4294967295-Eck

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Das regelmäßige 4294967295-Eck (4-Milliarden-294-Millionen-967-Tausend-295-Eck) ist das regelmäßige Polygon mit der – soweit bekannt – größten ungeraden Eckenanzahl, das sich theoretisch mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt.[1]

Die Arbeiten von Gauß und Wantzel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seit der Antike war bekannt, dass sich gleichseitige Dreiecke, Vierecke und Fünfecke mit Lineal und Zirkel, ohne Zuhilfenahme anderer Hilfsmittel, konstruieren lassen. Im Jahr 1796 bewies der damals 19-jährige Carl Friedrich Gauß, dass dies auch für das reguläre Siebzehneck möglich ist. Einige Jahre später führte er in seinen Disquisitiones Arithmeticae den allgemeineren Beweis, dass sich ein regelmäßiges Polygon genau dann konstruieren lässt, wenn seine Eckenanzahl als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen, also Primzahlen der Form , darstellbar ist. Diesen Beweis vervollständigte 1837 der französische Mathematiker Pierre Wantzel. Zurzeit sind nur die Fermatschen Primzahlen bekannt. Aus dieser Menge sind 31 nichtleere Kombinationen bildbar, somit lassen sich mit Zirkel und Lineal genau 31 regelmäßige Polygone mit ungerader Eckenanzahl konstruieren. Das größtmögliche Produkt aus paarweise voneinander verschiedenen Zahlen dieser Menge ist also . Die größte dabei mögliche Eckenanzahl ist also 4.294.967.295. Ob sich noch weitere regelmäßige Polygone mit ungerader Eckenzahl konstruieren lassen, ist unbekannt und hängt von der Frage ab, ob es noch weitere außer den bekannten 5 Fermatschen Primzahlen gibt. Dies ist ein bisher ungelöstes mathematisches Problem.

Für regelmäßige Polygone mit gerader Eckenanzahl lässt sich keine maximale Eckenanzahl für die Konstruierbarkeit angeben, weil gemäß der Formel von Gauß für jedes konstruierbare Polygon mit Ecken auch das Polygon mit Ecken konstruierbar ist. Das bedeutet, dass es unendlich viele konstruierbare regelmäßige Polygone mit gerader Eckenanzahl gibt.

Mathematische Zusammenhänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ergebnisse zu Seitenlänge, Inkreisradius und Flächeninhalt beziehen sich auf einen Umkreisradius (Einheitskreis)

Innenwinkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Innenwinkel wird von zwei benachbarten Seiten der Länge eingeschlossen, darin ist die Anzahl der Seiten bzw. Ecken.

Zentriwinkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel wird von zwei benachbarten Umkreisradien der Länge eingeschlossen.

Seitenlänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Seitenlänge errechnet sich zu

Beispiel: Bei einem Umkreisradius R = 1.000 km hat die Seitenlänge den Wert 1,46 mm.

Inkreisradius[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Inkreisradius ist die Höhe eines gleichschenkligen Teildreiecks mit den beiden Schenkeln gleich dem Umkreisradius und der Grundlinie gleich der Seitenlänge :

Flächeninhalt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein zu . Für die Berechnung des 4294967295-Ecks werden die Ergebnisse der Seitenlänge und des Inkreisradius (beide mit R = 1) herangezogen, worin für die Höhe eingesetzt wird:

daraus folgt für die Fläche eines Teildreiecks
zusammengefasst ergibt sich
und für die Fläche des ganzen 4294967295-Ecks

Die Differenz des Flächeninhalts des 4294967295-Ecks zum Flächeninhalt des Umkreises (R = 1) ist

Beispiel: Hat der Umkreis einen Flächeninhalt gleich Radius , dann ist vergleichsweise der Flächeninhalt des 4294967295-Ecks nur um kleiner.

Veranschaulichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Würde man ein derartiges Polygon in der Mondumlaufbahn (Bahnlänge = 2.407.100,2 km) platzieren, dann gäbe es ungefähr alle 56 cm eine Ecke.

Würde man eines um den Äquator (Durchmesser = 12.756,32 km) herum platzieren, dann wäre ungefähr alle 9,3 mm eine Ecke zu finden.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Zahlenlexikon. (PDF; 3,8 MB) Abgerufen am 8. März 2018: „4294967295 Nur mit Zirkel und Lineal sind genau 31 Polygone mit ungerader Eckenzahl konstruierbar. Das größte hat 4294967295 Ecken.“