72er-Regel
Die 72er-Regel ist eine Faustformel aus der Zinsrechnung. Die Regel gibt näherungsweise die Verdopplungszeit an, also die Zeit nach der sich eine verzinsliche Kapitalanlage im Nennwert verdoppelt (durch den Effekt des Zinseszins). Dazu teilt man 72 durch die Prozentzahl des Zinssatzes des angelegten Betrages, daher der Name der Regel. Varianten der 72er-Regel sind die 70er-Regel und die 69er-Regel.
Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Zeit (in Jahren), in der sich eine Kapitalanlage mit Zinssatz (in Prozent pro Jahr) verdoppelt, ist nach der 72er-Regel:
- .
Man kann dieselbe Formel benutzen, um abzuschätzen, welcher Zinssatz benötigt wird, um ein Kapital in vorgegebener Zeit zu verdoppeln:
- .
Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
In welcher Zeit wird sich ein Betrag, der zu einem Zinssatz von (Prozent pro Jahr) angelegt ist, verdoppeln?
Welchen Zinssatz (in Prozent pro Jahr) benötigt man, um ein Kapital im Zeitraum zu verdoppeln?
Selbstverständlich kann die 72er-Regel nicht nur auf die Zinsrechnung, sondern auf jede Art von exponentiellem Wachstum angewandt werden. Beispielsweise beträgt die Generationszeit, also die Zeit, bis sich eine Bevölkerung verdoppelt, bei einem jährlichen Bevölkerungswachstum von ungefähr Jahre.
Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Nach der Zinseszinsformel ist das Endkapital einer festverzinslichen Anlage mit Anfangskapital bei einem Zinssatz von (in Prozent) nach einer Laufzeit von Jahren bei jährlicher Verzinsung
- .
Setzt man nun , wendet den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an und löst nach auf, ergibt sich die Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung als
- .
Nachdem für betragsmäßig kleine gegen konvergiert (siehe Taylor-Reihe) und mit ergibt sich als Näherungsformel
- .
Nähert man nun durch oder , so spricht man von der 69er-Regel[1] oder der 70er-Regel.[2] Als Faustwert hat sich aber die Näherung durch bewährt, unter anderem weil die Zahl viele kleine Teiler aufweist .[3] Für die 69er-Regel findet sich in der Literatur auch eine Modifikation der Form
- ,
die man durch Taylor-Entwicklung der Logarithmusfunktion bis zur zweiten Ordnung erhält.[4][5]
Genauigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die folgende Tabelle vergleicht die Abschätzungen gemäß der 72er-, der 70er-, der 69er-Regel und der modifizierten 69er-Regel mit den tatsächlichen Werten für typische Zinssätze.
Zinssatz | Verdopplungs- zeit |
72er-Regel | 70er-Regel | 69er-Regel | 69er-Regel (modifiziert) |
---|---|---|---|---|---|
0,25 % | 277,605 | 288,000 | 280,000 | 276,000 | 276,350 |
0,5 % | 138,976 | 144,000 | 140,000 | 138,000 | 138,350 |
1 % | 69,661 | 72,000 | 70,000 | 69,000 | 69,350 |
2 % | 35,003 | 36,000 | 35,000 | 34,500 | 34,850 |
3 % | 23,450 | 24,000 | 23,333 | 23,000 | 23,350 |
4 % | 17,673 | 18,000 | 17,500 | 17,250 | 17,600 |
5 % | 14,207 | 14,400 | 14,000 | 13,800 | 14,150 |
6 % | 11,896 | 12,000 | 11,667 | 11,500 | 11,850 |
7 % | 10,245 | 10,286 | 10,000 | 9,857 | 10,207 |
8 % | 9,006 | 9,000 | 8,750 | 8,625 | 8,975 |
9 % | 8,043 | 8,000 | 7,778 | 7,667 | 8,017 |
10 % | 7,273 | 7,200 | 7,000 | 6,900 | 7,250 |
11 % | 6,642 | 6,545 | 6,364 | 6,273 | 6,623 |
12 % | 6,116 | 6,000 | 5,833 | 5,750 | 6,100 |
15 % | 4,959 | 4,800 | 4,667 | 4,600 | 4,950 |
18 % | 4,188 | 4,000 | 3,889 | 3,833 | 4,183 |
20 % | 3,802 | 3,600 | 3,500 | 3,450 | 3,800 |
25 % | 3,106 | 2,880 | 2,800 | 2,760 | 3,110 |
30 % | 2,642 | 2,400 | 2,333 | 2,300 | 2,650 |
40 % | 2,060 | 1,800 | 1,750 | 1,725 | 2,075 |
50 % | 1,710 | 1,440 | 1,400 | 1,380 | 1,730 |
Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Eric W. Weisstein: Rule of 72. In: MathWorld (englisch).
- Rule of 72. Online-Rechner von moneychimp.com (englisch)
Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- ↑ Pamela Peterson Drake, Frank J. Fabozzi: Foundations and Applications of the Time Value of Money. John Wiley & Sons, 2009, S. 89.
- ↑ M. C. Lovell: Economics With Calculus. World Scientific, 2004, S. 361.
- ↑ R. L. Finney, G. B. Thomas: Calculus. Addison-Wesley, 1990, S. 360.
- ↑ J. P. Gould, R. L. Weil: The Rule of 69. In: Journal of Business. Band 39, 1974, S. 397–398.
- ↑ Richard P. Brief: A note on “rediscovery” and the rule of 69. In: The Accounting Review. Band 52, Nr. 4, 1977, S. 810–812.