Ähnlichkeit (Matrix)

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Die Ähnlichkeit im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra ist eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der quadratischen Matrizen. Ähnliche Matrizen beschreiben dieselbe lineare Abbildung (Endomorphismus) bei Verwendung unterschiedlicher Basen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei quadratische Matrizen über dem Körper heißen zueinander ähnlich, wenn es eine reguläre Matrix gibt, sodass

oder äquivalent

gilt. Die Abbildung

heißt Ähnlichkeitsabbildung oder Ähnlichkeitstransformation. Ist eine Matrix einer Diagonalmatrix ähnlich, so heißt sie diagonalisierbar, ist sie einer oberen Dreiecksmatrix ähnlich, so heißt sie trigonalisierbar.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die beiden reellen Matrizen

  und  

sind zueinander ähnlich, denn mit der regulären Matrix

gilt

.

Die Matrix ist dabei nicht eindeutig bestimmt, denn auch jedes Vielfache mit erfüllt diese Identität.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kenngrößen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei zueinander ähnliche Matrizen haben das gleiche charakteristische Polynom, denn es gilt mit der Kommutativität der Einheitsmatrix , dem Determinantenproduktsatz und der Determinante der Inversen

Daher haben zueinander ähnliche Matrizen

Außerdem haben zueinander ähnliche Matrizen

Charakterisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei komplexe Matrizen sind genau dann zueinander ähnlich, wenn sie (bis auf die Reihenfolge der Jordanblöcke) die gleiche jordansche Normalform haben.

Allgemein sind nach dem Lemma von Frobenius zwei Matrizen und genau dann zueinander ähnlich, wenn sie die gleiche Frobenius-Normalform besitzen. Das ist genau dann der Fall, wenn ihre charakteristischen Matrizen und die gleiche Smith-Normalform aufweisen.

Äquivalenzklassen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ähnlichkeit von Matrizen ist eine Äquivalenzrelation, also reflexiv, symmetrisch und transitiv. Man schreibt

,

wenn und zueinander ähnlich sind und notiert die zu einer Matrix zugehörige Äquivalenzklasse durch

.

Zum Beispiel besteht die Äquivalenzklasse der zu einem Vielfachen der Einheitsmatrix ähnlichen Matrizen aus genau einem Element , denn für alle regulären Matrizen .

Die Ähnlichkeit von Matrizen ist ein Spezialfall der allgemeiner definierten Äquivalenz auf der Klasse der -Matrizen.

Berechnung der Transformationsmatrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vorgehensweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind zwei zueinander ähnliche Matrizen gegeben, so lässt sich eine Matrix , mit der gilt, folgendermaßen ermitteln. Zunächst werden die beiden Matrizen und in die gleiche Frobenius-Normalform (oder, falls möglich, die gleiche Jordan-Normalform) überführt. Sind die beiden hierzu verwendeten Ähnlichkeitstransformationen

  und  

mit regulären Matrizen , so folgt daraus durch Gleichsetzen

.

Die gesuchte Transformationsmatrix ist demnach

.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien die beiden -Matrizen und wie im obigen Beispiel gegeben. Die charakteristischen Polynome der beiden Matrizen ergeben sich zu

und

.

Die beiden charakteristischen Polynome stimmen also überein, wobei die Eigenwerte und sind. Nachdem das charakteristische Polynom vollständig in reelle Linearfaktoren zerfällt, lässt sich zu beiden Matrizen die gleiche Jordan-Normalform aufstellen, die in diesem Fall die Diagonalgestalt

hat. Die Transformationsmatrizen in die Jordan-Normalform haben dabei die Form und , wobei jeweils Eigenvektoren zum Eigenwert und jeweils Eigenvektoren zum Eigenwert sind. Für ergeben sich zwei Eigenvektoren durch Lösung von und als

  und   .

Entsprechend ergeben sich für zwei Eigenvektoren durch Lösung von und als

  und   .

Die beiden Transformationsmatrizen in die Jordan-Normalform sind demnach

  und  

und die gesuchte Ähnlichkeitstransformationsmatrix ist damit

.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]