}$	${\frac {\sqrt[{6}]{a_{6}\cdot 945}}{\pi }}$	$\approx 0{,}99999844$
${\frac {{\pi }^{8}}{9450}}$	$=\zeta (8)$	$={\frac {{\pi }^{8}}{2\cdot 3^{3}\cdot 5^{2}\cdot 7}}$	$=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {{p_{k}}^{8}}{{p_{k}}^{8}-1}}$	$\textstyle {}_{\approx }^{>}{\frac {2^{8}}{2^{8}-1}}\cdot {\frac {3^{8}}{3^{8}-1}}\cdot {\frac {5^{8}}{5^{8}-1}}={\frac {256}{255}}\cdot {\frac {6561}{6560}}\cdot {\frac {390625}{390624}}$	$\textstyle =:a_{8}$	${\frac {\sqrt[{8}]{a_{8}\cdot 9450}}{\pi }}$	$\approx 0{,}99999997755$
	$\vdots$				$\vdots$		$\ddots$

Siehe dazu auch die Artikel über die Zeta-Funktion $\zeta$ und insbesondere den Abschnitt Funktionswerte für gerade natürliche Zahlen.

• Auf Euler gehen auch die folgenden Produktformeln zurück, welche die Kreiszahl mit der komplexen Gammafunktion und dem komplexen Sinus und Kosinus verbinden:

Die erste der drei folgenden Formeln bezeichnet man auch als eulerschen Ergänzungssatz. Bei den beiden anschließenden Produktformeln für Sinus und Kosinus handelt es sich um absolut konvergente Produkte. Beide Produktformeln ergeben sich aus dem Ergänzungssatz, wobei die Produktformel des Kosinus ihrerseits wegen $\cos(z)={\tfrac {\sin(2z)}{2\sin(z)}}$ eine direkte Anwendung der Produktformel des Sinus ist.

${\begin{aligned}\Gamma (z)\cdot \Gamma (1-z)&={\frac {\pi }{\sin(\pi z)}}\quad (z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} )\\\sin(\pi z)&=\pi z\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{k^{2}}}\right)\quad (z\in \mathbb {C} )\\\cos(\pi z)&=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2k-1)^{2}}}\right)\quad (z\in \mathbb {C} )\\\end{aligned}}$

Die Produktformel des Sinus führt dann mit $z=\mathrm {i}$ zu dieser interessanten Beziehung (Folge A156648 in OEIS):

${\begin{aligned}\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k^{2}}}\right)&={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}&={\frac {\sinh(\pi )}{\pi }}&\approx 3{,}6760779103749\\\end{aligned}}$

Rezeption

Kuriositäten

Pi-Bodenmosaik am Eingang des Mathematikgebäudes der TU Berlin

• Freunde der Zahl $\pi$ feiern am 14. März (in US-amerikanischer Notation 3/14) den Pi-Tag und am 22. Juli (in US-amerikanischer Notation 7/22) den Pi Approximation Day.
• Im Jahr 1897 sollte im US-Bundesstaat Indiana mit dem Indiana Pi Bill die Kreiszahl gesetzlich auf einen der von Hobbymathematiker Edwin J. Goodwin gefundenen Werte festgelegt werden, der sich auf übernatürliche Eingebungen berief. Aus seinen Arbeiten lassen sich unterschiedliche Werte für die Kreiszahl ableiten, unter anderem 4 oder ¹⁶⁄₅. Nachdem er eine gebührenfreie Nutzung seiner Entdeckungen anbot, verabschiedete das Repräsentantenhaus diesen Gesetzentwurf einstimmig. Als Clarence A. Waldo, Mathematikprofessor der Purdue University, davon zufällig bei einem Besuch des Parlaments erfuhr und Einspruch erhob, vertagte die zweite Kammer des Parlaments den Entwurf auf unbestimmte Zeit.
• Wissenschaftler senden mit Radioteleskopen die Kreiszahl ins Weltall. Sie sind der Meinung, dass andere Zivilisationen diese Zahl kennen müssen, wenn sie das Signal auffangen können.
• Der aktuelle Rekord im Pi-Vorlesen liegt bei 108.000 Nachkommastellen in 30 Stunden. Der Weltrekordversuch begann am 3. Juni 2005 um 18:00 Uhr und wurde am 5. Juni 2005 um 0:00 Uhr erfolgreich beendet. Über 360 Leser lasen jeweils 300 Nachkommastellen. Organisiert wurde der Weltrekord vom Mathematikum in Gießen.

Film, Musik, Kultur und Literatur

Pi in der Wiener Opernpassage. Die Zahl steht in der Mitte der Spiegelwand.

• Im Roman Der Zauberberg von Thomas Mann schildert der Erzähler im Kapitel Der große Stumpfsinn auf mitleidig-belächelnde Weise, wie die Nebenfigur des Staatsanwalts Paravant den „verzweifelten Bruch“ Pi zu enträtseln versucht. Paravant glaubt, dass die „planende Vorsehung“ ihn dazu bestimmt habe, „das transzendente Ziel in den Bereich irdisch genauer Erfüllung zu reißen“. Er bemüht sich, in seiner Umgebung eine „humane Empfindlichkeit zu wecken für die Schande der Verunreinigung des Menschengeistes durch die heillose Irrationalität dieses mystischen Verhältnisses“, und fragt sich, „ob nicht die Menschheit sich die Lösung des Problems seit Archimedes’ Tagen viel zu schwer gemacht habe, und ob diese Lösung nicht in Wahrheit die kindlich einfachste sei.“ In diesem Zusammenhang erwähnt der Erzähler den historischen Zacharias Dase, der Pi bis auf zweihundert Stellen nach dem Komma berechnet hat.
• In der Science-Fiction-Serie Raumschiff Enterprise bemächtigt sich in Folge 43, Der Wolf im Schafspelz (orig. Titel Wolf in the Fold), ein fremdes Wesen des Bordcomputers. Der 1. Offizier Spock befiehlt darauf dem Computer, die Zahl Pi bis auf die letzte Nachkommastelle zu berechnen. Durch diese Aufgabe wird der Computer so überfordert, dass das Wesen den Computer wieder verlässt.
• 1981 wurde Carl Sagans Buch Contact veröffentlicht. Das Buch beschreibt das SETI-Programm zur Suche nach außerirdischer Intelligenz und damit verbundene philosophische Betrachtungen. Es endet mit der fiktiven Beantwortung der Frage, ob das Universum zufällig entstanden ist oder planvoll geschaffen wurde. Die Zahl $\pi$ spielt für die im Rahmen der Handlung folgerichtige Antwort die zentrale Rolle.
• 1988 initiierte Larry Shaw den Pi-Tag am 14. März im Exploratorium.
• 1998 veröffentlichte Darren Aronofsky (Requiem for a Dream) den Film Pi, in dem ein mathematisches Genie (Sean Gullette als ‚Maximilian Cohen‘) die Weltformel aus $\pi$ herausfiltern möchte.
• Auf dem 2005 erschienenen Doppelalbum Aerial von Kate Bush ist ein Lied der Zahl Pi gewidmet.
• Die im November 2006 eröffnete Medieninstallation Pi in der Wiener Opernpassage widmet sich unter anderem der Kreiszahl.
• Im Film Nachts im Museum 2 (2009) ist die Kreiszahl die Kombination für die Tafel des Ahkmenrah. Die Kombination wird mit Hilfe von Wackelkopf-Einsteins gelöst und öffnet in dem Film das Tor zur Unterwelt.
• Die progressive Deathcore-Band After the Burial hat auf ihrem Debütalbum Forging a Future Self das Lied Pi (The Mercury God of Infinity) veröffentlicht. Es besteht aus einem Akustikgitarrensolo, auf das ein Breakdown folgt, dessen Rhythmus an die ersten 110 Stellen der Kreiszahl angelehnt ist.
• In der Folge 28 (2x06) Rückkehr des Thor der Fernsehserie Stargate – Kommando SG-1 ist die Zahl 3,14159 die Lösung eines Rätsels zur Kontaktaufnahme mit freundlichen Aliens.

Pi-Sport

→ Hauptartikel: Pi-Sport

Das Memorieren der Zahl Pi ist die beliebteste Möglichkeit, das Merken langer Zahlen unter Beweis zu stellen. So ist aus dem Lernen von Pi ein Sport geworden. Der Inder Rajveer Meena ist offizieller Weltrekordhalter mit bestätigten 70.000 Nachkommastellen, die er am 21. März 2015 fehlerfrei in einer Zeit von 10 Stunden aufsagte. Er wird im Guinness Book of Records als Rekordhalter geführt.

Der inoffizielle Weltrekord lag im Oktober 2006 bei 100.000 Stellen, aufgestellt von Akira Haraguchi. Der Japaner brach damit seinen ebenfalls noch inoffiziellen alten Rekord von 83.431 Nachkommastellen. Den deutschen Rekord hält seit dem 14. März 2024 die Frankfurter Gedächtniskünstlerin Susanne Hippauf mit 18.026 Nachkommastellen.

Für das Memorieren von Pi werden spezielle Mnemotechniken angewandt. Die Technik unterscheidet sich dabei nach den Vorlieben und Begabungen des Gedächtniskünstlers sowie der Menge der zu memorierenden Nachkommastellen. Für das Merken der ersten Ziffern von Pi gibt es einfache Merksysteme, dazu Pi-Sport-Merkregeln.

Alternative Kreiszahl τ

Die alternative Kreiszahl $\tau$ (Tau) ist doppelt so groß wie $\pi$:

$\tau =2\pi =6{,}283185\ldots$

$\pi ={\tfrac {\tau }{2}}=3{,}141592\ldots$

Der amerikanische Mathematiker Robert Palais schlug 2001 in einer Ausgabe des Mathematik-Magazins The Mathematical Intelligencer vor, für $\pi$, statt wie bisher den Quotienten aus Umfang und Durchmesser eines Kreises, in Zukunft den Quotienten aus Umfang und Radius (entsprechend $2\pi$) als grundlegende Konstante zu verwenden. Seine Argumentation beruht darauf, dass in vielen mathematischen Formeln der Faktor $2$ vor der Kreiszahl auftauche. Ein weiteres Argument ist die Tatsache, dass die neue Konstante im Bogenmaß einen Vollwinkel darstellt, statt wie $\pi$ einen halben Winkel, und so weniger willkürlich wirkt. Die neu normierte Kreiszahl, für deren Notation Michael Hartl und Peter Harremoës den griechischen Buchstaben $\tau$ (Tau) vorschlugen, würde diese Formeln verkürzen.

Literatur

• Jörg Arndt, Christoph Haenel: Π [Pi]. Algorithmen, Computer, Arithmetik. 2., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin 2000, ISBN 978-3-540-66258-7 (mit CD-ROM, 1. Auflage. 1998 – ohne CD-ROM, ISBN 3-540-63419-3). 
• Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 77). Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965. 
• Petr Beckmann: A History of π. St. Martin’s Press, New York City 1976, ISBN 0-312-38185-9 (englisch). 
• Ehrhard Behrends (Hrsg.): Π [Pi] und Co. Kaleidoskop der Mathematik. Springer, Berlin / Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77888-2. 
• David Blatner: Π [Pi]. Magie einer Zahl. In: rororo Sachbuch (= rororo. Nr. 61176). Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 2001, ISBN 3-499-61176-7 (Originaltitel: The Joy of Π [pi]. Übersetzt von Hainer Kober). 
• Jonathan Borwein, Peter Borwein: Pi and the AGM. A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. In: Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advan. 2. Auflage. Wiley, New York NY 1998, ISBN 0-471-31515-X (englisch). 
• Egmont Colerus: Vom Einmaleins zum Integral. Mathematik für Jedermann (= rororo-Sachbuch. Nr. 6692). Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 1974, ISBN 3-499-16692-5. 
• Jean-Paul Delahaye: Π [Pi]. Die Story. Birkhäuser, Basel 1999, ISBN 3-7643-6056-9. 
• Keith Devlin: Sternstunden der modernen Mathematik. berühmte Probleme und neue Lösungen (= dtv-Taschenbuch 4591). 2. Auflage. Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1992, ISBN 3-423-04591-4 (Originaltitel: Mathematics. Übersetzt von Doris Gerstner, Lizenz des Birkhäuser-Verlags, Basel). 
• Leonhard Euler: Einleitung in die Analysis des Unendlichen. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1983, ISBN 3-540-12218-4 (Erster Teil der Introductio in Analysin Infinitorum – Reprint der Ausgabe Berlin 1885). 
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1 (= Springer-Lehrbuch). 3., neu bearbeitet und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2000, ISBN 3-540-67641-4. 
• Klaus Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u. a.) 1980, ISBN 3-540-10032-6. 
• Paul Karlson: Vom Zauber der Zahlen. Eine unterhaltsame Mathematik für jedermann. In: Das moderne Sachbuch. 8., überarbeitete Auflage. Band 41. Ullstein, Berlin 1965 (ohne ISBN, früherer Titel: Du und der Zauber der Zahlen). 
• Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Birkhäuser Verlag, Basel, Boston 1987, ISBN 3-7643-1824-4. 
• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1964, ISBN 3-540-03138-3. 
• Konrad Knopp: Funktionentheorie II. Anwendungen und Weiterführung der allgemeinen Theorie (= Sammlung Göschen. Band 703). 11. Auflage. de Gruyter, Berlin 1965. 
• Karel Markowski: Die Berechnung der Zahl Π [(Pi)] aus Sinus- und Tangens-Intervallen. 1. Auflage. Trigon, Potsdam 2007, ISBN 978-3-9810752-1-2. 
• Herbert Meschkowski: Unendliche Reihen. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim (u. a.) 1982, ISBN 3-411-01613-2. 
• Jakow Perelman: Unterhaltsame Geometrie. Volk und Wissen, Berlin 1962. 
• Jürgen Petigk: Dreieckige Kreise oder wie man Π [Pi] mit einer Nadel bestimmen kann. Mathematische Rätsel, Training fürs Gehirn. Komet, Köln 2007, ISBN 978-3-89836-694-6 (1998 als Mathematik in der Freizeit bei Aulis-Verlag Deubner, Köln erschienen, ISBN 3-7614-1997-X). 
• Karl Helmut Schmidt: Π [Pi]. Geschichte und Algorithmen einer Zahl. Books on Demand GmbH, Norderstedt, ISBN 3-8311-0809-9 ([2001]). 
• Karl Strubecker: Einführung in die höhere Mathematik. Band 1: Grundlagen. R. Oldenbourg Verlag, München 1956. 
• Heinrich Tietze: Mathematische Probleme. Gelöste und ungelöste mathematische Probleme aus alter und neuer Zeit. Vierzehn Vorlesungen für Laien und Freunde der Mathematik. C. H. Beck, München 1990, ISBN 3-406-02535-8 (Sonderausgabe in einem Band, 1990 auch als dtv-Taschenbuch 4398 / 4399, ISBN 3-423-04398-9 – Band 1 und ISBN 3-423-04399-7 – Band 1). 
• Fridtjof Toenniessen: Das Geheimnis der transzendenten Zahlen. Eine etwas andere Einführung in die Mathematik. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-58325-8, doi:10.1007/978-3-662-58326-5. 
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 978-0-88385-348-1, S. 145–146 (Auszug (Google))

Weblinks

Commons: Pi – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Kreiszahl – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Beweis der Irrationalität von $\pi$ in der Formelsammlung Mathematik
• Beweis der Transzendenz von $e$ und $\pi$ im Beweisarchiv.
• Albrecht Beutelspacher (Mathematikum Gießen): Mathematik zum Anfassen – Die Zahl $\pi$. Bayern α.
• Werner Scholz: Die Geschichte der Approximationen der Zahl. TU Wien, 3. November 2001.
• Archimedes und die Ermittlung der Kreiszahl.
• The $\pi$-Search Page. Ziffernfolgen innerhalb von $\pi$ suchen.
• Pibel.de. Auf dieser Website steht die Zahl Pi auf bis zu 10 Millionen Kommastellen zum Download bereit.
• Aktuelle Weltrangliste der $\pi$-Auswendiglerner. Englisch.
• Monte-Carlo-Methode zur Approximation von π.
• Approximation von π durch Gitterpunkte und Approximation von π durch Rechtecke und Trapeze (interaktive Illustrationen)
• Don Zagier: Zahlentheorie und die Kreiszahl Pi. Gaußvorlesung 2003 in Freiburg (Podcast).