Proendliche Vervollständigung

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Im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie ist die proendliche Vervollständigung eine Konstruktion, mit der die Informationen über alle endlichen Faktorgruppen einer Gruppe zusammengefasst werden können.

Definition

Für eine (diskrete) Gruppe betrachtet man das inverse System , wobei über alle Normalteiler von endlichem Index läuft und definiert dann die proendliche Vervollständigung von als den inversen Limes dieses Systems

in der Kategorie der topologischen Gruppen.

Universelle Eigenschaft

Die proendliche Vervollständigung ist eine proendliche Gruppe. Der natürliche Homomorphismus hat die folgende universelle Eigenschaft: für jeden Homomorphismus in eine proendliche Gruppe gibt es einen stetigen Homomorphismus mit .

Weitere Eigenschaften

  • Wenn endlich erzeugt ist, dann ist jede Untergruppe von endlichem Index offen und .[1]
  • Wenn endlich erzeugt ist, dann gilt für jede endliche Gruppe
.[2]
  • Für eine Gruppe bezeichne die Menge aller endlichen Faktorgruppen von . Dann gilt für endlich erzeugte Gruppen und :
.[3]

Beispiele

Die proendliche Vervollständigung der Gruppe der ganzen Zahlen ist
.
Sie ist isomorph zum Produkt der p-adischen Zahlen über alle Primzahlen :
.
.
  • Der natürliche Homomorphismus
ist genau dann injektiv, wenn residuell endlich ist. Residuell endliche Gruppen sind in zahlreichen Teilen der Mathematik von Bedeutung.

Literatur

Ribes, Luis; Zalesskii, Pavel: Profinite groups. Second edition. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics, 40. Springer-Verlag, Berlin, 2010. ISBN 978-3-642-01641-7

Einzelnachweise

  1. Ribes-Zalesskii, op.cit., Proposition 3.2.2
  2. Nikolov, Nikolay; Segal, Dan: On finitely generated profinite groups. I. Strong completeness and uniform bounds. Ann. of Math. (2) 165 (2007), no. 1, 171–238.
  3. Ribes-Zalesskii, op.cit., Corollary 3.2.8