Symmetrie (Geometrie)

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Mit dem geometrischen Begriff Symmetrie (altgriechisch συμμετρία symmetria Ebenmaß, Gleichmaß, aus σύν syn „zusammen“ und μέτρον metron, Maß) bezeichnet man die Eigenschaft, dass ein geometrisches Objekt durch Bewegungen auf sich selbst abgebildet werden kann, also unverändert erscheint. Eine Umwandlung, die ein Objekt auf sich selbst abbildet, heißt Symmetrieabbildung oder Symmetrieoperation.

Manchmal werden auch zwei (oder mehr) verschiedene geometrische Objekte als zueinander symmetrisch bezeichnet, wenn sie, zusammen betrachtet, eine symmetrische Figur bilden.

Abhängig von der Zahl der betrachteten Dimensionen gibt es folgende unterschiedliche Symmetrien:

Symmetrien im Eindimensionalen

Im Eindimensionalen, also auf einer Geraden, gibt es die Symmetrie eines einzelnen Punktes sowie die Symmetrie der Translation (Verschiebung).

Symmetrien im Zweidimensionalen

Im Zweidimensionalen muss zwischen Punkt- und Achsensymmetrie unterschieden werden. Daneben treten auch hier Translationssymmetrien auf.

Rotationssymmetrie / Drehsymmetrie

Eine zweidimensionale geometrische Figur besitzt dann die Eigenschaft, rotationssymmetrisch zu sein, wenn die Figur einen zentralen Punkt besitzt, und die Figur auf sich selbst abgebildet wird, wenn man sie um diesen Punkt dreht. Ein Kreis oder ein Kreisring sind rotationssymmetrisch im engeren Sinne. Eine Drehung um jeden beliebigen Winkel bildet sie auf sich selbst ab.

Rotationssymmetrisch wird eine Figur auch dann genannt, die auf sich abgebildet wird, wenn sie um einen festen Winkel um den zentralen Punkt gedreht wird.^[1] Der Drehwinkel kann nur ein ganzzahliger Teiler $n$ des vollen Winkels sein. Diese ganze Zahl $n$ ist eine Kennzahl der Rotationssymmetrie und wird auch „Zähligkeit“ genannt.^[2] Entsprechend heißt diese Symmetrie auch $n$ -zählige oder $n$ -fache Rotationssymmetrie (analog zum Englischen „ $n$ -fold rotational symmetry“) oder auch " $n$ -zählige Drehsymmetrie".^[3]

Reguläre Polygone sind typische rotationssymmetrische Figuren. Die rechts stehende Grafik zeigt die ersten vier, wobei die Kennzahl $n$ der Rotationssymmetrie mit eingezeichnet worden ist. Außerdem sind zwei weitere Figuren dargestellt, und zwar eine ohne und eine mit 2-facher Rotationssymmetrie. Im Trivialfall $n=1$ wird die Kennzahl in der Regel weggelassen.

Die Schoenflies-Symbolik legt für die Symmetrieelemente und Symmetriegruppen der Rotationssymmetrie das Symbol $C_{n}$ fest. Weitere Beispiele für 2-fache Rotationssymmetrie sind die weiter unten abgebildeten punktsymmetrischen Figuren. Dass punktsymmetrische Objekte stets auch rotationssymmetrisch sind, gilt jedoch nur im Zweidimensionalen.

Achsensymmetrie

Die Achsensymmetrie, axiale Symmetrie oder Spiegelsymmetrie^[4] ist eine Form der Symmetrie, die bei Dingen auftritt, die entlang einer Symmetrieachse gespiegelt sind. Für jede Achsenspiegelung gilt:

Figur und Bildfigur sind deckungsgleich zueinander.
Strecke und Bildstrecke sind gleich lang.
Winkel und Bildwinkel sind gleich groß.
Figur und Bildfigur haben verschiedenen Umlaufsinn, sofern in der Figur ein Umlaufssinn definiert ist.

Beispiele

Dreiecke können eine oder drei Spiegelsymmetrieachsen haben: Ein gleichschenkliges Dreieck ist achsensymmetrisch zur Mittelsenkrechten der Basis. Homogene gleichseitige Dreiecke haben drei Spiegelsymmetrieachsen, wie die nebenstehende Grafik zeigt.
Vierecke können eine, zwei oder sogar vier Spiegelsymmetrieachsen besitzen:
- Mindestens eine Spiegelsymmetrieachse haben gleichschenklige Trapeze (durch die Mittelpunkte der parallelen Seiten) und Drachenvierecke (entlang einer Diagonale).
- Mindestens zwei Spiegelsymmetrieachsen liegen vor beim Rechteck (die Mittelsenkrechten von gegenüber liegenden Seiten) und bei der Raute (beide Diagonalen).
- Das homogene Quadrat schließlich ist Rechteck und Raute zugleich und weist vier Spiegelsymmetrieachsen auf. Ist es „gefüllt“, kann sich die Anzahl reduzieren, wie die nebenstehende Grafik ebenfalls zeigt.
Kreise weisen sogar unendlich viele Symmetrieachsen auf, da sie zu jeder Achse durch den Mittelpunkt symmetrisch sind.
Eine weitere Figur mit unendlich vielen Symmetrieachsen ist die Gerade. Da sie unendlich lang ist, ist sie symmetrisch zu jeder zu ihr senkrechten Achse sowie der auf ihr selbst liegenden Achse.

Achsensymmetrie von Funktionsgraphen

Eine vor allem in der Schulmathematik beliebte Aufgabenstellung besteht darin, für den Graphen einer Funktion die Achsensymmetrie nachzuweisen. Dieser Nachweis ist besonders einfach im Falle der Symmetrie der y-Achse des (kartesischen) Koordinatensystems. Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn gilt:

f(-x)\,=\,f(x)

Ist sie für alle x gültig, liegt Achsensymmetrie vor, das heißt f ist eine gerade Funktion.

Diese Bedingung läuft darauf hinaus, dass die Funktionswerte für die entgegengesetzt gleichen Argumente $x$ und $-x$ übereinstimmen müssen.

Allgemeiner gilt: Der Graph einer Funktion f ist genau dann achsensymmetrisch zur Geraden mit der Gleichung $x=a$ , wenn die folgende Bedingung für beliebige Werte von x richtig ist:

f(a-x)\,=\,f(a+x)

Durch Substitution von $x$ mit $x-a$ erhält man die äquivalente Bedingung:

f(2a-x)\,=\,f(x)

Punktsymmetrie

Die Punktsymmetrie, auch Zentralsymmetrie,^[4] ist eine Eigenschaft geometrischer Objekte. Ein geometrisches Objekt (z. B. ein Viereck) heißt (in sich) punktsymmetrisch, wenn es eine Punktspiegelung gibt, die dieses Objekt auf sich abbildet. Der Punkt, an dem diese Spiegelung erfolgt, wird als Symmetriezentrum bezeichnet.

Beispiele

Bei einem Viereck liegt Punktsymmetrie (in sich) genau dann vor, wenn es sich um ein Parallelogramm handelt. Das Symmetriezentrum ist in diesem Fall der Schnittpunkt seiner Diagonalen. Als Sonderfälle des Parallelogramms sind auch Rechteck, Raute und Quadrat punktsymmetrisch.
Jeder Kreis ist (in sich) punktsymmetrisch zu seinem Mittelpunkt.
Zwei Kreise mit gleichem Radius sind zueinander punktsymmetrisch. Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke zwischen den beiden Kreismittelpunkten. Bei der Punktsymmetrie sind zueinander symmetrische Strecken immer gleich lang.

Punktsymmetrie von Funktionsgraphen

Eine vor allem in der Schulmathematik häufige Aufgabenstellung besteht darin nachzuweisen, dass der Graph einer gegebenen Funktion punktsymmetrisch ist. Dieser Nachweis kann mit der folgenden Formel geführt werden:

f(a+x)-b=-f(a-x)+b

.

Ist diese Gleichung für alle x erfüllt, liegt Punktsymmetrie zum Punkt (a,b) vor. Im Spezialfall von Punktsymmetrie um dem Ursprung (0,0) vereinfacht sich diese Gleichung zu:

f(-x)=-f(x)

.

Ist sie für alle x gültig, dann liegt Punktsymmetrie in Bezug auf den Koordinatenursprung vor.

Translationssymmetrie

Figuren, die durch eine Verschiebung oder Translation (die nicht die Identität ist) in sich selbst überführt werden, haben eine Translationssymmetrie. Sie werden auch als periodisch bezeichnet.

Figuren, die translationssymmetrisch sind, müssen zwangsläufig unbeschränkt sein. In Anwendungen der Mathematik ist dies praktisch nie gegeben, daher bezeichnet man dort auch beschränkte Teilmengen von periodischen Mengen (Kristallgitter u. Ä.) als periodisch.
Die Schaubilder periodischer reeller Funktionen wie der Sinus-Funktion weisen eine Translationssymmetrie in einer Richtung auf.

Skalensymmetrie

In manchen mathematischen und physikalischen Zusammenhängen wird die Unveränderbarkeit eines Objekts unter Vergrößerung oder Verkleinerung als Skalensymmetrie oder Skaleninvarianz bezeichnet. Sehr deutlich wird dieses Phänomen bei den sogenannten Fraktalen.

Symmetrien im Dreidimensionalen

In der Natur

Symmetrie der Stachelhäuter (Pentamerie) am Beispiel des Seesterns: fünfzählige Drehachse und vertikale Spiegelebenen (Punktgruppe C_5v nach Schoenflies)

Der Körperbau der weitaus meisten Tierarten sowie der Aufbau vieler Pflanzenorgane ist äußerlich annähernd spiegelsymmetrisch – in der Biologie als bilateralsymmetrisch bezeichnet – mit einer linken und einer rechten Hälfte. Die einzige Symmetrieebene (Monosymmetrie) ist die anatomische Medianebene, d. h. die mediane (mittig gelegene) Sagittalebene; das ist jede Ebene durch den Körper, die sich von vorne nach hinten und von oben nach unten erstreckt. 95 Prozent aller Tierarten, darunter der Mensch, sind Bilateria („Zweiseitentiere“) mit der namensgebenden Körpersymmetrie (bei den übrigen, sehr ursprünglichen Tieren (z. B. Quallen) findet sich oft Rotationssymmetrie bzgl. einer Längsachse, ihre Körper ist somit ein angenäherter Rotationskörper). Aufgrund der Monosymmetrie der Bilateria lassen sich eindeutige Ebenen und Richtungen des Körpers definieren, was eine anatomische Beschreibung vereinfacht. Doch die Symmetrie des Körpers ist nicht vollkommen, so sind viele einfach vorkommende (unpaare) innere Organe (z. B. Herz) von der Spiegelsymmetrie ausgenommen. Auch alle symmetrisch ausgebildeten Körperteile, beispielsweise beim Menschen Augen, Ohren, Arme, Beine, Brüste usw., weisen zueinander jeweils geringfügige Abweichungen in Lage, Form und Größe auf.

In der Zoologie wird die innerhalb der Bilateria einzigartige fünfstrahlige Radiärsymmetrie der Stachelhäuter als Pentamerie bezeichnet. Eine Bilateralsymmetrie ist nur bei der Larve vor der Metamorphose vorhanden. Ohne eine Symmetrie, d. h. asymmetrisch, sind die Gewebelosen (Schwämme und Placozoa).

Entsprechungen zu zweidimensionalen Symmetrieelementen

Der Achsensymmetrie im Zweidimensionalen entspricht die Spiegelsymmetrie bzgl. einer Ebene im Dreidimensionalen, der Punktsymmetrie die Achsensymmetrie (Drehsymmetrie um 180°). Daneben gibt es noch die Punkt-/ Zentralsymmetrie im Raum und wie in der Ebene Translationssymmetrien.