2-Kategorie

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie sind 2-Kategorien die einfachsten Beispiele höherer Kategorien.

Definition und Notation

Ausführlich

Eine strikte 2-Kategorie ${\mathcal {C}}$ bringt folgende Daten mit:

eine Klasse von 0-Morphismen ${\mathcal {C}}_{0}$ ,
für je zwei 0-Morphismen $x,y\in {\mathcal {C}}_{0}$ eine Ansammlung von 1-Morphismen ${\mathcal {C}}_{1}(x,y)$ ,
für je zwei 0-Morphismen $x,y\in {\mathcal {C}}_{0}$ und 1-Morphismen $f,g\in {\mathcal {C}}_{1}(x,y)$ eine Klasse von 2-Morphismen ${\mathcal {C}}_{2}(f,g)$ ,
für je drei 0-Morphismen $x,y,z\in {\mathcal {C}}_{0}$ eine Kompositionsoperation für 1-Morphismen $\bullet \colon {\mathcal {C}}_{1}(y,z)\times {\mathcal {C}}_{1}(x,y)\to {\mathcal {C}}_{1}(x,z)$ ,
für je zwei 0-Morphismen $x,y\in {\mathcal {C}}_{0}$ und 1-Morphismen $f,g,h\in {\mathcal {C}}_{1}(x,y)$ eine vertikale Kompositionsoperation $\circ \colon {\mathcal {C}}_{2}(g,h)\times {\mathcal {C}}_{2}(f,g)\to {\mathcal {C}}_{2}(f,h)$ ,
für je drei 0-Morphismen $x,y,z\in {\mathcal {C}}_{0}$ und 1-Morphismen $f,g\in {\mathcal {C}}_{1}(y,z)$ und $h,i\in {\mathcal {C}}_{1}(x,y)$ eine horizontale Kompositionsoperation $\bullet \colon {\mathcal {C}}_{2}(f,g)\times {\mathcal {C}}_{2}(h,i)\to {\mathcal {C}}_{2}(f\bullet h,g\bullet i)$ ,
für jeden 0-Morphismus $x\in {\mathcal {C}}_{0}$ einen ausgezeichneten 1-Morphismus $\mathrm {id} _{x}\in {\mathcal {C}}_{1}(x,x)$ ,
für je zwei 0-Morphismen $x,y\in {\mathcal {C}}_{0}$ und jeden 1-Morphismus $f\in {\mathcal {C}}_{1}(x,y)$ einen ausgezeichneten 2-Morphismus $\mathrm {id} _{f}\in {\mathcal {C}}_{2}(f,f)$ .

Wir schreiben $f\colon x\to y$ , um zu deklarieren, dass $f$ ein 1-Morphismus von $x$ nach $y$ , also Element von ${\mathcal {C}}_{1}(x,y)$ ist, und $\alpha \colon f\Rightarrow g$ , um zu deklarieren, dass $\alpha$ ein 2-Morphismus von $f$ nach $g$ , also Element von ${\mathcal {C}}_{2}(f,g)$ ist.

Diese Daten gehorchen folgenden Axiomen:

$\mathrm {id} _{y}\bullet f=f=f\bullet \mathrm {id} _{x}$ für alle 1-Morphismen $f\colon x\to y$ ,
$f\bullet (g\bullet h)=(f\bullet g)\bullet h$ für alle 1-Morphismen $f\colon y\to z,g\colon x\to y,h\colon w\to x$ ,
$\mathrm {id} _{g}\circ \alpha =\alpha =\alpha \circ \mathrm {id} _{f}$ für alle 2-Morphismen $\alpha \colon f\Rightarrow g$ ,
$\alpha \circ (\beta \circ \gamma )=(\alpha \circ \beta )\circ \gamma$ für alle $f,g,h,i\colon x\to y,\alpha \colon h\Rightarrow i,\beta \colon g\Rightarrow h,\gamma \colon f\Rightarrow g$ ,
$\mathrm {id} _{\mathrm {id} _{y}}\bullet \alpha =\alpha =\alpha \bullet \mathrm {id} _{\mathrm {id} _{x}}$ für alle $f,g\colon x\to y,\alpha \colon f\Rightarrow g$ ,
$\alpha \bullet (\beta \bullet \gamma )=(\alpha \bullet \beta )\bullet \gamma$ für alle $f,g\colon w\to x,h,i\colon x\to y,j,k\colon y\to z,\alpha \colon j\Rightarrow k,\beta \colon h\Rightarrow i,\gamma \colon f\Rightarrow g$ ,
$(\alpha \circ \beta )\bullet (\gamma \circ \delta )=(\alpha \bullet \gamma )\circ (\beta \bullet \delta )$ für alle $f,g,h\colon x\to y,i,j,k\colon y\to z,\alpha \colon j\Rightarrow k,\beta \colon i\Rightarrow j,\gamma \colon g\Rightarrow h,\delta \colon f\Rightarrow g$ .

Per Anreicherung

Eine strikte 2-Kategorie ist eine $(\mathrm {Cat} ,\times )$ -angereicherte Kategorie. Das heißt, eine strikte 2-Kategorie ${\mathcal {C}}$ bringt folgende Daten mit:

eine Klasse von 0-Morphismen ${\mathcal {C}}_{0}$ ,
für je zwei 0-Morphismen $x,y\in {\mathcal {C}}_{0}$ eine Kategorie $\mathrm {Hom} (x,y)$ ,
für jeden 0-Morphismus $x\in {\mathcal {C}}_{0}$ einen Funktor $i_{x}\colon 1\to \mathrm {Hom} (x,x)$ ,
für je drei 0-Morphismen $x,y,z\in {\mathcal {C}}_{0}$ einen Funktor $c_{x,y,z}\colon \mathrm {Hom} (y,z)\times \mathrm {Hom} (x,y)\to \mathrm {Hom} (x,z)$ ,

und diese gehorchen folgenden Axiomen für alle $w,x,y,z\in {\mathcal {C}}_{0}$ :

$c_{x,y,y}\circ (i_{y}\times \mathrm {id} )=\pi _{2}\colon 1\times \mathrm {Hom} (x,y)\to \mathrm {Hom} (x,y)$ ,
$c_{x,x,y}\circ (\mathrm {id} \times i_{x})=\pi _{1}\colon \mathrm {Hom} (x,y)\times 1\to \mathrm {Hom} (x,y)$ ,
$c_{w,y,z}\circ (\mathrm {id} \times c_{w,x,y})=c_{w,x,z}\circ (c_{x,y,z}\times \mathrm {id} )\colon \mathrm {Hom} (y,z)\times \mathrm {Hom} (x,y)\times \mathrm {Hom} (w,x)\to \mathrm {Hom} (w,z)$ .

Bezug zur ausführlichen Definition

Die Objekte eines $\mathrm {Hom} (x,y)$ sind die 1-Morphismen in ${\mathcal {C}}$ . Die Pfeile eines $\mathrm {Hom} (x,y)$ sind die 2-Morphismen in ${\mathcal {C}}$ .

Die Wirkung der Funktoren $c_{x,y,z}$ auf Objekte ergibt die Komposition von 1-Morphismen. Die Kategorienstruktur der $\mathrm {Hom} (x,y)$ ergibt die vertikale Komposition von 2-Morphismen. Die Wirkung der Funktoren $c_{x,y,z}$ auf Pfeile ergibt die horizontale Komposition von 2-Morphismen.

Notation

Häufig wird anstelle des infix- $\bullet$ für die Komposition von 1-Morphismen und die horizontale Komposition von 2-Morphismen einfach Juxtaposition verwendet, natürlicherweise mit stärkerer Bindung als das infix- $\circ$ für die vertikale Komposition: $\alpha \beta =\alpha \bullet \beta ;fg=f\bullet g$ . Des Weiteren schreibt man die Identität $\mathrm {id} _{f}\colon f\Rightarrow f$ auf dem 1-Morphismus $f$ häufig auch als $f$ , und die Identität $\mathrm {id} _{x}\colon x\to x$ auf dem 0-Morphismus $x$ häufig auch als $x$ .

Begriffsübertragung

Diverse Begriffsbildungen über Kategorien, Funktoren und natürliche Transformationen kann man in jede 2-Kategorie übertragen.

Beispiel: der Begriff der Adjunktion von Funktoren: Es sei ${\mathcal {C}}$ eine beliebige 2-Kategorie, und $C,D\in {\mathcal {C}}_{0}$ 0-Morphismen in ${\mathcal {C}}$ , und $F\colon C\to D,G\colon D\to C$ . Dann heißt $F$ rechtsadjungiert zu $G$ und $G$ linksadjungiert zu $F$ (notiert $G\dashv F$ ), wenn es 2-Morphismen $\eta \colon \mathrm {id} _{D}\Rightarrow F\bullet G$ und $\varepsilon \colon G\bullet F\Rightarrow \mathrm {id} _{C}$ in ${\mathcal {C}}$ gibt mit

$(\varepsilon \bullet \mathrm {id} _{G})\circ (\mathrm {id} _{G}\bullet \eta )=\mathrm {id} _{G}$ und
$(\mathrm {id} _{F}\bullet \varepsilon )\circ (\eta \bullet \mathrm {id} _{F})=\mathrm {id} _{F}$ .

In kürzerer Form: $G\dashv F$ , wenn es $\eta \colon D\Rightarrow FG$ und $\varepsilon \colon GF\Rightarrow C$ gibt mit

$\varepsilon G\circ G\eta =G$ und
$F\varepsilon \circ \eta F=F$ .

Beispiele

Relationen zwischen Mengen bilden eine strikte 2-Kategorie $\mathrm {Rel}$ :

$\mathrm {Rel} _{0}$ ist die Klasse aller Mengen,
$\mathrm {Rel} _{1}(X,Y)$ ist die Klasse der Relationen von $X$ nach $Y$ ,
Elemente von $\mathrm {Rel} _{2}(R,S)$ mit $R,S\in \mathrm {Rel} _{1}(X,Y)$ sind "Zeugen" für $R\leq S$ , wobei $\leq$ auf den jeweiligen $\mathrm {Rel} _{1}(X,Y)$ definiert ist durch $R\leq S\iff \forall x\in X,y\in Y\colon xRy\implies xSy$ ,
die Komposition von 1-Morphismen ist die Komposition von Relationen,
die vertikale Komposition von 2-Morphismen bezeugt die Transitivität der jeweiligen $\leq$ ,
die horizontale Komposition von 2-Morphismen bezeugt die Monotonie der Kompositionsoperation von Relationen bzgl. $\leq$ in beiden Argumenten,
fasst mal Funktionen in üblicher Weise als spezielle Relationen auf, dann sind in dieser 2-Kategorie Funktionen genau die linksadjungierten, also jene 1-Morphismen zu denen es ein einen rechtsadjungierten 1-Morphismus gibt.

Sei ${{\mathcal {G}}rp}$ die Kategorie der Gruppen und Gruppenhomomorphismen. Diese wird eine 2-Kategorie mit den Konjugationsabbildungen als 2-Isomorphismen durch

Mor_{2}(f_{0},f_{1})=\left\{h\in H\colon f_{1}(g)=hf_{0}(g)h^{-1}\ \forall \ g\in G\right\}

für alle

f_{0},f_{1}\in Mor(G,H)

.

Sei ${{\mathcal {T}}op}$ die Kategorie der topologischen Räume und stetigen Abbildungen. Diese wird eine 2-Kategorie mit den Homotopien als 2-Homomorphismen durch

Mor_{2}(f_{0},f_{1})=\left\{H\colon X\times \left[0,1\right]\to Y\colon H(x,i)=f_{i}(x)\ \forall \ x\in X,i\in \left\{0,1\right\}\right\}

für alle

f_{0},f_{1}\in Mor(X,Y)

.

Sei ${{\mathcal {C}}at}$ die Kategorie der Kategorien und Funktoren. Diese wird eine 2-Kategorie mit den natürlichen Transformationen als 2-Morphismen durch