72er-Regel

Exakte Verdopplungszeiten einer Kapitalanlage (gestrichelte Linien) und Näherungen mit der 72er-Regel (kurze Striche mit Zahlen) für verschiedene Zinssätze

Die 72er-Regel ist eine Faustformel aus der Zinsrechnung. Die Regel gibt näherungsweise an, nach wie vielen Jahren sich eine verzinsliche Kapitalanlage im Nennwert verdoppelt. Dazu teilt man 72 durch die Prozentzahl des jährlichen Zinssatzes des angelegten Betrages, daher der Name der Regel. Varianten der 72er-Regel sind die 70er-Regel und die 69er-Regel.

Formel

Die Zeit $t$$t$ (in Jahren), in der sich eine Kapitalanlage mit Zinssatz $p$$p$ (in Prozent) verdoppelt, ist nach der 72er-Regel:

$t\approx {\frac {72}{p}}~{\text{Jahre}}$$t \approx \frac{72}{p} ~\text{Jahre}$.

Man kann dieselbe Formel benutzen, um abzuschätzen, welcher Zinssatz $p$$p$ benötigt wird, um ein Kapital in vorgegebener Zeit $t$$t$ zu verdoppeln:

$p\approx {\frac {72~{\text{Jahre}}}{t}}$$p \approx \frac{72 ~\text{Jahre}}{t}$.

Beispiele

In welcher Zeit $t$$t$ wird sich ein Betrag, der zu einem Zinssatz von $p=8$$p = 8$ (Prozent) pro Jahr angelegt ist, verdoppeln?

$t={\frac {72}{p}}~{\text{Jahre}}={\frac {72}{8}}~{\text{Jahre}}=9~{\text{Jahre}}$$t = \frac{72}{p} ~\text{Jahre} = \frac{72}{8} ~\text{Jahre} = 9 ~\text{Jahre}$

Welchen Zinssatz $p$$p$ (in Prozent) benötigt man, um ein Kapital im Zeitraum $t=12~{\text{Jahre}}$$t=12 ~\text{Jahre}$ zu verdoppeln?

$p={\frac {72~{\text{Jahre}}}{t}}={\frac {72~{\text{Jahre}}}{12~{\text{Jahre}}}}=6$$p = \frac{72 ~\text{Jahre}}{t} = \frac{72 ~\text{Jahre}}{12 ~\text{Jahre}} = 6$

Selbstverständlich kann die 72er-Regel nicht nur auf die Zinsrechnung, sondern auf jede Art von exponentiellem Wachstum angewandt werden. Beispielsweise beträgt die Generationszeit, also die Zeit, bis sich eine Bevölkerung verdoppelt, bei einem jährlichen Bevölkerungswachstum von $4\,\%$$4\,\%$ ungefähr ${\tfrac {72}{4}}=18$$\tfrac{72}{4}=18$ Jahre.

Herleitung

Nach der Zinseszinsformel ist das Endkapital $K_{t}$$K_t$ einer festverzinslichen Anlage mit Anfangskapital $K_{0}$$K_{0}$ bei einem Zinssatz von $p$$p$ (in Prozent) nach einer Laufzeit von $t$$t$ Jahren bei jährlicher Verzinsung

$K_{t}=K_{0}\left(1+{\frac {p}{100}}\right)^{t}$$K_t = K_0 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^t$.

Setzt man nun $K_{t}=2K_{0}$$K_t=2K_0$, wendet den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an und löst nach $t$$t$ auf, ergibt sich die Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung als

$t={\frac {\ln(2)}{\ln(1+{\frac {p}{100}})}}$$t = \frac{\ln(2)}{\ln(1 + \frac{p}{100})}$.

Nachdem $\ln(1+x)$$\ln(1+x)$ für betragsmäßig kleine $x$$x$ gegen $x$$x$ konvergiert (siehe Taylor-Reihe) und mit $\ln(2)\approx 0{,}6931$$\ln(2)\approx 0{,}6931$ ergibt sich als Näherungsformel

$t\approx {\frac {0{,}6931}{\frac {p}{100}}}={\frac {69{,}31}{p}}$$t \approx \frac{0{,}6931}{\frac{p}{100}} = \frac{69{,}31}{p}$.

Nähert man nun $\ln(2)$$\ln(2)$ durch $0{,}69$$0{,}69$ oder $0{,}70$$0{,}70$, so spricht man von der 69er-Regel oder der 70er-Regel. Als Faustwert hat sich aber die Näherung durch $0{,}72$$0{,}72$ bewährt, unter anderem weil die Zahl $72$$72$ viele kleine Teiler aufweist $(72=2^{3}\cdot 3^{2})$$(72 = 2^3 \cdot 3^2)$. Für die 69er-Regel findet sich in der Literatur auch eine Modifikation der Form

$t\approx {\frac {69}{p}}+0{,}35$$t\approx {\frac {69}{p}}+0{,}35$,

die man durch Taylor-Entwicklung der Logarithmusfunktion bis zur zweiten Ordnung erhält.

Genauigkeit

Die folgende Tabelle vergleicht die Abschätzungen gemäß der 72er-, der 70er-, der 69er-Regel und der modifizierten 69er-Regel mit den tatsächlichen Werten für typische Zinssätze.

Zinssatz $p$$p$	Verdopplungs- zeit $t$$t$	72er-Regel	70er-Regel	69er-Regel	69er-Regel (modifiziert)
0,25 %	277,605	288,000	280,000	276,000	276,350
0,5 %	138,976	144,000	140,000	138,000	138,350
1 %	69,661	72,000	70,000	69,000	69,350
2 %	35,003	36,000	35,000	34,500	34,850
3 %	23,450	24,000	23,333	23,000	23,350
4 %	17,673	18,000	17,500	17,250	17,600
5 %	14,207	14,400	14,000	13,800	14,150
6 %	11,896	12,000	11,667	11,500	11,850
7 %	10,245	10,286	10,000	9,857	10,207
8 %	9,006	9,000	8,750	8,625	8,975
9 %	8,043	8,000	7,778	7,667	8,017
10 %	7,273	7,200	7,000	6,900	7,250
11 %	6,642	6,545	6,364	6,273	6,623
12 %	6,116	6,000	5,833	5,750	6,100
15 %	4,959	4,800	4,667	4,600	4,950
18 %	4,188	4,000	3,889	3,833	4,183
20 %	3,802	3,600	3,500	3,450	3,800
25 %	3,106	2,880	2,800	2,760	3,110
30 %	2,642	2,400	2,333	2,300	2,650
40 %	2,060	1,800	1,750	1,725	2,075
50 %	1,710	1,440	1,400	1,380	1,730

Siehe auch

• Zeitwert des Geldes

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Rule of 72. In: MathWorld (englisch).
• Rule of 72, Online-Rechner von moneychimp.com (englisch)