Abelsche Gruppe

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Abelsche Gruppe

Dieser Artikel setzt folgende mathematischen Begriffe voraus:

ist Spezialfall von

Der mathematische Begriff abelsche Gruppe, auch kommutative Gruppe genannt, verallgemeinert das Rechnen mit Zahlen. Addition rationaler Zahlen und die Multiplikation rationaler Zahlen erfüllen eine Reihe gemeinsamer Gesetze. Diese Regeln kommen oft in Geometrie und Algebra vor. So zum Beispiel bei Verschiebungen, Drehungen der Ebene um einen Punkt, Addition von Funktionen. Ornamente in Kunst und Natur zeichnen die Spuren abelscher Gruppen. Deswegen wird von der speziellen Bedeutung des Additionszeichen und des Multiplikationszeichen abstrahiert und der Begriff der kommutativen oder abelschen Gruppe geschaffen. Der Name ist zu Ehren des norwegischen Mathematikers Niels Henrik Abel gewählt worden.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Menge. Jedem Paar sei genau ein Element zugeordnet. Das Paar heißt abelsche Gruppe, wenn die Verknüpfung die folgenden Gesetze erfüllt:

  1. Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
  2. Kommutativgesetz: Für alle gilt: .
  3. Neutrales Element: Es gibt ein Element , so dass für alle gilt: .
  4. Inverses Element: Zu jedem gibt es ein mit .[1]

Erläuterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das neutrale Element und das inverse Element eines jeden Gruppenelementes sind eindeutig bestimmt, wie sich aus den Axiomen zeigen lässt.
  • Meist wird die Gruppe additiv geschrieben. Dann ist das Verknüpfungszeichen . In diesem Falle wird das neutrale Element mit und das Inverse von mit bezeichnet. Das neutrale Element heißt Nullelement oder einfach Null. heißt Summe von .
  • Häufig wird eine kommutative Gruppe auch multiplikativ geschrieben. Dann ist das Verknüpfungszeichen meist oder wird einfach weggelassen. In diesem Falle wird das neutrale Element mit und das Inverse von mit bezeichnet. Das neutrale Element heißt Einselement oder einfach Eins. heißt Produkt von .
  • In einer additiv geschriebenen abelschen Gruppe wird die Differenz zweier Elemente erklärt: . Es gelten dann die Regeln: . Wird die Gruppe multiplikativ geschrieben, so definiert man entsprechend den Quotienten .
  • Wird bei den Axiomen das Kommutativgesetz weggelassen, so ergibt sich eine Gruppe. Eine abelsche Gruppe ist daher nichts anderes als eine Gruppe, für die zusätzlich das Kommutativgesetz gilt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. ist die wichtigste abelsche Gruppe. Dabei ist die Menge der ganzen Zahlen und die gewöhnliche Addition.
  2. ist eine abelsche Gruppe. Dabei ist die Menge der rationalen Zahlen ohne die und ist die gewöhnliche Multiplikation.
  3. Die Menge der endlichen Dezimalzahlen sind bezüglich der Multiplikation keine abelsche Gruppe. Zum Beispiel hat die Zahl kein Inverses bezüglich der Multiplikation. lässt sich nicht als endlicher Dezimalbruch schreiben. Bezüglich der normalen Addition bilden die endlichen Dezimalbrüche eine abelsche Gruppe.
  4. Die Menge der Verschiebungen in der euklidischen Ebene bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung der Verschiebungen.
    Ein Dreieck wird um den Verschiebungsvektor verschoben
  5. Die Menge der Drehungen in einer Ebene um einen Punkt bilden eine abelsche Gruppe. Die Verknüpfung ist die Hintereinanderausführung der Drehungen.
  6. Die Menge der Drehstreckungen in einer Ebene bilden eine abelsche Gruppe.
  7. Von genügend kleinen Gruppen lässt sich die Verknüpfungstafel aufschreiben..Ist es die Tafel einer abelschen Gruppe, so ist die Tafel symmetrisch zur Hauptdiagonale. Diese Tafel ergibt sich beispielsweise, wenn man die Drehungen eines gleichseitigen Dreiecks um den Schwerpunkt betrachtet, die das Dreieck in sich überführen. ist die Drehung um , ist die Drehung um und ist die Drehung um .
  8. Sind abelsche Gruppen, so wird zu einer abelschen Gruppe durch .
  9. Ist eine Menge und eine abelsche Gruppe, so ist eine Gruppe, wenn definiert wird: . Es heißt die te Komponente von . Oft wird als Vektor geschrieben der Form . Dabei ist . Ist , so ist die Menge der Folgen, wobei die Folgenglieder Elemente aus sind. Ist , so ist .
  10. Die reellen Zahlen bilden mit der Addition eine abelsche Gruppe; ohne die Null bilden sie mit der Multiplikation eine abelsche Gruppe.
  11. Allgemeiner liefert jeder Körper in derselben Weise zwei abelsche Gruppen und .
  12. Hingegen ist die Gruppe der invertierbaren -Matrizen über einem Körper für ein Beispiel für eine nichtabelsche Gruppe. Die kleinste nichtabelsche Gruppe ist übrigens die S3 mit sechs Elementen.

Untergruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine nicht leere Teilmenge der abelschen Gruppe heißt Untergruppe, wenn sie bezüglich der Gruppenoperation selber eine Gruppe ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn für alle gilt: .[2] In diesem Artikel wird die folgende Bezeichnung gewählt:.

  1. ist Untergruppe von .
  2. Der Durchschnitt von Untergruppen ist eine Untergruppe.
  3. Jede Teilmenge ist enthalten in einer kleinsten Untergruppe, die enthält. Diese Untergruppe heißt die von erzeugte Untergruppe von . Sie wird mit bezeichnet.
  4. Sind Untergruppen von , so ist die Menge eine Untergruppe von . Allgemeiner: Ist eine Familie von Untergruppen, so ist eine Untergruppe von . Sie heißt die Summe der Untergruppen .
  5. Ist , so ist die von erzeugte Untergruppe . Ist so heißt ein Erzeugendensystem von .
  6. Eine abelsche Gruppe heißt endlich erzeugt , wenn es eine endliche Teilmenge gibt, so dass gilt. Ist von einem Element erzeugt, so heißt zyklisch. Es wird geschrieben.
    1. Jede Untergruppe von ist zyklisch.
    2. Das heißt beispielsweise: Die Summe zweier zyklischer Untergruppen von ist wieder zyklisch. Es gilt . Dabei ist der größte gemeinsamer Teiler von . z. B. .
    3. Sind Untergruppen von , dann ist . Dabei ist das kleinste gemeinsame Vielfache von . Zum Beispiel .
    4. ist nicht endlich erzeugt. Genauer: Ist ein Erzeugendensystem von und ist , so ist auch noch ein Erzeugendensystem.

Faktorgruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Untergruppe, so definiert eine Äquivalenzrelation. Sind und sind so ist . Die Äquivalenzrelation heißt verträglich mit der Addition. Sei Menge der Äquivalenzklassen. Auf wird eine Addition erklärt.

.[3]

Wollen wir tatsächlich in rechnen, so genügt es sich auf ein Repräsentantensystem von zu beschränken. Denn jede Äquivalenzklasse ist durch ein Element aus der Äquivalenzklasse eindeutig bestimmt. Es ist .

  • Ist eine Untergruppe von , so ist zyklisch. Das heißt es gibt ein mit . Ist , so gibt es einen positiven Repräsentanten in der Äquivalenzklasse von . Es ist daher keine Einschränkung, wenn wir voraussetzen. Wir erhalten einen Repräsentanten von durch Teilen mit Rest. Es ist für zwei positive genau dann, wenn sie beim Teilen durch den gleichen Rest lassen. Es ist dann ein Repräsentantensystem von . Bezeichnet der Rest, der beim Teilen von durch sich ergibt, so entspricht dem Rechnen in folgende 'Addition': für . Den Index beim Zeichen lässt man weg. So ergibt in zum Beispiel .[4]
  • ist eine Untergruppe von . Ein Repräsentantensystem von ist das rechts offene Einheitsintervall . In diesem Repräsentantesystem rechnet man folgendermaßen: . Dabei ist größte ganze Zahl . Es ist daher für :
  • Die besonderen Eigenschaften der Untergruppe von kommen etwas weiter unten zur Sprache.

Homomorphismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind abelsche Gruppen, so heißt eine Abbildung Homomorphismus , wenn für alle gilt: .[5]

Beispiele für Homomorphismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Identität und die Nullabbildung sind stets Homomorphismen. Zu jeder abelschen Gruppe gibt es genau einen Morphismus . Genauso gibt es genau einen Homomorphismus .
  • Ist eine Untergruppe von , so ist die Inklusionsabbildung ein Homomorphismus.
  • Die Abbildung ist ein Homomorphismus. Allgemein: Ist so ist die Multiplikation mit , also die Abbildung , ein Homomorphismus. Dies ist äquivalent zum Distributivgesetz, welches besagt: Für alle gilt: . Die Multiplikationen sind auch die einzigen Homomorphismen das heißt: Ist ein Homomorphismus, so gibt es ein mit für alle .
  • Ist , so ist die Abbildung ein Homomorphismus, von der additiven Gruppe in die multiplikative Gruppe .
  • Die natürliche Exponentialfunktion: ist ein Homomorphismus abelscher Gruppen. Sie bildet die additive Gruppe bijektiv in die multiplikative Gruppe ab. Die Umkehrabbildung ist der natürliche natürlicher Logerithmus.
  • Die Verkettung von Homomorphismen ist ein Homomorphismus. Die Klasse der abelschen Gruppen, zusammen mit den Homomorphismen bilden eine Kategorie (Mathematik) . Diese ist der Prototyp einer abelschen Kategorie.

Universelle Eigenschaft der ganzen Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Zu jeder Gruppe und jedem gibt es genau einen Homomorphismus mit . Es ist dann , und . Allgemein ist:.

Es ist eine freie abelsche Gruppe mit Basis .

  • Es liegt nahe für und zu definieren: . Es gilt dann:
  1. . Achtung! Es kann verwirren, dass auf beiden Seiten der Gleichung die additive Schreibweise verwendet wird. Auf der linken Seite der Gleichung steht das neutrale Element in . Auf der rechten Seite der Gleichung steht das neutrale Element in . Beide Male sind die verschiedenen neutralen Elemente mit geschrieben.
  2. Für alle ist .
  3. Für alle und alle ist .
  4. Für alle und alle ist .
  5. Für alle und alle ist .
  • Jede abelsche Gruppe wird auf diese Weise zu einem Modul (Mathematik). Ist ein Homomorphismus, so ist für alle : .
  • Es lohnt sich die vorletzte Aussage für eine Gruppe zu übersetzen, die multiplikativ geschrieben wird. In diesem Falle ist das Neutralelement in die . Zu jedem beliebigen gibt es genau einen Homomorphismus mit . Es ist . Allgemein ist . Die obigen Gesetze besagen dann:
  1. Für alle ist .
  2. Für alle ist .
  3. Für alle ist .
  4. Für alle ist . Wird für die Menge der rationalen oder reellen Zahlen eingesetzt, so ergeben sich die aus der Schule bekannten Gesetze für das Rechnen mit Exponenten.

Eigenschaften von Homomorphismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Homomorphismus, und sind beziehungsweise Untergruppen, so sind und Untergruppen. Insbesondere sind und Untergruppen. Hieraus folgt:

  • Ist eine Gruppe und eine natürliche Zahl, so ist und Untergruppen von . Dies gilt, da die Multiplikation mit ein Homomorphismus ist.
  • ist Untergruppe von . Dies ist die Torisonsuntergruppe von . Ist , so heißt torsionsfrei. Für jede Gruppe ist torionsfrei. Die Torsionsuntergruppe von ist .
  • Ist ein Homomorphismus und ist von Elementen erzeugt und ist von Elementen erzeugt, so ist von Elementen erzeugt.
  • Jede Untergruppe von ist von maximal Elementen erzeugt.

Injektive Homomorphismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist ein bijektiver Homomorphismus, so ist auch die Umkehrabbildung ein Homomorphismus. In diesem Fall heißt Isomorphismus. Gibt es einen Isomorphismus zwischen und so heißen isomorph.
  • Ist ein Homomorphismus, so sind folgende Aussagen äquivalent. In diesem Fall heißt Monomorphismus.
  1. ist als Abbildung injektiv.
  2. .
  3. Für alle abelschen Gruppen und alle Homomorphismen mit ist . Es ist links kürzbar.
  • Die Verkettung von Monomorphismen ist ein Monomorphismus. Das heißt genauer: Sind Monomorphismen, so ist ein Monomorphismus.

Surjektive Homomorphismen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Homomorphismus, so sind die folgenden Aussagen äquivalent. Dann heißt Epimorphismus.

  1. ist als Abbildung surjektiv.
  2. .
  3. Für alle Gruppen und alle gilt: Ist , so ist . Es ist auf der rechten Seite kürzbar.
  • Ist eine Untergruppe, so ist die Abbildung ein Epimorphismus.
  • Die Verkettung von Epimorphsmen ist ein Epimorphismus. Das heißt genauer: Sind und Epimorphismen, so ist ein Epimorphismus. Er heißt kanonischer Epimorphismus.
  • Sind und Homomorphismen und ist ein Epimorphismus, so ist ein Epimorphismus.

Isomorphismus, Isomorphiesätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus. Dies ist genau dann der Fall, wenn er monomorph und epimorph ist. Es gelten die folgenden Sätze.

  • Homomorphiesatz: Sei ein Homomorphismus. der kanonische Epimorphismus. Dann ist ein Monomorphismus mit . Insbesondere ist .[6] Es ist folgendes Diagramm kommutativ.
    Homomorphiesatz

Der Homomorphiesatz gilt allgemein für Gruppen.

  • Erster Isomorphiesatz: Seien Untergruppen von . Dann gilt: .[7]
  • Zweiter Isomorphiesatz: Seien Untergruppen. Dann gilt : . [8]

Der Funktor Hom(A, –)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sind Gruppen, so ist die Menge eine Gruppe. Die Addition ist erklärt durch: .
    • Es ist für jede endlich erzeugte Gruppe .
    • Ist der größte gemeinsame Teiler zwei Zahlen gleich , so ist .
    • Für alle abelschen Gruppen ist . Diese Isomorphie ist ein funktorieller Isomorphismus. Genauer wird dies weiter unten ausgeführt.
  • Ist ein Homomorphismus, so ist die Zuordnung ein Homomorphismus. Für gilt: . Ist die Identität auf , so ist die Identität auf . Ist ein Isomorphismus, so ist ein Isomorphismus. Wird
    • Jeder abelschen Gruppe die abelsche Gruppe und
    • jedem Homomorphismus der Homomorphismus zugeordnet, so erhält man den Funktor von der Kategorie der abelschen Gruppen in die Kategorie .
  • Die letzte Aussage wirft ein Licht auf die universelle Eigenschaft von . Da es zu jedem einen eindeutig bestimmten Homomorphismus mit gibt, ist die Zuordnung eine Funktion. Es gilt genauer: Die Familie der Abbildungen: hat die folgende Eigenschaft: Für alle und alle Homomorphismen ist . Außerdem ist für alle die Abbildung ein Isomorphismus. Die Umkehrabbildung ist: . Das heißt folgendes Diagramm ist kommutativ für alle und alle mit Isomorphismen .
    Das Diagramm beschreibt den funktoriellen Isomomorphismus A nach Hom(Z,A)
    Das heißt unter anderem ist Monomorphismus oder Epimorphismus genau dann, wenn dies ist.
  • Hom(G,-) und exakte Folgen: Ist eine exakte Folge exakte Folge abelscher Gruppen, so ist für jede Gruppe die induzierte Folge exakt.[9] Dabei ist . Der Funktor heißt links exakt. Ist ein Epimorphismus, so ist normalerweise kein Epimorphismus.
  • Für gelten die folgenden Gesetze.
    • Für alle ist und .
    • Für alle ist und .
    • Für alle ist . ist ein unitärer Ring.

Verallgemeinerungen, Weiterführendes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Theorie der abelschen Gruppen ist reichhaltig. Hier sei auf einige grundlegende Begriffe hingewiesen. Manchmal gibt es zu einem Teilaspekt einen Eintrag in der Wikipedia. Meist nicht.

  • Jede abelsche Gruppe ist ein -Modul über dem Ring (Siehe oben). Wird durch einen Ring ersetzt, erhalten wir einen Modul. Sätze über abelsche Gruppen können oft für Moduln über Hauptidealringen verallgemeinert werden. Ein Beispiel ist die Klassifikation endlich erzeugter abelscher Gruppen (siehe unten).
  • Torsionsgruppen: Ein heißt Torsionselement, wenn es eine natürliche Zahl gibt, so dass . Die Menge aller Torsionselement in einer Gruppe bilden eine Untergruppe. ist die Torsionsuntergruppe von .
  • Direkte Summen abelscher Gruppen: Für den Fall zweier Untergruppen sei der Begriff hier erklärt. Ist und , so heißt direkte Summe von .
  • Direktes Produkt.
  • freie abelsche Gruppe: Manche abelschen Gruppen haben so etwas wie eine Basis in einem Vektorraum. In der Theorie der Moduln spielen die freien Moduln eine große Rolle.
  • Teilbare abelsche Gruppe
  • endlich erzeugte abelsche Gruppe. Ihre Struktur ist so ziemlich geklärt. Sie sind direkte Summe von unzerlegbaren zyklischen Gruppen.
  • Für beliebige abelsche Gruppen kann man analog zum Begriff der Dimension eines Vektorraums jeder abelschen Gruppe ihren Rang zuordnen. Er ist definiert als die größte Mächtigkeit einer -linear unabhängigen Teilmenge. Die ganzen Zahlen und die rationalen Zahlen haben Rang 1, so wie jede Untergruppe von . Die abelschen Gruppen vom Rang 1 sind gut verstanden, dagegen sind für höhere Ränge noch viele Fragen offen. Abelsche Gruppen mit unendlichem Rang können extrem komplex sein und ihre offenen Fragen sind oft eng verbunden mit Fragen der Mengenlehre.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 1.
  2. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, Seite 2
  3. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 3.
  4. Andreas Bartholomé,Josef Rung, Hans Kern: "Zahlentheorie für Einsteiger" Vieweg+Teubner, 7. Auflage, 2010, ISBN 978-3-8348-1213-1, Seite 44ff
  5. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, Seite 6.
  6. Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 55, ISBN 3-519-02211-7
  7. Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 57, ISBN 3-519-02211-7
  8. Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, Seite 58, ISBN 3-519-02211-7
  9. Làzlò Fuchs: Abelian Groups Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 217.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Parallelverschiebung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien