Äquidistante Hyperfläche

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Eine Äquidistante Hyperfläche oder Parallele Hyperfläche ist in der Geometrie eine Hyperfläche, die in einem konstanten Abstand um eine Hyperfläche herumläuft. Dies verallgemeinert den Begriff der Parallelkurve, die in einem konstanten Abstand um eine Bezugslinie herumläuft. 2-dimensionale äquidistante Hyperflächen werden auch als Parallelflächen bezeichnet.

Die Funktion sei stetig differenzierbar und habe eine reguläre Nullstellenmenge (diese ist dann eine -dimensionale Untermannigfaltigkeit des ). Für hinreichend kleines ist die Äquidistante Hyperfläche mit Abstand von der Nullstellenmenge von   die Enveloppe der Sphärenschar .

Die Sphärenschar wird durch die Gleichungen

beschrieben.

Die Enveloppe hat in jedem Punkt mit einer der Sphären (parametrisiert durch ) den Tangentialraum im Punkt  gemeinsam. Die Tangentialvektoren an die Sphäre im Punkt genügen den Gleichungen

Bei der Enveloppe ändert sich im Allgemeinen auch der Scharparameter . Damit ergeben sich für die Tangentialvektoren der Enveloppe außer den Gleichungen (1) und (2) mit  noch die Gleichungen

Aus (3) und (4) folgt

für alle die zu Tangentialvektoren im Tangentialraum der Enveloppe korrespondieren, wegen (5) also für alle

Nach (6) ergibt sich daraus

woraus folgt, dass es  mit

gibt.

Mit (1),(2) und (7) hat man  skalare Gleichungen für die  Unbekannten . Unter den gemachten Voraussetzungen definieren diese Gleichungen also eine -dimensionale Mannigfaltigkeit, die dann gerade die Enveloppe der Sphärenschar -- sprich die Äquidistante Hyperfläche ist.

Alternative geometrische Interpretation: Die Vektoren   bilden eine maximale Menge linear unabhängiger Normalenvektoren auf der Mannigfaltigkeit  im Punkt . Damit besagt Gleichung (7), dass der Vektor  vom Punkt  zum zugehörigen Punkt  auf der Äquidistanten genau senkrecht auf der Mannigfaltigkeit  steht und Gleichung (2), dass der Punkt  den Abstand  von  haben soll.

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wankelmotor
  1. Anwendung im Formenbau: Für die Herstellung von Massenartikeln werden häufig Gießverfahren (Spritzgießen, Druckgießen, Kokillenguss usw,) angewendet. Die Gussform hat im Innern die negative Kontur des herzustellenden Artikels als Hohlraum. Für viele Artikel ist eine konstante Wandstärke ausschlaggebend. Daher hat die Beherrschung der Äquidistante in diesem Bereich eine große Bedeutung.
  2. Die Äquidistanten-Funktion wird von den meisten CAD-Systemen angeboten. Beispielsweise heißt bei AUTOCAD der deutsche Befehl „versetzen“. Damit kann man beispielsweise sehr schnell eine Dränage mit vorgegebenen Abstand rund um ein Haus festlegen.
  3. Beim Wankelmotor ist die Hüllkurve der Trochoide (Radkurve) des Rotors im Abstand d eine Äquidistante Hyperfläche.