Abbildungsgrad

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Der Abbildungsgrad ist ein Hilfsmittel der nichtlinearen Analysis, um die Existenz von Lösungen nichtlinearer Gleichungen nachzuweisen. Mit seiner Hilfe kann man beispielsweise den brouwerschen Fixpunktsatz, den Satz von Borsuk-Ulam oder den jordanschen Kurvensatz beweisen. Im Endlichdimensionalen (für stetige Funktionen) bezeichnet man ihn als brouwerschen Abbildungsgrad; seine Erweiterung auf Banachräume (für kompakte Störungen der Identität) heißt leray-schauderscher Abbildungsgrad.

Der brouwersche Abbildungsgrad[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der brouwersche Abbildungsgrad ordnet einer stetigen Funktion für offenes, beschränktes und gegebenes eine ganze Zahl zu. Entscheidend für die Anwendungen ist die Tatsache, dass die Gleichung bereits dann lösbar ist, wenn der Abbildungsgrad von null verschieden ist. Verschwindet der Abbildungsgrad , so kann keine Aussage zur Lösbarkeit gemacht werden.

Axiomatische Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der brouwersche Abbildungsgrad ist eine Funktion

mit den folgenden Eigenschaften:

  • für alle .
  • Zerlegungseigenschaft:
, falls disjunkte offene Teilmengen von sind, so dass .
  • Homotopieinvarianz:
ist bezüglich konstant, falls und stetig sind mit für alle und .

Man kann zeigen, dass eine derartige Funktion existiert und dass sie eindeutig ist.

Wichtige Eigenschaften des brouwerschen Abbildungsgrades[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist , so ist die Gleichung auf lösbar.
  • Ist mit

    so gilt
    Insbesondere ist der Abbildungsgrad durch die Werte auf eindeutig festgelegt.
  • Liegen und in derselben Zusammenhangskomponente von , so gilt
    Man schreibt daher auch kurz für , um anzudeuten, dass der Abbildungsgrad nicht von dem Punkt, sondern von der Komponente abhängt.
  • Seien und stetig und die beschränkten Zusammenhangskomponenten von sowie , dann gilt die leraysche Produktformel

    worin nur endlich viele Summanden von null verschieden sind.

Darstellungen des Abbildungsgrades[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Falls zusätzlich auf stetig differenzierbar ist und alle Punkte in regulär sind, das heißt, die Determinante der Jacobimatrix ist in diesen Punkten nicht null, so gilt

    Ist nicht stetig differenzierbar, dann kann man aufgrund der zweiten Eigenschaft eine Funktion wählen, die den gleichen Abbildungsgrad wie hat.
  • Sei wieder stetig auf und stetig differenzierbar auf , kein kritischer Punkt. Sei außerdem eine Schar stetiger Funktionen von nach mit und für alle wählen, hierbei bezeichnet den abgeschlossenen Ball vom Radius um Null. Dann existiert ein , so dass die Integralformel

    für alle gilt.

Windungszahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der brouwersche Abbildungsgrad umfasst als Spezialfall die in der Funktionentheorie wichtige Windungszahl . Identifiziert man mit , so ist der brouwersche Abbildungsgrad auch für die komplexe Ebene definiert. Eine geschlossene Kurve kann man als stetiges Bild von verstehen. Mit wird der Einheitskreisring um den Punkt null bezeichnet. Das heißt, es existiert eine stetige und surjektive Abbildung . Ist nun , so ist aufgrund der Stetigkeit des Abbildungsgrades der Ausdruck für alle stetigen Fortsetzungen von dieselbe Zahl. Es gilt nun

hierbei bezeichnet einen genügend kleinen Kreisring um . Insbesondere zur Rechtfertigung des letzten Gleichheitszeichen sind noch ein paar Fakten aus der Topologie nötig.

Der leray-schaudersche Abbildungsgrad[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der leray-schaudersche Abbildungsgrad ist ein Analogon des brouwerschen Abbildungsgrades für (unendlichdimensionale) Banachräume. Dieser Abbildungsgrad wurde 1934 von J. Leray und J. Schauder definiert.[1] Jedoch ist es nicht möglich, den Abbildungsgrad für beliebige stetige Funktionen zu definieren, sondern man darf nur noch kompakte Störungen der Identität zulassen.

Kompakte Störungen der Identität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien Banachräume und eine Teilmenge des Banachraums . Eine Funktion heißt kompakter Operator, falls

  • stetig ist und, falls
  • beschränkte Mengen auf relativ kompakte Mengen abbildet. Mit anderen Worten, ist eine kompakte Teilmenge von .

Ein Operator , der sich als mit einem kompakten Operator darstellen lässt, heißt kompakte Störung der Identität.

Kompakte Homotopie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine kompakte Homotopie ist eine Homotopie zwischen kompakten Operatoren. Es sei offen und beschränkt und für eine operatorwertige Funktion mit kompakten Operatoren . Diese operatorwertige Funktion heißt kompakte Homotopie auf , falls zu jedem ein existiert, sodass

für alle und mit gilt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine kompakte Störung der Identität, offen und beschränkt und . Dann ist der leray-schaudersche Abbildungsgrad eine ganze Zahl , so dass folgende Eigenschaften gelten:

  • Ist , dann ist die Gleichung lösbar.
  • Homotopieinvarianz: Ist eine kompakte Homotopie auf mit für alle und , so ist der Abbildungsgrad unabhängig von .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die wichtigste Methode zur Berechnung des leray-schauderschen Abbildungsgrades führt, genau wie beim brouwerschen Abbildungsgrad, über die Homotopieinvarianz.

Interessiert man sich beispielsweise dafür, ob die Gleichung eine Lösung in hat, so sucht man zunächst einen passenden Raum, so dass ein kompakter Operator ist. Um die Lösbarkeit nachzuweisen, nimmt man nun indirekt an, dass auf gilt, weil sonst nichts mehr zu zeigen ist.

Anschließend sucht man eine kompakte Homotopie mit und für alle und . Diese Homotopie sollte so gewählt sein, dass man für den leray-schauderschen Abbildungsgrad nachweisen kann. Daraus folgt nämlich für alle und somit die Existenz eines mit .

Für ein konkretes Beispiel sei das Anfangswertproblem

für und gegeben. Man kann zeigen, dass es mindestens eine Lösung hat, falls stetig ist und falls auf für ein geeignetes gilt. Um dies zu sehen, schreibt man das System von Differentialgleichungen in das System

von Integralgleichungen um. Da beide Gleichungen äquivalent sind, reicht es zu zeigen, dass die Integralgleichung eine stetige Lösung besitzt. Diese ist dann auch differenzierbar. Daher wählt man als den Raum der stetigen Funktion auf dem Intervall mit der Maximumsnorm . Außerdem setzt man

Aufgrund des Satzes von Arzelà-Ascoli ist ein kompakter Operator und eine kompakte Homotopie. Da die Existenz einer Lösung von untersucht wird, wird gesetzt. Da vorausgesetzt wurde, kann man zeigen, dass es reicht, mit einem zu wählen, und erhält aufgrund der Homotopieinvarianz

Damit ist gezeigt, dass die Integralgleichung mindestens eine stetige Lösung besitzt.

Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei

eine stetige Abbildung zwischen n-dimensionalen, kompakten, orientierten Mannigfaltigkeiten. (n ist eine natürliche Zahl.)

Die Orientierung der Mannigfaltigkeiten induziert Isomorphismen

.

Der von f induzierte Homomorphismus

ist die Multiplikation mit einer ganzen Zahl d, diese ist der Abbildungsgrad von f.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1.
  • Michael Růžička: Nichtlineare Funktionalanalysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20066-5.
  • Andrzej Granas, James Dugundji: Fixed point theory. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2003, ISBN 978-0-387-00173-9.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Klaus Deimling: Nonlinear Functional Analysis. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 1985, ISBN 3-540-13928-1, Seite 37.