4294967295-Eck

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Das regelmäßige 4294967295-Eck (4-Milliarden-294-Millionen-967-Tausend-295-Eck) ist das regelmäßige Polygon mit der – soweit bekannt – größten ungeraden Eckenzahl, das sich theoretisch nur mit Zirkel und Lineal konstruieren lässt.[1]

Begründung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gemäß Carl Friedrich Gauß lässt sich ein regelmäßiges Polygon genau dann konstruieren, wenn seine Eckenzahl als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen, also Primzahlen der Form , darstellbar ist. Zurzeit sind nur die Fermatschen Primzahlen 3, 5, 17, 257 und 65537 bekannt. Das größtmögliche Produkt paarweise voneinander verschiedener bisher bekannter Fermatscher Primzahlen ist also . Mit Zirkel und Lineal sind – falls keine weiteren Fermatschen Primzahlen existieren – genau 31 regelmäßige Polygone mit ungerader Eckenzahl konstruierbar. Die größte dabei mögliche Eckenzahl ist also 4294967295.

Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für regelmäßige Polygone mit gerader Eckenzahl lässt sich keine maximale Eckenzahl für die Konstruierbarkeit angeben, weil gemäß der Formel von Gauß für jedes konstruierbare Polygon mit Ecken auch das Polygon mit Ecken konstruierbar ist. Das bedeutet, dass es unendlich viele konstruierbare regelmäßige Polygone mit gerader Eckenzahl gibt.

Veranschaulichungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Würde man ein derartiges Polygon (z. B. aus Rundstahl) in der Mondumlaufbahn (Bahnlänge = 2407100,2 km) platzieren, dann gäbe es alle 56 cm eine Schweißnaht (Ecke).

Würde man eines um den Äquator (Durchmesser = 12756,32 km) herum platzieren, dann wäre alle 9,3 mm eine Ecke zu finden.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Zahlenlexikon. Abgerufen am 8. März 2018 (PDF; 3,8 MB): „4294967295 Nur mit Zirkel und Lineal sind genau 31 Polygone mit ungerader Eckenzahl konstruierbar. Das größte hat 4294967295 Ecken.“