72er-Regel

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Exakte Verdopplungszeiten einer Kapitalanlage (gestrichelte Linien) und Näherungen mit der 72er-Regel (kurze Striche mit Zahlen) für verschiedene Zinssätze

Die 72er-Regel ist eine Faustformel aus der Zinsrechnung. Die Regel gibt näherungsweise die Verdopplungszeit an, also die Zeit nach der sich eine verzinsliche Kapitalanlage im Nennwert verdoppelt (durch den Effekt des Zinseszins). Dazu teilt man 72 durch den Zinsfuß des angelegten Betrages, daher der Name der Regel. Varianten der 72er-Regel sind die 70er-Regel und die 69er-Regel.

Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zeit (in Jahren), in der sich eine Kapitalanlage mit Zinssatz (pro Jahr) verdoppelt, ist nach der 72er-Regel:

.

Dabei bezeichnet den Zinsfuß.

Man kann dieselbe Formel benutzen, um abzuschätzen, welcher Zinsfuß benötigt wird, um ein Kapital in vorgegebener Zeit zu verdoppeln:

.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In welcher Zeit wird sich ein Betrag, der zu einem Zinsfuß von (8 Prozent pro Jahr) angelegt ist, verdoppeln?

Welchen Zinsfuß (pro Jahr) benötigt man, um ein Kapital im Zeitraum zu verdoppeln?

Die 72er-Regel kann nicht nur auf die Zinsrechnung, sondern auf jede Art exponentiellen Wachstums angewendet werden. Beispielsweise beträgt die Generationszeit, also die Zeitspanne, in der sich eine Mikrobenpopulation verdoppelt, bei einer stündlichen Wachstumsrate von ungefähr Stunden.

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach der Zinseszinsformel ist das Endkapital einer festverzinslichen Anlage mit Anfangskapital bei einem Zinssatz von nach einer Laufzeit von Jahren bei jährlicher Verzinsung

.

Setzt man nun , wendet den Logarithmus auf beiden Seiten der Gleichung an und löst nach auf, ergibt sich die Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung als

.

Nachdem für betragsmäßig kleine gegen konvergiert (siehe Taylor-Reihe) und mit ergibt sich als Näherungsformel

.

Nähert man nun durch oder , so spricht man von der 69er-Regel[1] oder der 70er-Regel.[2] Als Faustwert hat sich aber die Näherung durch bewährt, unter anderem weil die Zahl viele kleine Teiler aufweist .[3] Für die 69er-Regel findet sich in der Literatur auch eine Modifikation der Form

,

die durch numerische Approximation gefunden wurde.[4][5] Die Logarithmusfunktion kann damit im Bereich mit maximal 0,5-prozentiger Abweichung genähert werden. Wird 0,32 als Wert des Absolutglieds verwendet, betragen die Abweichungen im Bereich maximal ein Prozent gegenüber den exakten Verdopplungszeiten.

Genauigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Relative Genauigkeiten der 72er-Regel sowie ihrer Varianten.

Die folgende Tabelle vergleicht die Abschätzungen gemäß der 72er-, der 70er-, der 69er-Regel und weiteren oben aufgeführten Näherungen mit den tatsächlichen Werten für typische Zinssätze. Eine grafische Darstellung der relativen Genauigkeiten zeigt das Diagramm am rechten Rand.

Zinssatz Verdopplungs-
zeit
72er-Regel 70er-Regel 69er-Regel Näherung
69/p + 0,35
Näherung
69/p + 0,32
0,25 % 277,605 288,000 280,000 276,000 276,350 276,320
0,5 % 138,976 144,000 140,000 138,000 138,350 138,320
1 % 69,661 72,000 70,000 69,000 69,350 69,320
2 % 35,003 36,000 35,000 34,500 34,850 34,820
3 % 23,450 24,000 23,333 23,000 23,350 23,320
4 % 17,673 18,000 17,500 17,250 17,600 17,570
5 % 14,207 14,400 14,000 13,800 14,150 14,120
6 % 11,896 12,000 11,667 11,500 11,850 11,820
7 % 10,245 10,286 10,000 9,857 10,207 10,177
8 % 9,006 9,000 8,750 8,625 8,975 8,945
9 % 8,043 8,000 7,778 7,667 8,017 7,987
10 % 7,273 7,200 7,000 6,900 7,250 7,220
11 % 6,642 6,545 6,364 6,273 6,623 6,593
12 % 6,116 6,000 5,833 5,750 6,100 6,070
15 % 4,959 4,800 4,667 4,600 4,950 4,920
18 % 4,188 4,000 3,889 3,833 4,183 4,153
20 % 3,802 3,600 3,500 3,450 3,800 3,770
25 % 3,106 2,880 2,800 2,760 3,110 3,080
30 % 2,642 2,400 2,333 2,300 2,650 2,620
40 % 2,060 1,800 1,750 1,725 2,075 2,045
50 % 1,710 1,440 1,400 1,380 1,730 1,700

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • John J. Spitzer, Sandeep Singh: The rule of 72?. Financial Counseling and Planning 10 [1] (1999).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Pamela Peterson Drake, Frank J. Fabozzi: Foundations and Applications of the Time Value of Money. John Wiley & Sons, 2009, S. 89.
  2. M. C. Lovell: Economics With Calculus. World Scientific, 2004, S. 361.
  3. R. L. Finney, G. B. Thomas: Calculus. Addison-Wesley, 1990, S. 360.
  4. J. P. Gould, R. L. Weil: The Rule of 69. In: Journal of Business. Band 39, 1974, S. 397–398.
  5. Richard P. Brief: A note on “rediscovery” and the rule of 69. In: The Accounting Review. Band 52, Nr. 4, 1977, S. 810–812.